Leibniz-féle jelölés

A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából

A matematikában a Leibniz-féle jelölés a dx és dy szimbólumokat jelenti, melyek az x és y infinitezimális, azaz minden határon túl a zérushoz tartó kis változásait jelenti.[1] Ezt a jelölést a 17-ik században élt Gottfried Wilhelm Leibniz német filozófus, és matematikusról nevezték el.

y=f(x) \,, x szerinti deriváltja Leibniz után:
\lim_{\Delta x\rightarrow 0}\frac{\Delta y}{\Delta x} = \lim_{\Delta x\rightarrow 0}\frac{f(x + \Delta x)-f(x)}{(x + \Delta x)-x},

azaz, y infinitezimális növekménye és az x infinitezimális növekményének a hányadosa, vagy

y=f(x) \,,

ahol a jobboldal a Lagrange-féle jelöléssel az f(x) deriváltja x szerint. A modern infinitezimális elmélet szempontjából a \Delta x az infinitezimális x-növekmény, \Delta y pedig ennek megfelelően az y növekménye, és a derivált az infinitezimális arány standard része:

f'(x)={\rm st}\Bigg( \frac{\Delta y}{\Delta x} \Bigg).

Majd ha dx=\Delta x, dy = f'(x) dx\,, így definíció szerint az f'(x)\, a dy és dx aránya. Hasonlóképpen, matematikusok gyakran így tekintenek egy integrált

\int f(x)\,dx

mint egy határértéket

\lim_{\Delta x\rightarrow 0}\sum_{i} f(x_i)\,\Delta x,

ahol Δx egy intervallum, mely xi-t tartalmazza. Leibniz ezt úgy tekintette, mint (az integrál jel utal a szummázásra) végtelen sok infinitezimális f(xdx mennyiség szummájára. A modern megfogalmazás szerint korrektebb ezt az integrált úgy tekinteni, mint az ilyen mennyiségek végtelen szummájának a standard részét.

Történet[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Az infinitezimális számítás Newton–Leibniz féle megközelítését a 17. században vezették be. Míg Newtonnak nem volt standard jelölése az integrálásra, Leibniz az \int szimbólumot kezdte használni. Ennek a karakternek az elnevezését a latin summa (összegzés) szóra alapozta, melyet a Németországban általánosan használt nyújtott s-betűvel ſumma alakban írt. A szimbólumot először az Acta Eruditorum 1686-os kiadásában használták nyilvánosan, de Leibniz már legalább 1675 óta alkalmazta azt magánjegyzeteiben.[2][3] A 19. században néhány matematikus logikailag hibásnak vélte Leibniz koncepcióját (Cauchy, Weierstrass és mások), miközben a Leibniz-féle jelölést továbbra is használták. 1960-ban Edwin Hewitt, Jerzy Łoś, és Abraham Robinson kidolgozott egy szigorú matematikai magyarázatot Leibniz eredeti jelölésére, mely a nem-standard analízisen alapul.

Leibniz-féle jelölés differenciálásra[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

A Leibniz-féle jelölés differenciálásra, az f(x) függvényre:

\frac{d\bigl(f(x)\bigr)}{dx}\,.

Ha van egy változónk, mely egy függvényt jellemez, legyen például

y=f(x) \,,

akkor a deriváltja:

\frac{dy}{dx}\,.

A Lagrange-féle jelöléssel:

\frac{d\bigl(f(x)\bigr)}{dx} = f'(x)\,.

A Newton-féle jelöléssel:

\frac{dx}{dt} = \dot{x}\,.

Magasabb fokú deriváltakra:

\frac{d^n\bigl(f(x)\bigr)}{dx^n}\text{ vagy }\frac{d^ny}{dx^n}

Ez abból a tényből következik, hogy például, a harmadik derivált:

\frac{d \left(\frac{d \left( \frac{d \left(f(x)\right)} {dx}\right)} {dx}\right)} {dx}\,,

melyet így is írhatunk:

\left(\frac{d}{dx}\right)^3 \bigl(f(x)\bigr) =
\frac{d^3}{\left(dx\right)^3} \bigl(f(x)\bigr)\,.

Elhagyva a zárójeleket:

\frac{d^3}{dx^3}\bigl(f(x)\bigr)\ \mbox{or}\ \frac{d^3y}{dx^3}\,.

A láncszabályt és a részenkénti integrálást könnyű itt kifejezni, mert a "d" kifejezés „eltűnik”:

\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du_1} \cdot \frac{du_1}{du_2} \cdot \frac{du_2}{du_3}\cdots \frac{du_n}{dx}\,,

stb…., és:

\int y \, dx = \int y \frac{dx}{du} \, du.

Irodalom[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

  • Baron, Margaret E.: The origins of the infinitesimal calculus. Dover Publications, Inc., New York, 1987.
  • Baron, Margaret E.: The origins of the infinitesimal calculus. Pergamon Press, Oxford-Edinburgh-New York 1969. (A new edition of Baron's book appeared in 2004)
  • Lavendhomme, R.: Basic concepts of synthetic differential geometry, Kluwer, Dordrecht, 1996
  • O'Connor, Michael: An Introduction to Smooth Infinitesimal Analysis
  • Stewart, James: Calculus: Early Transcendentals (6th ed.). (hely nélkül): Brooks/Cole. 2007. ISBN 0495011665  
  • J. M. Child: Early Mathematical Manuscripts of Leibniz. (hely nélkül): Open Court Publishing Co. 1920.  

Kapcsolódó szócikkek[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Források[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

  1. Stewart, James. Calculus: Early Transcendentals, 6th, Brooks/Cole (2008). ISBN 0-495-01166-5 
  2. Mathematics and its History, John Stillwell, Springer 1989, p. 110
  3. Early Mathematical Manuscripts of Leibniz, J. M. Child, Open Court Publishing Co., 1920, pp. 73–74, 80.