Láncszabály

A láncszabály egy eljárás összetett függvények deriválására a matematikában.

Ha például f és g is egy-egy függvény, akkor a láncszabály szerint az f ∘ g összetett függvény deriváltja kifejezhető f és g deriváltjaival.

Integráláskor a láncszabály megfelelője a integrálás behelyettesítéssel.

Történet

Írásos jegyzetek alapján, úgy tűnik, hogy Gottfried Wilhelm Leibniz használta először a láncszabályt.

A $\sqrt{a + bz + cz^2}$ deriváltját számolta ki, mint a gyökvonás, és a $a + bz + cz^2$ kifejezés deriváltjait. Azonban nem emelte ki, hogy ez egy külön megnevezhető szabály lenne, és ez így is maradt sokáig.

Guillaume François Antoine, Marquis de l'Hôpital, francia matematikus, szintén alkalmazta ezt a szabályt, megemlíti a ‘Analyse des infiniment petits’ című publikációjában.

A láncszabályt nem említi Euler (Leonhard Euler) sem, az analízis könyvében, pedig az már 100 évvel Leibniz felfedezése után készült.

Először, Lagrange (Joseph Louis Lagrange) említi nevén a láncszabályt, 1797-ben íródott művében, a Théorie des fonctions analytiques-ban.

Példa

Tegyük fel, hogy egy ejtőernyős kiugrik egy repülőből. Tételezzük fel, hogy az ugrás után t idővel a tengerszint feletti magassága méterben: g(t) = 4000 – 4,9t². A légnyomás h magasságban: f(h) = 10,1325e^–0,0001hA két fenti egyenletet különböző módon lehet differenciálni:

• t időben az ugró sebessége:g′(t) = –9,8t
• h magasságban a nyomás változása:f′(h) = –10,1325e^–0,0001h, és ez arányos a felhajtóerővel h magasságban (a valódi felhajtóerő függ az ugró ttérfogatától).
• Az ugrás után t időben az atmoszférikus nyomás (f ∘ g)(t)}}
• t idő után, az atmoszférikus nyomás változása: (f ∘ g)′(t)}} és ez arányos a t idő utáni felhajtóerővel.

A láncszabály lehetőséget ad kiszámolni (f ∘ g)′(t)-t, f és g kifejezésekkel. Bár mindig van lehetőség az összetett függvény deriváltjának a kiszámítására, azonban ez általában nehéz feladat. A láncszabály lehetővé teszi, hogy a bonyolult deriváltat egyszerű módon is megkaphatjuk. A láncszabály szerint:

$(f \circ g)'(t) = f'(g(t))g'(t).$

Ebben a példában, ez egyenlő:

$(f \circ g)'(t) = \big(\mathord{-}10,1325e^{-0,0001(4000 - 4.9t^2)}\big)\cdot\big(\mathord{-}9,8t\big).$

A láncszabály szerint az f és g kissé különböző szerepet játszik, mert f′-t g(t)-nél számoljuk, míg g′-t a t-nél. Ez szükséges, hogy korrekt eredmény jöjjön ki. Például, tegyük fel, hogy az ugrás után 10 másodperccel szeretnénk kiszámolni az atmoszférikus nyomás változási sebességét. Ez (f ∘ g)′(10), Pascal/sec-ban. A láncszabályban g′(10) tényező, az ejtőernyős sebessége 10 másodperccel az ugrás után, meter/sec-ben kifejezve. A nyomás változása f′(g(10)) , a g(10) magasságban, Pascal/m-ben. f′(g(10)) és g′(10) szorzata Pascal/sec-ben a helyes érték. f nem számítható ki másképpen. Például azért, mert a 10, tiz másodpercet jelent, az f′(10) peidg a nyomás változását 10 másodperc magasságban, ami nonszensz. Hasonlóan, mivel g′(10) = –98 meter/sec, az f′(g′(10)) mutatja a nyomás változást -98 m/sec magasságban, ami szintén nonszensz. Azonban g(10)= 3020 méter a tengerszínt felett, ami az ugró magassága az ugrás után 10 másodperccel. Ez a korrekt egység az f-részére.

