Henger

A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából.

Megtekintett lap

Ez az utolsó megtekintett változat (összes); elfogadva: 2009. december 18.

Pontosság

megtekintett

Ugrás: navigáció, keresés

Egyenes köralapú henger

Elliptikus henger

A hengerek térbeli testek. A henger alapját egy görbe, a vezérgörbe adja. Többnyire olyan hengerről van szó, aminek alapját ellipszis, speciális esetben kör alkotja. Legtöbbször ezt nevezik hengernek.

A(z elliptikus) henger leírható például az alábbi egyenletrendszerrel:

$\left(\frac{x}{r_1}\right)^2 + \left(\frac{y}{r_2}\right)^2 \leq 1 \quad , \quad 0 \leq z \leq h$

ahol $r 1$ és $r 2$ az alapot képző ellipszis sugarai, $h$ pedig a henger magassága.

A henger elfajult másodrendű felület, mert egyenletében nem szerepel a harmadik koordináta.

[szerkesztés] Képletek

[szerkesztés] Térfogat

A henger térfogata, a fenti jelöléseket használva, az alábbi formula szerint számítható:

$V = \pi r_1 r_2 h \,$

amely köralapú hengernél így egyszerűsödik le:

$V = \pi r^2 h \,$

[szerkesztés] Felszín

A kör alapú henger felszíne a következőképpen számítható:

$S = 2 \pi r^2 + 2 \pi r h = 2 \pi r ( r + h ).\,$

Adott térfogat mellett a henger felszíne a $h = 2 r$ esetben minimális. Adott felszín mellett a térfogat $h = 2 r$ esetben maximális.

[szerkesztés] Hengerszeletek

Körhenger és sík metszete ellipszis, elfajult esetben két párhuzamos egyenes, vagy üres halmaz.^[1]

[szerkesztés] Másfajta hengerek

Más vezérgörbéjű felületeket is hengernek nevezhetnek. Így például beszélnek
- hiperbolikus hengerről:

$\left(\frac{x}{a}\right)^2 - \left(\frac{y}{b}\right)^2 = 1$

- parabolikus hengerről:

$x^2 + 2ay = 0. \,$

A valós elliptikus hengereken kívül találkozhatunk képzetes elliptikus hengerekkel is, amiknek nincs valós pontjuk:

$\left(\frac{x}{a}\right)^2 + \left(\frac{y}{b}\right)^2 = -1$

[szerkesztés] Tankprobléma

Egy fekvő, nem teli hengerben levő folyadék térfogatát is kiszámíthatjuk a térfogat = alapszor magasság képlettel. A körszelet területképletével

$V = r^2 L \left(\arccos\left(\frac{r - h}{r}\right) - (r - h) \frac{\sqrt{2rh - h^2}}{r^2}\right).$

ahol L a henger hossza, r az alapkör sugara, h a hengerben levő folyadék magassága.

[szerkesztés] Hengerfelület a topológiában

Vegyünk egy négyzetet, és azonosítsuk egymással két szemben fekvő oldalát. Pontosabban, az $( [0,1] \times [0,1] )$ egységnégyzet két oldalát a következő reláció szerint azonosítjuk: