Dodekaéder

A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából
Szabályos dodekaéder

A dodekaéder szó jelölhet minden olyan poliédert, melynek tizenkét lapja van, de általában a szabályos dodekaédert értik alatta, azt a szabályos testet, melyet tizenkét szabályos ötszög alkot, melyek közül minden csúcsban három találkozik. 20 csúcsa és 30 éle van. Duális poliédere az ikozaéder.

A rombododekaédernek 12 rombusz alakú lapja, 24 éle és 14 csúcsa van. A gránátcsoport jellegzetes kristályformája. A trigondodekaédernek 12 egyenlő oldalú háromszöglapja, 18 éle és 8 csúcsa van. A nagy dodekaéder egy konkáv test, 60 egyenlő szárú háromszöglappal, vagy 12 pentagramma lappal.

A piritoéder, más néven köbös pentagondodekaéder egy nem szabályos dodekaéder, aminek minden lapjának van egy, a többinél hosszabb éle. A poliédernek összesen 6 hosszú éle van. EZ tönkreteszi az ötfogású szimmetriákat, csak a köbös szimmetriák valósulhatnak meg. Ilyen alakúak a pirit kristályai. A szabályos dodekaéder nem lehet kristálycella, mivel ezt az ötfogású szimmetriák lehetetlenné teszik. A cikk a továbbiakban a szabályos dodekaédert tárgyalja.

Szimmetriái[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Pentagondodekaéder (sárgával) és duális teste, az ikozaéder (zölddel)

Mivel minden csúcsa, éle és lapja szimmetriával átvihető egymásba, ezért a platóni szabályos testek egyike. Szimmetriái:

  • hat ötfogású forgástengely (a szemközti lapok közepein át)
  • tíz háromfogású forgástengely (a szemközti élek közepein át)
  • tizenöt kétfogású forgástengely (a szemközti csúcsokon át)
  • tizenöt szimmetriasík
  • középpontosan szimmetrikus a középpontjára

Szimmetriacsoportja a dodekaédercsoport, 120 elemmel, amit ikozaédercsoportnak is hívnak, és Ih-val jelölnek. Ebben a forgatások 60 elemű részcsoportot alkotnak, ami a legkisebb nem Abel egyszerű csoport, és a legnagyobb nem Abel normálosztó az összes szimmetria csoportjában. Izomorf az öt hosszú páros permutációk A_5 csoportjával. A teljes dodekaédercsoport szerkezete A_5 \times C_2, mivel a középpontos tükrözés felcserélhető a forgatásokkal. Ez a csoport az [5,3] Coxeter-csoport.

Mivel szimmetriáiban szerepel az ötös szám, ezért ez a csoport összeegyeztethetetlen a hézagmentes térkitöltéssel, így nincs ilyen szimmetriájú kristályrács. A kvázikristályokban azonban előfordulnak dodekaéder alakú cellák.

Felszín és térfogat[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

A dodekaéder hálója

Az a élhosszú szabályos dodekaéder A felülete és V térfogata a következőképpen számítható ki:

A = 3\sqrt{25+10\sqrt{5}} a^2 \approx 20.6457288a^2
V = \frac{1}{4} (15+7\sqrt{5}) a^3 \approx 7.66311896a^3

Dodekaéder gömbben és körülötte[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

A dodekaéder a élének függvényében a köré írható gömb ru sugara és a beírható gömb ri sugara a következőképpen számítható ki:

r_u = \sqrt{3}\frac{1+\sqrt{5}}{4} a \approx 1.401258538a

r_i = \frac{1}{2}\sqrt{\frac{25+11\sqrt{5}}{10}} a \approx 1.113516364a

azaz

r_u = a\, \frac{\sqrt{3}}{2} \varphi
r_i = a\, \frac{\varphi^2}{2 \sqrt{3-\varphi}}

ahol φ az arany arány.

Descartes-koordináták[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Az alábbi Descartes-féle koordinátákkal definiálhatók az origó központú dodekaéder csúcsai:

(±1, ±1, ±1)
(0, ±1/φ, ±φ)
(±1/φ, ±φ, 0)
(±φ, 0, ±1/φ),

ahol φ= (1+√5)/2, az aranymetszés arányszáma (fi-szám). Az oldalhossz: 2/φ = −1+√5.

A dodekaéder diéderes szöge: 2arctan(φ), ami kb. 116,565 °.

