Einstein-egyenletek

A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából

A Riemann-geometriában a tér metrikáját a metrikus tenzor (g_{\mu \nu} ) határozza meg. Az általános relativitáselméletben a tömeg térbeli eloszlása határozza meg a metrikus tenzort. Az ezen összefüggést leíró tenzoregyenletet (ami 10 független skalár egyenletet jelent) hívjuk Einstein-egyenleteknek.

Matematikai alak[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Az Einstein-egyenletek matematikai alakja a következő:

G_{\mu \nu} + \Lambda g_{\mu \nu}= -\frac{8\pi G}{c^2} T_{\mu \nu}

ahol G_{\mu \nu} az Einstein-tenzor, \Lambda\, a kozmológiai állandó, G\,  a gravitációs állandó, c\, a fénysebesség, T_{\mu \nu} pedig az energia-impulzus tenzor.

Ezt először Albert Einstein közölte 1915-ben[1]. Einstein levezetése szerint az Einstein-tenzor a következő alakú (ezt 1915 végén Einsteintől függetlenül David Hilbert is levezette):

G_{\mu \nu} = R_{\mu \nu} - {1 \over 2}R g_{\mu \nu}

Tehát az Einstein-egyenletek teljes alakja:

R_{\mu \nu} - {1 \over 2}g_{\mu \nu}\,R + g_{\mu \nu} \Lambda = {8 \pi G \over c^4} T_{\mu \nu}

Fizikai vonatkozások[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

A fenti tenzoregyenlet négy dimenzióban (3 tér- és 1 időváltozó esetén) 16 skaláregyenletet jelent. Az Einstein-egyenletek szimmetriája miatt ezek közül csak 10 független. Ez a 10 független egyenlet egy nemlineáris parciális differenciálegyenlet-rendszert alkot, melynek megoldása szolgáltatja a gravitáció modern fizikáját.

Közelítések[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Anyagmentes eset[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Vákuum esetén (tehát ha nincs anyag a téridőben) az Einstein-egyenletek jobb oldala zérus. Ekkor tehát

R_{\mu \nu} = {1 \over 2} R \, g_{\mu \nu} \,.

Ezt g^{\mu \nu}-vel összeejtve

R = {1 \over 2} R \, 4 = 2 R \,

adódik, ahonnan

R = 0 \,

következik. Visszahelyettesítve az eredeti egyenletbe a következőt kapjuk

R_{\mu \nu} = 0 \,.

Ezek az általános relativitáselmélet üres-tér egyenletei. Ezen egyenletek megoldásai szolgáltatják az összes vákuum-megoldásokat. Például a Schwarzschild vagy a Kerr megoldásokat.

Irodalom[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

  • Landau - Lifsic: Elméleti fizika II. Tankönyvkiadó, Budapest, 1976
  • Novobátzky Károly: A relativitás elmélete. Tankönyvkiadó, Budapest, 1963
  • Perjés Zoltán: Általános relativitáselmélet. Akadémiai Kiadó. Budapest. 2006. ISBN 963-05-8423-9

Hivatkozások[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

  1. Einstein, Albert (1915. november 25.). „Die Feldgleichungen der Gravitation”. Sitzungsberichte der Preussischen Akademie der Wissenschaften zu Berlin, 844–847. o. Hozzáférés ideje: 2006. szeptember 12.