A láncszabály állítása

A láncszabály legegyszerűbb formája egy valós változót tartalmazó valós függvény esete. Ekkor, ha g egy függvény, mely differenciálható c pontnál (vagyis a g′(c) létezik), és f egy függvény, mely differenciálható g′(c)-nél, akkor az f ∘ g összetett függvény differenciálható c-nél, és a deriváltja:

$(f\circ g)'(c) = f'(g(c))\cdot g'(c).$

a szabályt sokszor így rövidítik:

$(f\circ g)' = (f'\circ g) \cdot g'.\,$

Ha y = f(u,és u = g(x), akkor ez a szabály rövidített formája Leibniz-féle jelöléssel:

$\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx}.$

Azok a pontok, ahol a derivált képződik, explicit módon:

$\left.\frac{dy}{dx}\right|_{x=c} = \left.\frac{dy}{du}\right|_{u = g(c)} \cdot \left.\frac{du}{dx}\right|_{x=c}.\,$

Több mint két függvény esete

A láncszabály alkalmazható kettőnél több függvény esetében is. Több függvény deriválása esetén, az f, g, és h összetett függvények esetén, ez megfelel a f g ∘ h-vel. A láncszabály azt mondja, hogy a f ∘ g ∘ h deriváltjának kiszámításához elegendő az f, és a g ∘ h deriváltjainak kiszámítása. Az f deriválása közvetlenül történhet, és a g ∘ h deriválása a láncszabály szerint végezhető el. Egy gyakorlati esetben:

$y = e^{\sin {x^2}}.$

Ez lebontható három részre:

$\begin{align} y &= f(u) = e^u, \\ u &= g(v) = \sin v, \\ v &= h(x) = x^2. \end{align}$

Ezek deriváltjai:

$\begin{align} \frac{dy}{du} &= f'(u) = e^u, \\ \frac{du}{dv} &= g'(v) = \cos v, \\ \frac{dv}{dx} &= h'(x) = 2x. \end{align}$

A láncszabály azt mondja, hogy x = a ponton az összetett függvény deriváltja:

$(f \circ g \circ h)'(a) = f'((g \circ h)(a))(g \circ h)'(a) = f'((g \circ h)(a))g'(h(a))h'(a).$

Leibniz-féle jelöléssel:

$\frac{dy}{dx} = \left.\frac{dy}{du}\right|_{u=g(h(a))}\cdot\left.\frac{du}{dv}\right|_{v=h(a)}\cdot\left.\frac{dv}{dx}\right|_{x=a},$

vagy m röviden:

$\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du}\cdot\frac{du}{dv}\cdot\frac{dv}{dx}.$

A derivált függvény ezért:

$\frac{dy}{dx} = e^{\sin {x^2}}\cdot\cos{x^2}\cdot 2x.$

Egy másik útja a számításnak, tekintsük a f ∘ g ∘ h összetett függvényt, mint a f ∘ g és h összetevőit. Most alkalmazva a láncszabályt:

$(f \circ g \circ h)'(a) = (f \circ g)'(h(a))h'(a) = f'(g(h(a))g'(h(a))h'(a).$

Ez ugyanaz, mint amit fentebb kaptunk. Ez azért van így, mert (f ∘ g) ∘ h = f ∘ (g ∘ h).

Irodalom

• Hernandez Rodriguez and Lopez Fernandez: A Semiotic Reflection on the Didactics of the Chain Rule. The Montana Mathematics Enthusiast, ISSN 1551-3440, Vol. 7, nos.2&3. 2007. 321–332. o.

Kapcsolódó szócikkek

• Integrálás behelyettesítéssel
• Leibniz-féle jelölés
• Hányadosszabály
• Derivált
• http://mathworld.wolfram.com/ChainRule.html