Lemniszkáta

A Bernoulli-féle lemniszkáta

Lemniszkáta szerkesztése

A Bernoulli-féle lemniszkáta egy negyedrendű, elfordított 8-as számjegy, illetve $\infty \,$ alakú síkgörbe. Ezt a jelet használják a matematikában a végtelen jelölésére.

A lemniszkátát először 1694-ben Jakob Bernoulli írta le az ellipszis egy általánosításaként. Az ellipszis azon pontok mértani helye, melyek két ponttól mért távolságának összege állandó. A Cassini-görbék viszont olyan pontok mértani helye, melyek a két fókuszponttól való távolságának szorzata állandó. Az a speciális Cassini-görbe, amely áthalad a két fókuszpontot összekötő egyenes szakasz felezőpontján, a lemniszkáta.

Egyenletei

Az ábra jelöléseivel derékszögű koordináta-rendszerben:

${\left(x^2+y^2\right)}^2 - 2c^2\left(x^2-y^2\right) = 0$

Polárkoordinátákkal:

$\rho = c \sqrt{2 \cos{2\varphi}}$

ahol

$\varphi\in\langle -\frac{\pi}{4},\frac{\pi}{4}\rangle \cup \langle \frac{3\pi}{4},\frac{5\pi}{4}\rangle$.

Paraméteres egyenletrendszere:

$x = c t\sqrt{2}\frac{1+t^2}{1+t^4}$

$y = c t \sqrt{2}\frac{1-t^2}{1+t^4}$

ahol $t\in\mathbb{R}$.

Tulajdonságai

A görbe polárkoordinátákkal megadott egyenleteihez tartozó görbületi sugár:

$R = \frac{2c^2}{3\rho} = \frac{c\sqrt{1+t^4}}{3|t|}$

feltéve, hogy $\rho\neq 0$, illetve $t\neq 0$. A lemniszkáta egyes hurkainak területe:

$T=c^2 \,$,

Kerülete:

$k\approx 2c \cdot 1,8541 \,$.

Ha az

$x^2-y^2=c^2 \,$

hiperbolát az

$x^2+y^2=c^2 \,$

körön tükrözzük, lemniszkátát kapunk. A második ábrán látható háromtagú csuklós mechanizmus középső rúdjának felezőpontja a mechanizmus mozgatása során lemniszkátát ír le.

Forrás

• J. N. Bronstein - K. A. Szemengyajev: Matematikai zsebkönyv. Műszaki könyvkiadó, Budapest, 1987. ISBN 963-10-53091
• Pattantyús Gépész- és Villamosmérnökök Kézikönyve 2. kötet. Műszaki Könyvkiadó, Budapest, 1961.