Kocka

A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából
A kocka

A kocka (vagy szabályos hexaéder) egy térbeli geometriai alakzat, egy speciális téglatest. 6 négyzet alakú lapja és 12 egyenlő hosszúságú éle van, amelyek 8 csúcsban találkoznak. A négyzet térbeli megfelelője. Hasáb, szabályos test.

Matematikai összefüggések[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Egy a élű kocka esetén

felszíne 6a^2\,
térfogata a^3\,
beírható gömb sugara \frac{a}{2}
köréírható gömb sugara \frac{\sqrt{3}a}{2}
éleit érintő gömb sugara \frac{a}{\sqrt 2}

Szimmetriái[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

A kockának

  • három négyfogású forgástengelye (szemben fekvő oldalak középpontjain át)
  • négy háromfogású forgástengelye (testátlók)
  • hat kétfogású forgástengelye (élfelező pontokon át)
  • kilenc szimmetriasíkja
  • egy szimmetriaközéppontja (középpont)

van.

Az identitást leszámítva a négyfogású tengelyek három-három, a háromfogású tengelyek két-két szimmetriát adnak. Összesen a kocka szimmetriacsoportjának 48 eleme van. Ez a kocka- vagy oktaédercsoport.

Descartes-koordináták[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Egy origó közepű, 2 élhosszú, a tengelyekkel párhuzamos élű kocka csúcsainak koordinátái:

(±1, ±1, ±1)

aminek belsejét azok az (x0, x1, x2) pontok alkotják, ahol −1 < xi < 1.

Egyenlet R3-ben[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

A koordináta-geometriában az (x0, y0, z0) közepű és 2a élhosszú kocka azokat az (x, y, z) pontokat tartalmazza, amelyekre:

 \lim_{n \to \infty} \left[(x - x_0 )^n + (y - y_0 )^n + ( z - z_0 )^n - a^n\right] = 0.

Mértani arányok[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

A kocka testhálói

A kockának 11 lényegesen különböző testhálója van. A lapok színezéséhez legalább 3 szín kell.

A kocka az egyetlen szabályos test, amivel a tér hiánytalanul kitölthető. A szabályos poliéderek között egyedül neki vannak páros oldalszámú lapjai, így az egyetlen platóni test, ami zonoéder, vagyis aminek minden lapja középpontosan szimmetrikus.

Kocka kontra oktaéder[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

A kocka és az oktaéder segítségével további testek konstruálhatók, amiknek szintén az oktaédercsoport a szimmetriacsoportja:

A rektifikált kocka kuboktaéder.

Kocka és oktaéder egyesítéseként kapható

Uniform oktaéderes poliéderek
Szimmetria: oktaéderes [4,3], (*432) [4,3]+
(432)
[1+,4,3] = [3,3]
(*332)
[3+,4]
(3*2)
{4,3} t{4,3} r{4,3}
r{31,1}
t{3,4}
t{31,1}
{3,4}
{31,1}
rr{4,3}
s2{3,4}
tr{4,3} sr{4,3} h{4,3}
{3,3}
h2{4,3}
t{3,3}
s{4,3}
s{31,1}
Uniform polyhedron-43-t0.svg Uniform polyhedron-43-t01.svg Uniform polyhedron-43-t1.svg
Uniform polyhedron-33-t02.png
Uniform polyhedron-43-t12.svg
Uniform polyhedron-33-t012.png
Uniform polyhedron-43-t2.svg
Uniform polyhedron-33-t1.png
Uniform polyhedron-43-t02.png
Rhombicuboctahedron uniform edge coloring.png
Uniform polyhedron-43-t012.png Uniform polyhedron-43-s012.png Uniform polyhedron-33-t0.pngUniform polyhedron-33-t2.png Uniform polyhedron-33-t01.pngUniform polyhedron-33-t12.png Uniform polyhedron-43-h01.svg
Uniform polyhedron-33-s012.png
Az uniform poliéderek duálisai
V43 V3.82 V(3.4)2 V4.62 V34 V3.43 V4.6.8 V34.4 V33 V3.62 V35
Octahedron.svg Triakisoctahedron.jpg Rhombicdodecahedron.jpg Tetrakishexahedron.jpg Hexahedron.svg Deltoidalicositetrahedron.jpg Disdyakisdodecahedron.jpg Pentagonalicositetrahedronccw.jpg Tetrahedron.svg Triakistetrahedron.jpg POV-Ray-Dodecahedron.svg

