Ekvivalenciareláció

A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából.

A matematikában ekvivalenciareláció (vagy röviden ekvivalencia) alatt olyan relációt értünk, amely egyszerre reflexív, szimmetrikus és tranzitív.

Tartalomjegyzék

[szerkesztés] Definíció

Legyen \sim tetszőleges reláció az A halmazon. Azt mondjuk, hogy a \sim reláció ekvivalenciareláció, ha az alábbi három feltétel teljesül:

  • a \sim reláció reflexív, azaz tetszőleges a \in A esetén a˜a teljesül,
  • a \sim reláció szimmetrikus, azaz tetszőleges a, b \in A elemek esetén ha a˜b teljesül, akkor b˜a is teljesül,
  • a \sim reláció tranzitív, azaz tetszőleges a, b, c \in A elemek esetén ha a˜b és b˜c teljesül, akkor a˜c is teljesül.

[szerkesztés] Tulajdonságok

  • Minden \sim ekvivalenciareláció egyértelműen meghatároz egy osztályozást azon a A halmazon, amelyen a reláció definiálva van: az a, b \in A elemek pontosan akkor kerülnek egy osztályba ebben az osztályozásban, ha a˜b teljesül.
  • Fordítva: valamely A halmaz minden osztályozása egyértelműen meghatároz egy ekvivalenciarelációt az adott halmazon. Ennél az ekvivalenciarelációnál pontosan azok az elemek állnak relációban egymással, amelyek az osztályozásnak ugyanabban az osztályában vannak.

[szerkesztés] Példák

[szerkesztés] Hivatkozások

  • Rédei, László: Algebra I., Akadémiai Kiadó, Budapest, 1954
  • Szendrei, Ágnes, Diszkrét matematika, Polygon, JATE Bolyai Intézet, Szeged, 1994
A lap eredeti címe: „http://hu.wikipedia.org/wiki/Ekvivalenciarel%C3%A1ci%C3%B3”