Dodekaéder

Szabályos dodekaéder

A dodekaéder szó jelölhet minden olyan poliédert, melynek tizenkét lapja van, de általában a szabályos dodekaédert értik alatta, azt a szabályos testet, melyet tizenkét szabályos ötszög alkot, melyek közül minden csúcsban három találkozik. 20 csúcsa és 30 éle van. Duális poliédere az ikozaéder.

Felszín és térfogat

A dodekaéder hálója

Az a élhosszú szabályos dodekaéder A felülete és V térfogata a következőképpen számítható ki:

$A = 3\sqrt{25+10\sqrt{5}} a^2 \approx 20.6457288a^2$

$V = \frac{1}{4} (15+7\sqrt{5}) a^3 \approx 7.66311896a^3$

Dodekaéder gömbben és körülötte

A Dodekaéder a élének függvényében a köréírható gömb r_u sugara és a beírható gömb r_i sugara a következőképpen számítható ki:

$r_u = \sqrt{3}\frac{1+\sqrt{5}}{4} a \approx 1.401258538a$

$r_i = \frac{1}{2}\sqrt{\frac{25+11\sqrt{5}}{10}} a \approx 1.113516364a$

Descartes-koordináták

Az alábbi Descartes-féle koordinátákkal definiálhatók az origó központú dodekaéder csúcsai:

(±1, ±1, ±1)

(0, ±1/φ, ±φ)

(±1/φ, ±φ, 0)

(±φ, 0, ±1/φ),

ahol φ= (1+√5)/2, az aranymetszés arányszáma (fi-szám). Az oldalhossz: 2/φ = −1+√5.

A dodekaéder diéderes szöge: 2arctan(φ), ami kb. 116,565 °.

Geometriai viszonyok

A szabályos dodekaéder a csonkolt trapezoéderek végtelen halmazának harmadik tagja. Ezeket úgy képezhetjük, hogy egy pentagonális trapezoédert csonkolunk a két tengely-csúcsánál.

Csúcsok elrendeződése

A dodekaéder csúcselrendeződése megegyezik négy nemkonvex uniform poliéderével és három uniform compoundéval.

nagy csillag-dodekaéder	kis ditrigonális ikozidodekaéder	ditrigonális dodekadodekaéder	nagy ditrigonális ikozidodekaéder
Öt kocka	Öt tetraéder	Tíz tetraéder

Ikozaéder kontra dodekaéder

Ha egy dodekaédert rajzolunk egy gömb belsejébe, több a gömb térfogatának nagyobb részét (66,49%) foglalja el, mint egy ugyanabba a gömbbe helyezett ikozaéder (60,54%).

A szabályos egységnyi élhosszú dodekaéder térfogata több mint három és félszerese egy azonos élhosszú ikozaéder térfogatának.

A dodekaéder csonkításával az alábbi soron haladunk keresztül:

Kép	Dodekaéder	Csonkított dodekaéder	Ikozidodekaéder	Csonkított ikozaéder	Ikozaéder
Coxeter-Dynkin diagram

Kapcsolódó szócikkek

• Csonkított dodekaéder
• Pentakis dodekaéder
• Hamilton-út