A Dih4 diéderszimmetriával a kocka topológiai kapcsolatban áll a 4.2n.2n uniform poliéderekkel és parkettázásokkal, amelyek a hiperbolikus síkon folytatódnak:

A 4.2n.2n csonkított poliéderek és parkettázások családja
Szimmetria
*n42
[n,4]
Gömbi Euklideszi Hiperbolikus...
*242
[2,4]
D4h
*342
[3,4]
Oh
*442
[4,4]
P4m
*542
[5,4]
*642
[6,4]
*742
[7,4]
*842
[8,4]...
*∞42
[∞,4]
Csonkítottt
alakzatok
Spherical square prism.png
4.4.4
Uniform tiling 432-t12.png
4.6.6
Uniform tiling 44-t01.png
4.8.8
Uniform tiling 54-t01.png
4.10.10
Uniform tiling 64-t01.png
4.12.12
Uniform tiling 74-t01.png
4.14.14
Uniform tiling 84-t01.png
4.16.16
H2 tiling 24i-3.png
4.∞.∞
Uniform duális alakzatok
n-kisz
alakzatok
Spherical square bipyramid.png
V4.4.4
Tetrakishexahedron.jpg
V4.6.6
Tiling Dual Semiregular V4-8-8 Tetrakis Square.svg
V4.8.8
Order-5 tetrakis square tiling.png
V4.10.10
Order-6 tetrakis square tiling.png
V4.12.12
Hyperbolic domains 772.png
V4.14.14
Order-8 tetrakis square tiling.png
V4.16.16
H2checkers 2ii.png
V4.∞.∞

Mindezek oktaéderes szimmetriájúak.

Kapcsolatai más poliéderekkel[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Kocka és duálisa
A félkocka egy szabályos projektív test
  • A kocka egy tetszőleges csúcsát összekötve az ebben a csúcsban összefutó négyzetlapok nem szomszédos csúcsaival, szabályos tetraédert kapunk. Egy ilyen tetraéder térfogata a kocka térfogatának egyharmadát teszi ki. A maradék négy egybevágó, nem szabályos gúla (szintén tetraéder) térfogata egyenként a kocka térfogatának hatoda.
  • A kocka csúcsai ily módon két, egymáshoz képest középpontosan szimmetrikus szabályos tetraédert határoznak meg. (Ezek metszete oktaéder.)
  • A kocka hat négyzet alapú gúlára osztható úgy, hogy szimmetriaközéppontját a csúcsokkal összekötő szakaszok mentén szétvágjuk. Ha ezeket egy másik kocka lapjaihoz illesztjük, akkor rombododekaédert kapunk.

A kocka dodekaéderbe írható úgy, hogy a kocka csúcsai a dodekaéder csúcsaira illeszkednek, és a kocka élei a dodekaéder lapátlói.

  • Az antipodális leképezés egy félkockát ad, ami egy projektív poliéder.

A kocka több általánosabb poliédernek is speciális esete:

Név Egyenlő élhosszak Egyenlő élek Derékszögek
Kocka Igen Igen Igen
Romboéder Igen Igen Nem
Kuboid Nem Igen Igen
Parallelepipedon Nem Igen Nem
általános négyszöglapú hexaéder Nem Nem Nem

A kocka topológiai kapcsolatban áll a 3-csúcsalakzatú gömbi poliéderekkel és parkettázásokkal:

Gömbi
poliéderek
Szabályos poliéderek Euklideszi Hiperbolikus parketták
Spherical trigonal hosohedron.png
{2,3}
Uniform polyhedron-33-t0.png
{3,3}
Uniform polyhedron-43-t0.png
{4,3}
Uniform polyhedron-53-t0.png
{5,3}
Uniform polyhedron-63-t0.png
{6,3}
H2 tiling 237-1.png
{7,3}
H2 tiling 238-1.png
{8,3}
... H2 tiling 23i-1.png
(∞,3)

A kocka kapcsolódik a négyzetes parkettázásokhoz is, amelyek a hiperbolikus síkon folytathatók: {4,p}, p=3,4,5...

