Ekvivalenciareláció

A matematikában ekvivalenciareláció (vagy röviden ekvivalencia) alatt olyan relációt értünk, amely egyszerre reflexív, szimmetrikus és tranzitív.

Definíció

Legyen $\sim$ tetszőleges reláció az $A$ halmazon. Azt mondjuk, hogy a $\sim$ reláció ekvivalenciareláció, ha az alábbi három feltétel teljesül:

• a $\sim$ reláció reflexív, azaz minden $a \in A$ esetén $a \sim a$ teljesül,
• a $\sim$ reláció szimmetrikus, azaz minden $a, b \in A$ elemek esetén ha $a \sim b$ teljesül, akkor $b \sim a$ is teljesül,
• a $\sim$ reláció tranzitív, azaz minden $a, b, c \in A$ elemek esetén ha $a \sim b$ és $b \sim c$ teljesül, akkor $a \sim c$ is teljesül.

Tulajdonságok

• Minden $\sim$ ekvivalenciareláció egyértelműen meghatároz egy osztályozást azon az $A$ halmazon, amelyen a reláció definiálva van: az $a, b \in A$ elemek pontosan akkor kerülnek egy osztályba ebben az osztályozásban, ha $a \sim b$ teljesül.
• Fordítva: valamely $A$ halmaz minden osztályozása egyértelműen meghatároz egy ekvivalenciarelációt az adott halmazon. Ennél az ekvivalenciarelációnál pontosan azok az elemek állnak relációban egymással, amelyek az osztályozásnak ugyanabban az osztályában vannak.

Példák

• A legegyszerűbb és legfontosabb példa az egyenlőségreláció
• A logikai ekvivalencia a logikában
• Izomorfizmus az absztrakt algebrában
• Kongruencia a számelméletben
• Összefüggőség a gráfelméletben

Hivatkozások

• Rédei, László: Algebra I., Akadémiai Kiadó, Budapest, 1954
• Szendrei, Ágnes, Diszkrét matematika, Polygon, JATE Bolyai Intézet, Szeged, 1994