Mértani arányok[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

A szabályos dodekaéder a csonkolt trapezoéderek végtelen halmazának harmadik tagja. Ezeket úgy képezhetjük, hogy egy pentagonális trapezoédert csonkolunk a két tengely-csúcsánál.

A dodekaéder élei közül kiválasztható három egymással szemben fekvő élpár úgy, hogy három egybevágó, páronként ortogonális téglalapot feszítsenek ki. A kimaradt nyolc csúcs ekkor egy dodekaéderbe írt kocka csúcsa. Összesen öt ilyen helyzet van, ahol minden él egy ilyen élhármasba tartozik, és minden csúcs kétszer kerül fel egy kockára. A dodekaéder szimmetriacsoportjának 5!=120 eleme hat mindezekre.

Mivel a beírt kockák élei az ötszöglapok átlói, ezért a dodekaéder élhossza és a kocka élhossza az aranymetszés szerint aránylik egymáshoz.

Lényegesen különböző hálóinak száma 43 380.

Az ugyanolyan térfogatú szabályos poliéderek közül a dodekaéder élhossza a legkisebb.

A dodekaéder lapjai 4 színnel színezhetők.

A lapátlók hossza az élhossz φ-szerese.

A dodekaéder három csillaga a négy Kepler-Poinsot poliéder közé tartozik.

A rektifikált dodekaéder egy ikozidodekaéder.

Ikozaéder kontra dodekaéder[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Ha egy dodekaédert rajzolunk egy gömb belsejébe, a gömb térfogatának nagyobb részét (66,49%) foglalja el, mint egy ugyanabba a gömbbe helyezett ikozaéder (60,54%).

A szabályos egységnyi élhosszú dodekaéder térfogata több mint három és félszerese egy azonos élhosszú ikozaéder térfogatának. Az egységnyi oldalhosszú dodekaéder duális ikozaéderének élhossza φ.

A dodekaéder lapjainak száma 12, csúcsainak száma 20. Az ikozaédernek 20 lapja és 12 éle van. Mindkét test 30 éllel bír.

Az uniform ikozaéderes poliéderek családja
Symmetry: [5,3], (*532) [5,3]+, (532)
Uniform polyhedron-53-t0.png Uniform polyhedron-53-t01.png Uniform polyhedron-53-t1.png Uniform polyhedron-53-t12.png Uniform polyhedron-53-t2.png Uniform polyhedron-53-t02.png Uniform polyhedron-53-t012.png Uniform polyhedron-53-s012.png
{5,3} t{5,3} r{5,3} 2t{5,3}=t{3,5} 2r{5,3}={3,5} rr{5,3} tr{5,3} sr{5,3}
Az uniform poliéderek duálisai
Icosahedron.svg Triakisicosahedron.jpg Rhombictriacontahedron.svg Pentakisdodecahedron.jpg POV-Ray-Dodecahedron.svg Deltoidalhexecontahedron.jpg Disdyakistriacontahedron.jpg Pentagonalhexecontahedronccw.jpg
V5.5.5 V3.10.10 V3.5.3.5 V5.6.6 V3.3.3.3.3 V3.4.5.4 V4.6.10 V3.3.3.3.5

A rombotriakontaédernek 12 + 20 = 32 csúcsa és 30 rombuszlapja van. A test úgy keletkezik, hogy a dodekaéder minden lapjára egyenes gúlákat teszünk úgy, hogy a szomszédos gúlák összeérő lapjai rombuszokat alkossanak.

Kapcsolatai más testekkel[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

A szabályos dodekaéder topológiailag az n3 csúcsalakzatú parkettázásokhoz tartozik.