Uniform polyhedron-43-t0.png
{4,3}
Uniform tiling 44-t0.png
{4,4}
Uniform tiling 45-t0.png
{4,5}
Uniform tiling 46-t0.png
{4,6}
Uniform tiling 47-t0.png
{4,7}
Uniform tiling 48-t0.png
{4,8}
... H2 tiling 24i-4.png
{4,∞}

A kocka a rombikus poliéderek és csempézések azon sorozatába is beletartozik, amelynek szimmetriája az [n,3] Coxeter-csoport. A kocka tekinthető rombikus hexaédernek, ahol a rombuszok négyzetek.

A 3.n.3.n félig szabályos poliéderek és csempézések családja
Szimmetria
*n32
[n,3]
Gömbi Euclidean Hiperbolikus parketta
*332
[3,3]
Td
*432
[4,3]
Oh
*532
[5,3]
Ih
*632
[6,3]
p6m
*732
[7,3]
*832
[8,3]
*∞32
[∞,3]
Félig szabályos
alakzatok
Konfiguráció]
Uniform tiling 332-t1-1-.png
3.3.3.3
Uniform tiling 432-t1.png
3.4.3.4
Uniform tiling 532-t1.png
3.5.3.5
Uniform tiling 63-t1.png
3.6.3.6
Uniform tiling 73-t1.png
3.7.3.7
Uniform tiling 83-t1.png
3.8.3.8
H2 tiling 23i-2.png
3.∞.3.∞
Duaális
(rombikus)
alakzatok
Konfiguráció
Hexahedron.svg
V3.3.3.3
Rhombicdodecahedron.jpg
V3.4.3.4
Rhombictriacontahedron.svg
V3.5.3.5
Rhombic star tiling.png
V3.6.3.6
Order73 qreg rhombic til.png
V3.7.3.7
Uniform dual tiling 433-t01-yellow.png
V3.8.3.8
Ord3infin qreg rhombic til.png
V3.∞.3.∞

A kocka négyzet alapú hasáb:

Az uniform hasábok családja
Szimmetria 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
Kép Triangular prism.png Tetragonal prism.png Pentagonal prism.png Hexagonal prism.png Prism 7.png Octagonal prism.png Prism 9.png Decagonal prism.png Hendecagonal prism.png Dodecagonal prism.png
Gömbi poliéderként
Kép Spherical triangular prism.png Spherical square prism.png
Spherical square prism2.png
Spherical pentagonal prism.png Spherical hexagonal prism.png
Spherical hexagonal prism2.png
Spherical heptagonal prism.png Spherical octagonal prism.png
Spherical octagonal prism2.png
Spherical decagonal prism.png
Spherical decagonal prism2.png

Trigonális trapezoéderként a kocka beletartozik a hatszöges diéderszimmetriájú poliéderek családjába.

Uniform hatszöges gömbi poliéderek
Szimmetria: diéder [6,2], (*622) [6,2]+, (622) [1+,6,2], (322) [6,2+], (2*3)
Hexagonal dihedron.png Dodecagonal dihedron.png Hexagonal dihedron.png Spherical hexagonal prism.png Spherical hexagonal hosohedron.png Spherical truncated trigonal prism.png Spherical dodecagonal prism2.png Spherical hexagonal antiprism.png Trigonal dihedron.png Spherical trigonal antiprism.png
{6,2} t{6,2} r{6,2} 2t{6,2}=t{2,6} 2r{6,2}={2,6} rr{6,2} tr{6,2} sr{6,2} h{6,2} s{2,6}
Uniform duálisok
Spherical hexagonal hosohedron.png Spherical dodecagonal hosohedron.png Spherical hexagonal hosohedron.png Spherical hexagonal bipyramid.png Hexagonal dihedron.png Spherical hexagonal bipyramid.png Spherical dodecagonal bipyramid.png Spherical hexagonal trapezohedron.png Spherical trigonal hosohedron.png Spherical trigonal trapezohedron.png
V62 V122 V62 V4.4.6 V26 V4.4.6 V4.4.12 V3.3.3.6 V32 V3.3.3.3
A kocka szabályos és uniform összetett testei
UC08-3 cubes.png
Három kocka
Compound of five cubes.png
Öt kocka

