Einstein-egyenletek

A Riemann-geometriában a tér metrikáját a metrikus tenzor ($g_{\mu \nu}$) határozza meg. Az általános relativitáselméletben a tömeg térbeli eloszlása határozza meg a metrikus tenzort. Az ezen összefüggést leíró tenzoregyenletet (ami 10 független skalár egyenletet jelent) hívjuk Einstein-egyenleteknek.

Matematikai alak

Az Einstein-egyenletek matematikai alakja a következő:

$G_{\mu \nu} + \Lambda g_{\mu \nu}= -\frac{8\pi G}{c^2} T_{\mu \nu}$

ahol $G_{\mu \nu}$ az Einstein-tenzor, Λ a kozmológiai állandó, $G$ a gravitációs állandó, c a fénysebesség, $T_{\mu \nu}$ pedig az energia-impulzus tenzor.

Ezt először Albert Einstein közölte 1915-ben. Einstein levezetése szerint az Einstein-tenzor a következő alakú (ezt 1915 végén Einsteintől függetlenül David Hilbert is levezette):

$G_{\mu \nu} = R_{\mu \nu} - {1 \over 2}R g_{\mu \nu}$

Tehát az Einstein-egyenletek teljes alakja:

$R_{\mu \nu} - {1 \over 2}g_{\mu \nu}\,R + g_{\mu \nu} \Lambda = {8 \pi G \over c^4} T_{\mu \nu}$

Fizikai vonatkozások

A fenti tenzoregyenlet négy dimenzióban (3 tér- és 1 időváltozó esetén) 16 skaláregyenletet jelent. Az Einstein-egyenletek szimmetriája miatt ezek közül csak 10 független. Ez a 10 független egyenlet egy nemlineáris parciális differenciálegyenlet-rendszert alkot, melynek megoldása szolgáltatja a gravitáció modern fizikáját.

Közelítések

Anyagmentes eset

Vákuum esetén (tehát ha nincs anyag a téridőben) az Einstein-egyenletek jobb oldala zérus. Ekkor tehát

$R_{\mu \nu} = {1 \over 2} R \, g_{\mu \nu} \,.$

Ezt $g^{\mu \nu}$-vel összeejtve

$R = {1 \over 2} R \, 4 = 2 R \,$

adódik, ahonnan

$R = 0 \,$

következik. Visszahelyettesítve az eredeti egyenletbe a következőt kapjuk

$R_{\mu \nu} = 0 \,.$

Ezek az általános relativitáselmélet üres-tér egyenletei. Ezen egyenletek megoldásai szolgáltatják az összes vákuum-megoldásokat. Például a Schwarzschild vagy a Kerr megoldásokat.

Irodalom

• Landau - Lifsic: Elméleti fizika II. Tankönyvkiadó, Budapest, 1976
• Novobátzky Károly: A relativitás elmélete. Tankönyvkiadó, Budapest, 1963
• Perjés Zoltán: Általános relativitáselmélet. Akadémiai Kiadó. Budapest. 2006. ISBN 963-05-8423-9