Gömbi
Poliéderek
Poliéderek Euklideszi Hiperbolikus csempézés
Spherical trigonal hosohedron.png
{2,3}
Uniform polyhedron-33-t0.png
{3,3}
Uniform polyhedron-43-t0.png
{4,3}
Uniform polyhedron-53-t0.png
{5,3}
Uniform polyhedron-63-t0.png
{6,3}
H2 tiling 237-1.png
{7,3}
H2 tiling 238-1.png
{8,3}
... H2 tiling 23i-1.png
(∞,3)
Uniform oktaéderes poliéderek
Szimmetria: oktaéderes [4,3], (*432) [4,3]+
(432)
[1+,4,3] = [3,3]
(*332)
[3+,4]
(3*2)
{4,3} t{4,3} r{4,3}
r{31,1}
t{3,4}
t{31,1}
{3,4}
{31,1}
rr{4,3}
s2{3,4}
tr{4,3} sr{4,3} h{4,3}
{3,3}
h2{4,3}
t{3,3}
s{4,3}
s{31,1}
Uniform polyhedron-43-t0.svg Uniform polyhedron-43-t01.svg Uniform polyhedron-43-t1.svg
Uniform polyhedron-33-t02.png
Uniform polyhedron-43-t12.svg
Uniform polyhedron-33-t012.png
Uniform polyhedron-43-t2.svg
Uniform polyhedron-33-t1.png
Uniform polyhedron-43-t02.png
Rhombicuboctahedron uniform edge coloring.png
Uniform polyhedron-43-t012.png Uniform polyhedron-43-s012.png Uniform polyhedron-33-t0.pngUniform polyhedron-33-t2.png Uniform polyhedron-33-t01.pngUniform polyhedron-33-t12.png Uniform polyhedron-43-h01.svg
Uniform polyhedron-33-s012.png
Az uniform poliéderek duálisai
V43 V3.82 V(3.4)2 V4.62 V34 V3.43 V4.6.8 V34.4 V33 V3.62 V35
Octahedron.svg Triakisoctahedron.jpg Rhombicdodecahedron.jpg Tetrakishexahedron.jpg Hexahedron.svg Deltoidalicositetrahedron.jpg Disdyakisdodecahedron.jpg Pentagonalicositetrahedronccw.jpg Tetrahedron.svg Triakistetrahedron.jpg POV-Ray-Dodecahedron.svg
Szférikus Hiperbolikus parketták
Spherical pentagonal hosohedron.png
{2,5}
Uniform tiling 532-t2.png
{3,5}
H2 tiling 245-1.png
{4,5}
H2 tiling 255-1.png
{5,5}
H2 tiling 256-1.png
{6,5}
H2 tiling 257-1.png
{7,5}
H2 tiling 258-1.png
{8,5}
... H2 tiling 25i-1.png
{∞,5}

A dodekaéder az (V3.3.3.3.n) csúcsalakzatú nem uniform testek és parkettázások sorozatának is tagja. Ezeknek a laptranzitív alakzatoknak (n32) forgásszimmetriájuk van.

A 3.3.3.3.n snub poliéderek és parketták családja
Symmetry
n32
[n,3]+
Szférikus Euklideszi Hiperbolikus
232
[2,3]+
D3
332
[3,3]+
T
432
[4,3]+
O
532
[5,3]+
I
632
[6,3]+
P6
732
[7,3]+
832
[8,3]+
∞32
[∞,3]+
Snub
alakzat
Spherical trigonal antiprism.png
3.3.3.3.2
Spherical snub tetrahedron.png
3.3.3.3.3
Spherical snub cube.png
3.3.3.3.4
Spherical snub dodecahedron.png
3.3.3.3.5
Uniform tiling 63-snub.png
3.3.3.3.6
Uniform tiling 73-snub.png
3.3.3.3.7
Uniform tiling 83-snub.png
3.3.3.3.8
Uniform tiling i32-snub.png
3.3.3.3.∞
Schläfli sr{2,3} sr{3,3} sr{4,3} sr{5,3} sr{6,3} sr{7,3} sr{8,3} sr{∞,3}
Snub
duális
alakzat
Hexahedron.svg
V3.3.3.3.2
POV-Ray-Dodecahedron.svg
V3.3.3.3.3
Pentagonalicositetrahedroncw.jpg
V3.3.3.3.4
Pentagonalhexecontahedroncw.jpg
V3.3.3.3.5
Tiling Dual Semiregular V3-3-3-3-6 Floret Pentagonal.svg
V3.3.3.3.6
Ord7 3 floret penta til.png
V3.3.3.3.7
V3.3.3.3.8 V3.3.3.3.∞

Merőleges vetületek[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

A dodekaéder két merőleges vetülete az élek és a lapok középpontjain át vetítve az A2 and H2 Coxeter-síkokat adva:

Orthogonal projections
Minek a közepe Csúcs Él Lap
Kép Dodecahedron t0 A2.png Dodecahedron t0 e.png Dodecahedron t0 H3.png
Projeckív
szimmetria
[[3]] = [6] [2] [[5]] = [10]

A dodekaéder egy lap felől nézett perspektív vetülete Schlegel-diagrammal síkgráfként, sztereografikus projekcióval gömbi poliéderként szemléltethető. Ezeket szokták használni a 120-cella négy dimenziós szabályos poliéder szemléltetéséhez is, amit 120 dodekaéder határol.