Térkitöltések[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

A tér 28 konvex uniform rácsszerkezete közül 9 kapcsolódik a kockához:

Kockarács Csonkított négyzetes hasáb térrács Snub négyzetes hasáb térrács Hosszú háromszöges hasáb térrács Forgatva nyújtott háromszöges hasáb térrács
Partial cubic honeycomb.png Truncated square prismatic honeycomb.png Snub square prismatic honeycomb.png Elongated triangular prismatic honeycomb.png Gyroelongated triangular prismatic honeycomb.png
Cantellated kockarács Élcsonkított kockarács Runcitruncated kockarács Runcinated alternated kockarács
Sablon:CDD
HC A5-A3-P2.png HC A6-A4-P2.png HC A5-A2-P2-Pr8.png HC A5-P2-P1.png

Merőleges vetületei[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

A kockának négy merőleges vetülete van, aminek középpontja csúcs, élfelező, lapközéppont és a csúcsalakzatának normálisa. Az első és a harmadik rendre megfelel az A2 és a B2 Coxeter-síkoknak.

Merőleges vetületek
Középpont Lap csúcs
Coxeter-sík B2
2-cube.svg
A2
3-cube t0.svg
Projektív
szimmetria
[4] [6]
Nézetek Cube t0 e.png Cube t0 fb.png

Általánosítása[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

A kocka tetszőleges dimenziós analogonjait szintén kockának nevezik. Ezek is szabályos politópok. Az n-dimenziós kockának  2^{n-k} {n \choose k} darab k-dimenziós határoló lapja van. Speciálisan,

  • nulladimenziós kocka (pont): 1 csúcs
  • egydimenziós kocka (szakasz): 2 csúcs, 1 él
  • kétdimenziós kocka (négyzet): 4 csúcs, 4 él, 1 lap
  • négydimenziós (hiper)kocka (tesszerakt): 16 csúcs, 32 él, 24 lap, 8 térlap
  • n-dimenziós kocka:  2^n csúcs, n  2^{n-1} él, (n^2-n)  2^{n-3} lap,  n\left(\frac {n^2+2}{3}-n\right) * 2^{n-4} térlap, és  2n oldal

Az n-dimenziós kocka egy modellje az Rn vektortérbeli In egységkocka.

Az egységkocka

Az egységkocka élhossza 1, élei párhuzamosak a koordinátatengelyekkel, és egyik csúcsa az origó.

A kocka egy másik modellje az a kocka, aminek csúcsai a (±1, ±1,… ±1) Descartes-koordinátájú pontok. Ennek a belseje azokból a pontokból áll, amik összes koordinátájára −1 < x i < 1.

A kocka öt négy dimenziós uniform politópot határol:

Tesszerakt, hiperkocka Cantellated 16-cella Runcinated tesszerakt Cantitruncated 16-cella Runcitruncated 16-cella
4-cube t0.svg 4-cube t13.svg 4-cube t03.svg 4-cube t123.svg 4-cube t023.svg

A kombinatorikában[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Egy másik fajta kocka a kockagráf. Ennek csúcsai a kocka csúcsainak, élei a kocka éleinek felelnek meg. Általánosítása a hiperkockagráf.

Egy másik általánosítás a háromdimenziós Hamming-gráf. A kockagráf a d = 2 esetnek felel meg. A Hamming-gráfokat és a hiperkocka gráfokat a párhuzamos programozásban használják ahhoz, hogy az egyes processzorok elég jól össze legyenek kötve, és az elméletek számára is könnyen kezelhető architektúrát adjanak.

Legyen S q elemű halmaz, és d pozitív egész. A H(d,q) Hamming-gráf csúcsai az S halmaz elemeinek d-esei. Két csúcs szomszédos akkor és csak akkor, ha egy koordinátában különböznek.

Előfordulása, alkalmazásai[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Dobókockák (K6)
Rubik-kocka
  • A kubán nevű szerves vegyület váza kocka alakú. Erről is kapta a nevét (angol: cube).
  • Legismertebb alkalmazása a hagyományos dobókocka. A szerepjátékokban, ahol más dobótesteket is használnak, K6 néven emlegetik.
  • Rubik Ernő világhírű találmánya szintén kocka alakú.

Források[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]