Helyettesítéses integrálás

A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából

Az integrálás behelyettesítéssel egy matematikai módszer függvények integráljának kiszámítására.

Gyakori feladat egy függvény antideriváltját megtalálni. Ezért is, és más okok miatt is, az ‘integrálás behelyettesítéssel’ fontos eszköze a matematikának.

Ez az ellenpárja a differenciálás láncszabályának.

Legyen   I\subseteq {\mathbb{R}}   egy intervallum, és   g : [a,b] \to I   egy folytonos differenciálható függvény.

Tegyük fel, hogy f : I \to \mathbb{R} egy folytonos függvény, akkor:


\int \limits _{g(a)}^{g(b)} f(x)\,dx = \int \limits _a^b f(g(t))g'(t)\, dt.

A Leibniz-féle jelölést használva, az x = g(t) behelyettesítés adja: dx/dt = g'(t) és így formálisan dx = g'(t)\,dt, mely a kívánt behelyettesítés dx-re.

Ez a szabály lehetőséget kínál egy integrál átalakítására egy másik integrálra, melyet könnyebb kiszámolni.

A szabályt lehet balról jobbra vagy jobbról balra alkalmazni. Az utóbbi eset ‘u-helyettesítés’ néven is ismert.

Kapcsolat a számítás alapvető elméletével[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Az integrálás behelyettesítéssel módszer, mely a 'számítás alapvető elméletéből' vezethető le.

Legyen ƒ és g két függvény, melyek kielégítik a fenti hipotézist, hogy ƒ folytonos egy I tartományban, és g'\, is folytonos a [a,b] zárt intervallumban. Ekkor f(g(t))g'(t) függvény is folytonos [a,b]-ben. Ezért az integrál:


\int \limits _{g(a)}^{g(b)} f(x)\,dx

és


\int \limits _a^b f(g(t))g'(t)\,dt

létezik, és majd, hogy azonosak. Mivel ƒ folytonos, rendelkezik egy F antideriválttal. A F\circ g összetett függvény definiálható. Mivel F és g differenciálhatók, a láncszabály értelmében:


(F \circ g)'(t) = F'(g(t))g'(t) = f(g(t))g'(t).

A számítás alapvető elméletét kétszer alkalmazva:


\int \limits _a^b f(g(t))g'(t)\,dt = (F \circ g)(b) - (F \circ g)(a)
= F(g(b)) - F(g(a))
= \int \limits _{g(a)}^{g(b)} f(x)\,dx,

mely éppen a behelyettesítési szabály.

Példák[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Tekintsük a következő integrált:


\int_{0}^2 x \cos(x^2+1) \,dx

Ha elvégezzük a u = x2 + 1 behelyettesítést, azt kapjuk, hogy: du = 2x dx és


\int_{x=0}^{x=2} x \cos(x^2+1) \,dx = \frac{1}{2} \int_{u=1}^{u=5}\cos(u)\,du
= \frac{1}{2}(\sin(5)-\sin(1)).

Fontos megjegyezni, hogy mivel az alsó limit x = 0-t, u = 02 + 1 = 1-val helyettesítettük, valamint a felső limit x = 2 –t, u = 22 + 1 = 5 kifejezéssel, az x visszahelyettesítése szükségtelen. A  :
\int_0^1 \sqrt{1-x^2}\; dx
integrál képletet jobbról balra szükséges alkalmazni: A x = sin(u), dx = cos(udu helyettesítés hasznos, mert \sqrt{(1-\sin^2(u))} = \cos(u):


\int_0^1 \sqrt{1-x^2}\; dx = \int_0^\frac{\pi}{2} \sqrt{1-\sin^2(u)} \cos(u)\;du = \int_0^\frac{\pi}{2} \cos^2(u)\;du=\frac{\pi}{4}

Az integrál számítható a részenkénti integrálás szabályai szerint, néhány behelyettesítés után.

Antideriváltak[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

A behelyettesítési módszer az antideriváltak meghatározására is használható.

Példa az antiderivált meghatározásra:


\quad \int x \cos(x^2+1) \,dx = \frac{1}{2} \int 2x \cos(x^2+1) \,dx
= \frac{1}{2} \int\cos u\,du = \frac{1}{2}\sin u + C = \frac{1}{2}\sin(x^2+1) + C

ahol C tetszőleges integrálási konstans.

Megjegyezzük: nem volt integrálási határ, de az utolsó lépésben megfordítottuk az eredeti helyettesítést: u = x2 + 1.

Alkalmazás a valószínűség-számításban[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

A behelyettesítési módszer a következő fontos kérdés megválaszolásában használható a valószínűség-számításban:

Legyen adott egy X valószínűségi változó, p_x valószínűségi sűrűséggel, és egy másik valószínűségi változó, Y , mely kapcsolódik X-hez a következő egyenlettel: y=\Phi(x), a kérdés: mi a Y valószínűségi sűrűsége? A kérdést könnyű megválaszolni, ha előtte válaszolunk egy kissé különböző kérdésre:

Mi annak a valószínűsége, hogy Y egy bizonyos S alhalmaz része?

Jelöljük ezt a valószínűséget P(Y \in S).

Ha Y valószínűségi sűrűsége p_y, akkor a válasz:

P(Y \in S) = \int_S p_y(y)\,dy,

de ez nem túl használható, mert nem ismerjük py-t; ezt kell először kitalálni.

Előre haladhatunk, ha tekintjük X. Y felvesz egy értéket S-ben, ha X felvesz értéket \Phi^{-1}(S)-ben, így

 P(Y \in S) = \int_{\Phi^{-1}(S)} p_x(x)\,dx.

Az x -et y –ra változtatva


P(Y \in S) = \int_{\Phi^{-1}(S)} p_x(x)~dx = \int_S p_x(\Phi^{-1}(y)) ~ \left|\frac{d\Phi^{-1}}{dy}\right|~dy.

ezt kombinálva az első egyenletünkkel, kapjuk:


\int_S p_y(y)~dy = \int_S p_x(\Phi^{-1}(y)) ~ \left|\frac{d\Phi^{-1}}{dy}\right|~dy

így:


p_y(y) = p_x(\Phi^{-1}(y)) ~ \left|\frac{d\Phi^{-1}}{dy}\right|.

Abban az esetben, ha X és Y több korrerálatlan változótól függ, azaz p_x=p_x(x_1\ldots x_n), és y=\Phi(x), p_y-t kapjuk több behelyettesítés után, akkor az eredmény:


p_y(y) = p_x(\Phi^{-1}(y)) ~ \left|\det \left[ D\Phi ^{-1}(y) \right] \right|.

Irodalom[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

  • Hewitt, Edwin; Stromberg, Karl: Real and abstract analysis. (hely nélkül): Springer-Verlag. 1965. ISBN 9780387045597  
  • Katz, V: Change of variables in multiple integrals: Euler to Cartan. (hely nélkül): Mathematics Magazine 55. 1982. ISBN 9780387045597  
  • Reiman istván: Matematika. (hely nélkül): Typotex Kft. 2011. ISBN 9789632793009  
  • Gerőcs L.-Dr.Vancsó Ödön: Matematika. (hely nélkül): Akadémia Kiadó Zrt. 2010. ISBN 9789630584883  

Kapcsolódó szócikkek[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]