Láncszabály

A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából

A láncszabály egy eljárás összetett függvények deriválására a matematikában.

Ha például f és g is egy-egy függvény, akkor a láncszabály szerint az f\circ g összetett függvény deriváltja kifejezhető f és g deriváltjaival.

Integráláskor a láncszabály megfelelője a helyettesítéses integrálás.

Történet[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Írásos jegyzetek alapján úgy tűnik, hogy Gottfried Wilhelm Leibniz használta először a láncszabályt.

A \sqrt{a + bz + cz^2} deriváltját számolta ki, mint a gyökvonás, és a a + bz + cz^2 kifejezés deriváltjait. Azonban nem emelte ki, hogy ez egy külön megnevezhető szabály lenne, és ez így is maradt sokáig.

Guillaume François Antoine, Marquis de l'Hôpital, francia matematikus, szintén alkalmazta ezt a szabályt, megemlíti a ‘Analyse des infiniment petits’ című publikációjában.

A láncszabályt nem említi Leonhard Euler sem az analíziskönyvében, pedig az már 100 évvel Leibniz felfedezése után készült.

Először, Lagrange (Joseph Louis Lagrange) említi nevén a láncszabályt, 1797-ben íródott művében, a Théorie des fonctions analytiques-ban.[1]

Példa[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Tegyük fel, hogy egy ejtőernyős kiugrik egy repülőből. Tételezzük fel, hogy az ugrás után t idővel a tengerszint feletti magassága méterben: g(t)=4000-4,9t^2. A légnyomás h magasságban: f(h)=10,1325e^{-0,0001h}. A két fenti egyenletet különböző módon lehet differenciálni:

  • t időben az ugró sebessége: g'(t)=-9,8t
  • h magasságban a nyomás változása: f'(h)=-10,1325e^{-0,0001h}, és ez arányos a felhajtóerővel h magasságban (a valódi felhajtóerő függ az ugró térfogatától).
  • Az ugrás után t időben az atmoszferikus nyomás (f\circ g)(t)
  • t idő után, az atmoszferikus nyomás változása: (f\circ g)'(t) és ez arányos a t idő utáni felhajtóerővel.

A láncszabály lehetőséget ad kiszámolni (f\circ g)'(t)-t, f és g kifejezésekkel. Bár mindig van lehetőség az összetett függvény deriváltjának a kiszámítására, azonban ez általában nehéz feladat. A láncszabály lehetővé teszi, hogy a bonyolult deriváltat egyszerű módon is megkaphatjuk. A láncszabály szerint:

(f \circ g)'(t) = f'(g(t))g'(t).

Ebben a példában, ez egyenlő:

(f \circ g)'(t) = \big(\mathord{-}10,1325e^{-0,0001(4000 - 4.9t^2)}\big)\cdot\big(\mathord{-}9,8t\big).

A láncszabály szerint az f és g kissé különböző szerepet játszik, mert f′-t g(t)-nél számoljuk, míg g′-t a t-nél. Ez szükséges, hogy korrekt eredmény jöjjön ki. Például, tegyük fel, hogy az ugrás után 10 másodperccel szeretnénk kiszámolni az atmoszferikus nyomás változási sebességét. Ez (fg)′(10), Pascal/sec-ban. A láncszabályban g′(10) tényező, az ejtőernyős sebessége 10 másodperccel az ugrás után, méter/sec-ben kifejezve. A nyomás változása f′(g(10)) , a g(10) magasságban, Pascal/m-ben. f′(g(10)) és g′(10) szorzata Pascal/sec-ben a helyes érték. f nem számítható ki másképpen. Például azért, mert a 10, tíz másodpercet jelent, az f′(10) pedig a nyomás változását 10 másodperc magasságban, ami nonszensz. Hasonlóan, mivel g′(10) = –98 méter/sec, az f′(g′(10)) mutatja a nyomás változást -98 m/sec magasságban, ami szintén nonszensz. Azonban g(10)= 3020 méter a tengerszint felett, ami az ugró magassága az ugrás után 10 másodperccel. Ez a korrekt egység az f-részére.

