Ekvivalenciareláció

A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából

A matematikában ekvivalenciareláció (vagy röviden ekvivalencia) alatt olyan relációt értünk, amely egyszerre reflexív, szimmetrikus és tranzitív.

Definíció[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Legyen \sim tetszőleges reláció az A halmazon. Azt mondjuk, hogy a \sim reláció ekvivalenciareláció, ha az alábbi három feltétel teljesül:

  • a \sim reláció reflexív, azaz minden a \in A esetén a \sim a teljesül,
  • a \sim reláció szimmetrikus, azaz minden a, b \in A esetén ha a \sim b teljesül, akkor b \sim a is teljesül,
  • a \sim reláció tranzitív, azaz minden a, b, c \in A esetén ha a \sim b és b \sim c teljesül, akkor a \sim c is teljesül.

Tulajdonságok[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

  • Minden \sim ekvivalenciareláció egyértelműen meghatároz egy osztályozást azon az A halmazon, amelyen a reláció definiálva van: az a, b \in A elemek pontosan akkor kerülnek egy osztályba ebben az osztályozásban, ha a \sim b teljesül.
  • Fordítva: valamely A halmaz minden osztályozása egyértelműen meghatároz egy ekvivalenciarelációt az adott halmazon. Ennél az ekvivalenciarelációnál pontosan azok az elemek állnak relációban egymással, amelyek az osztályozásnak ugyanabban az osztályában vannak.

Példák[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Hivatkozások[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

  • Rédei László: Algebra I., Akadémiai Kiadó, Budapest, 1954
  • Szendrei Ágnes: Diszkrét matematika, Polygon, JATE Bolyai Intézet, Szeged, 1994