Henger

A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából
Egyenes köralapú henger
Elliptikus henger

A hengerek térbeli testek. A henger alapját egy görbe, a vezérgörbe adja. Többnyire olyan hengerről van szó, aminek alapját ellipszis, speciális esetben kör alkotja. Legtöbbször ezt nevezik hengernek.

A(z elliptikus) henger leírható például az alábbi egyenlőtlenség-rendszerrel:

\left(\frac{x}{r_1}\right)^2 + \left(\frac{y}{r_2}\right)^2 \leq 1, \quad 0 \leq z \leq h

ahol r_1 és r_2 az alapot képző ellipszis sugarai, h pedig a henger magassága.

A henger elfajult másodrendű felület, mert egyenletében nem szerepel a harmadik koordináta.

Képletek[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Térfogat[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

A henger térfogata az alap területének és a henger magasságának a szorzata. Ellipszis alapú hengerek térfogata, a fenti jelöléseket használva, az alábbi formula szerint számítható:

V = \pi r_1 r_2 h \,

amely köralapú hengernél így egyszerűsödik le:

V = \pi r^2 h \,

Felszín[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

A kör alapú henger felszíne a következőképpen számítható:

S = 2 \pi r^2 + 2 \pi r h = 2 \pi r ( r + h ).\,

Adott térfogat mellett a henger felszíne a h = 2r esetben minimális. Adott felszín mellett a térfogat h = 2r esetben maximális.

Hengerszeletek[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Körhenger és sík metszete ellipszis, elfajult esetben két párhuzamos egyenes, vagy üres halmaz.[1]

Másfajta hengerek[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

  • Más vezérgörbéjű felületeket is hengernek nevezhetnek. Így például beszélnek
    • hiperbolikus hengerről:
\left(\frac{x}{a}\right)^2 - \left(\frac{y}{b}\right)^2 = 1
    • parabolikus hengerről:
x^2 + 2ay = 0. \,

A valós elliptikus hengereken kívül találkozhatunk képzetes elliptikus hengerekkel is, amiknek nincs valós pontjuk:

\left(\frac{x}{a}\right)^2 + \left(\frac{y}{b}\right)^2 = -1

Tankprobléma[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Egy fekvő, nem teli hengerben levő folyadék térfogatát is kiszámíthatjuk a térfogat = alapszor magasság képlettel. A körszelet területképletével

V = r^2 L \left(\arccos\left(\frac{r - h}{r}\right) - (r - h) \frac{\sqrt{2rh - h^2}}{r^2}\right),

ahol L a henger hossza, r az alapkör sugara, h a hengerben levő folyadék magassága.

Hengerfelület a topológiában[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Vegyünk egy négyzetet, és azonosítsuk egymással két szemben fekvő oldalát. Pontosabban, az ( [0,1] \times [0,1] ) egységnégyzet két oldalát a következő reláció szerint azonosítjuk:

(x,0)~(x,1) minden 0 ≤ x ≤ 1-re.

Hasonlóan áll elő a Möbius-szalag, de ahhoz el kell fordítani az egyik oldalt a teljesszög felével.

Galéria[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Források[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Commons
A Wikimédia Commons tartalmaz Henger témájú médiaállományokat.