A láncszabály állítása[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

A láncszabály legegyszerűbb formája egy valós változót tartalmazó valós függvény esete. Ekkor, ha g egy függvény, mely differenciálható c pontnál (vagyis a g′(c) létezik), és f egy függvény, mely differenciálható g′(c)-nél, akkor az f ∘ g összetett függvény differenciálható c-nél, és a deriváltja:[2]

 (f\circ g)'(c) = f'(g(c))\cdot g'(c).

a szabályt sokszor így rövidítik:

(f\circ g)' = (f'\circ g) \cdot g'.\,

Ha y = f(u,és u = g(x), akkor ez a szabály rövidített formája Leibniz-féle jelöléssel:

\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx}.

Azok a pontok, ahol a derivált képződik, explicit módon:

\left.\frac{dy}{dx}\right|_{x=c} = \left.\frac{dy}{du}\right|_{u = g(c)} \cdot \left.\frac{du}{dx}\right|_{x=c}.\,

Több mint két függvény esete[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

A láncszabály alkalmazható kettőnél több függvény esetében is. Több függvény deriválása esetén, az f, g, és h összetett függvények esetén, ez megfelel a f gh-vel. A láncszabály azt mondja, hogy a fgh deriváltjának kiszámításához elegendő az f, és a gh deriváltjainak kiszámítása. Az f deriválása közvetlenül történhet, és a gh deriválása a láncszabály szerint végezhető el. Egy gyakorlati esetben:

y = e^{\sin {x^2}}.

Ez lebontható három részre:

\begin{align}
y &= f(u) = e^u, \\
u &= g(v) = \sin v, \\
v &= h(x) = x^2.
\end{align}

Ezek deriváltjai:

\begin{align}
\frac{dy}{du} &= f'(u) = e^u, \\
\frac{du}{dv} &= g'(v) = \cos v, \\
\frac{dv}{dx} &= h'(x) = 2x.
\end{align}

A láncszabály azt mondja, hogy x = a ponton az összetett függvény deriváltja:

(f \circ g \circ h)'(a) = f'((g \circ h)(a))(g \circ h)'(a) = f'((g \circ h)(a))g'(h(a))h'(a).

Leibniz-féle jelöléssel:

\frac{dy}{dx} = \left.\frac{dy}{du}\right|_{u=g(h(a))}\cdot\left.\frac{du}{dv}\right|_{v=h(a)}\cdot\left.\frac{dv}{dx}\right|_{x=a},

vagy m röviden:

\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du}\cdot\frac{du}{dv}\cdot\frac{dv}{dx}.

A derivált függvény ezért:

\frac{dy}{dx} = e^{\sin {x^2}}\cdot\cos{x^2}\cdot 2x.

Egy másik útja a számításnak, tekintsük a fgh összetett függvényt, mint a fg és h összetevőit. Most alkalmazva a láncszabályt:

(f \circ g \circ h)'(a) = (f \circ g)'(h(a))h'(a) = f'(g(h(a))g'(h(a))h'(a).

Ez ugyanaz, mint amit fentebb kaptunk. Ez azért van így, mert (fg) ∘ h = f ∘ (gh).

Irodalom[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

  • Hernandez Rodriguez and Lopez Fernandez: A Semiotic Reflection on the Didactics of the Chain Rule. (hely nélkül): The Montana Mathematics Enthusiast, ISSN 1551-3440, Vol. 7, nos.2&3. 2007. 321–332. o.  

Kapcsolódó szócikkek[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Források[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

  1. Hernandez Rodriguez and Lopez Fernandez, A Semiotic Reflection on the Didactics of the Chain Rule, The Montana Mathematics Enthusiast, ISSN 1551-3440, Vol. 7, nos.2&3, pp.321–332.
  2. Apostol, Tom. Mathematical analysis, 2nd ed., Addison Wesley (1974)