Kocka

A kocka

A kocka (vagy szabályos hexaéder) egy térbeli geometriai alakzat, egy speciális téglatest. 6 négyzet alakú lapja és 12 egyenlő hosszúságú éle van, amelyek 8 csúcsban találkoznak. A négyzet térbeli megfelelője. Hasáb, szabályos test.

Matematikai összefüggések

Egy $a$ élű kocka esetén

felszíne	$6a^2\,$
térfogata	$a^3\,$
beírható gömb sugara	$\frac{a}{2}$
köréírható gömb sugara	$\frac{\sqrt{3}a}{2}$
éleit érintő gömb sugara	$\frac{a}{\sqrt 2}$

Szimmetriái

A kockának

• három négyfogású forgástengelye (szemben fekvő oldalak középpontjain át)
• négy háromfogású forgástengelye (testátlók)
• hat kétfogású forgástengelye (élfelező pontokon át)
• kilenc szimmetriasíkja
• egy szimmetriaközéppontja (középpont)

van.

Az identitást leszámítva a négyfogású tengelyek három-három, a háromfogású tengelyek két-két szimmetriát adnak. Összesen a kocka szimmetriacsoportjának 48 eleme van. Ez a kocka- vagy oktaédercsoport.

Kapcsolatai más poliéderekkel

Kocka és duálisa

• A kocka duális poliédere az oktaéder.
• A kocka egy tetszőleges csúcsát összekötve az ebben a csúcsban összefutó négyzetlapok nem szomszédos csúcsaival, szabályos tetraédert kapunk. Egy ilyen tetraéder térfogata a kocka térfogatának egyharmadát teszi ki. A maradék négy egybevágó, nem szabályos gúla (szintén tetraéder) térfogata egyenként a kocka térfogatának hatoda.
• A kocka csúcsai ily módon két, egymáshoz képest középpontosan szimmetrikus szabályos tetraédert határoznak meg. (Ezek metszete oktaéder.)
• A kocka hat négyzet alapú gúlára osztható úgy, hogy szimmetriaközéppontját a csúcsokkal összekötő szakaszok mentén szétvágjuk.

A kocka és az oktaéder segítségével további testek konstruálhatók, amiknek szintén az oktaédercsoport a szimmetriacsoportja:

• csonkított kocka, hat nyolcszög- és nyolc háromszöglappal
• kuboktaéder nyolc négyzet- és hat háromszöglappal
• csonkított oktaéder hat négyzet- és nyolc hatszöglappal

Kocka és oktaéder egyesítéseként kapható

• a rombododekaéder 14 csúccsal és 12 rombuszlappal

A kocka dodekaéderbe írható úgy, hogy a kocka csúcsai a dodekaéder csúcsaira illeszkednek, és a kocka élei a dodekaéder lapátlói.

A kockával kiparkettázható a tér. Ez az egyetlen ilyen tulajdonságú szabályos test. A szabályos testek között egyedülálló abban is, hogy minden lapja középpontosan szimmetrikus. Az ilyen tulajdonságú testek a zonoéderek.

Általánosítása

A kocka tetszőleges dimenziós analogonjait szintén kockának nevezik. Ezek is szabályos politópok. Az n dimenziós kockának $2^{n-k} {n \choose k}$ darab k dimenziós határoló lapja van. Speciálisan,

• nulla dimenziós kocka (pont): 1 csúcs
• egy dimenziós kocka (szakasz): 2 csúcs, 1 él
• két dimenziós kocka (négyzet): 4 csúcs, 4 él, 1 lap
• négy dimenziós (hiper)kocka (tesszerakt): 16 csúcs, 32 él, 24 lap, 8 térlap
• n dimenziós kocka: $2^n$ csúcs, $n$ $2^{n-1}$ él, $(n^2-n)$ $2^{n-3}$ lap, $n\left(\frac {n^2+2}{3}-n\right) * 2^{n-4}$ térlap, és $2n$ oldal

Az n dimenziós kocka egy modellje az Rⁿ vektortérbeli Iⁿ egységkocka.

Az egységkocka

• $I^n = \left\{ (x_1,\dots,x_n) \mid 0 \le x_i \le 1 \right\}$
• $I^n = [0,1] \times \cdots \times [0,1]$, az egységintervallum n-szeres Descartes-szorzata
• a 2ⁿ csupa 0 - 1 koordinátájú pont konvex burka
• a 2n $x_i \ge 0$ és a $x_i \le 1$ alakú féltér metszete

Az egységkocka élhossza 1, élei párhuzamosak a koordinátatengelyekkel, és egyik csúcsa az origó.

A kocka egy másik modellje az a kocka, aminek csúcsai a (±1, ±1,… ±1) Descartes-koordinátájú pontok. Ennek a belseje azokból a pontokból áll, amik összes koordinátájára −1 < x _i < 1.

A kombinatorikában

Egy másik fajta kocka a kockagráf. Ennek csúcsai a kocka csúcsainak, élei a kocka éleinek felelnek meg. Általánosítása a hiperkockagráf.

Egy másik általánosítás a három dimenziós Hamming-gráf. A kockagráf a d = 2 esetnek felel meg.

Legyen S q elemű halmaz, és d pozitív egész. A H(d,q) Hamming-gráf csúcsai az S halmaz elemeinek d-esei. Két csúcs szomszédos akkor és csak akkor, ha egy koordinátában különböznek.

Az efféle gráfok a párhuzamos programozás elméletében jelennek meg.

A kémiában

A kubán nevű szerves vegyület váza kocka alakú. Erről is kapta a nevét (angol: cube).

Források

• A kocka és a kocka testhálójának különféle ábrázolásai
• Kockarejtvények
• Magasabb dimenziós kockák interaktív ábrázolása
• Weisstein, Eric W.: Cube. MathWorld--A Wolfram Web Resource. http://mathworld.wolfram.com/Cube.html (angolul)
• Interaktív kockamodell
• K.J.M. MacLean, Az öt szabályos test és a többi félig szabályos test geometriai elemzése
• Uniform poliéderek
• Poliéderek a virtuális valóságban
• A kocka térfogata interaktív animációval