Vetület Ortogonális vetület Perspektív vetület
Schlegel-diagramm Sztereografikus projekció
Dodekaéder Dodecahedron t0 H3.png Dodecahedron schlegel diagram.png Dodecahedron stereographic projection.png
Dodekaplex 120-cell t0 H3.svg Schlegel wireframe 120-cell.png Stereographic polytope 120cell faces.png

Csúcsok elrendeződése[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

A dodekaéder csúcselrendeződése megegyezik négy konkáv uniform poliéderével és három uniform összetett testével.

Great stellated dodecahedron.png

nagy csillag-dodekaéder

Small ditrigonal icosidodecahedron.png

kis ditrigonális ikozidodekaéder

Ditrigonal dodecadodecahedron.png

ditrigonális dodekadodekaéder

Great ditrigonal icosidodecahedron.png

nagy ditrigonális ikozidodekaéder

Compound of five cubes.png
Öt kocka
Compound of five tetrahedra.png
Öt tetraéder
Compound of ten tetrahedra.png
Tíz tetraéder

Csillag alakzatok[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

A dodekaéder csillagai mind konkáv reguláris Kepler-Poinsot poliéderek.

0 1 2 3
Csillag alakzat Dodecahedron.png
Dodecahedron
Small stellated dodecahedron.png
Kis csillagdodekaéder
Great dodecahedron.png
Nagy dodekaéder
Great stellated dodecahedron.png
Nagy csillagdodekaéder
Lapdiagram Zeroth stellation of dodecahedron facets.svg First stellation of dodecahedron facets.svg Second stellation of dodecahedron facets.svg Third stellation of dodecahedron facets.svg

Gráf[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Egy Hamilton-kör a dodekaéderen

A dodekaéder váza tekinthető gráfnak is, ahol a poliéder csúcsai a gráf csúcsai, és a poliéder élei a gráf élei. Ez a gráf megegyezik a G(10, 2) általánosított Petersen-gráffal. A poliéder szimmetriái tükröződnek a gráfban, így az távolságreguláris, távolságtranzitív és szimmetrikus, automorfiacsoportjának rendje 120. A csúcsok és az élek 3 színnel színezhetők, az átmérő 5.[1]

A gráf Hamilton is, azaz van benne Hamilton-kör, ami minden csúcsán áthalad. Maga a Hamilton-kör is innen származik, mert William Rowan Hamilton 1857-ben tervezett egy játékot, aminek célja egy Hamilton-kör megtalálása a dodekaéderen.

Alkalmazásai[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Dodekaéder mint dobókocka

Dodekaéder alakú tárgyakat a gyakorlatban többször is használtak, és a művészetekben és a filozófiában is szerephez jut.

A dodekaéder az utoljára felfedezett szabályos test. Iamblikhosz szerint Hippaszoszt emiatt fojtották tengerbe.

  • Egyes geodetikus kupolák a dodekaéderből levezethető poliédereket formáznak. Ezek a testek a dodekaéder lapjait osztják fel egyenlő szárú háromszögekre.
  • Vannak dodekaéder alakú dobókockák is.
  • Az újrahasznosítandó anyagokat egyes helyeken, például Párizsban dodekaéder alakú konténerekbe gyűjtik.
  • Az épületakusztikában dodekaéder alakú hangosbeszélőkkel érnek el jó gömbkarakterisztikát.
  • Dodekaéder alakú világítótestek
  • A római pentagondodekaéder ismeretlen célra készült. Európában több helyen is megtalálható a római romok között.
  • Tizenkét lapja miatt naptárnak is alkalmas: minden hónap külön lapot kap.
  • A Megaminx és az Alexander’s Star a Rubik-kockához hasonló logikai játékok.
  • A Contact (1997) tudományos-fantasztikus filmben a transzportgömb egy dodekaéder alakú rácsba van beágyazva.
  • Egyes kvázikristályok dodekaéder alakúak. Vannak szabályos kristályok, amelyek dodekaéderesen kristályosodnak, igaz, ez vagy a nem szabályos pritoéder vagy a rombododekaéder.[2]
  • Hollandiában a Dodecahedron egy avantgárd fekete metálbanda.[3]

A 20. század művészetében M. C. Escher több képén is megjelenik. Salvador Dalí El sacramento de la Última Cena képén az utolsó vacsora helyszíne egy átlátszó dodekaéder.

Az Immersive media Dodeca 2360 kamerája az első 360 fokos látószögű, teljes mozgású kamera, amely képes minden irányból szimultán nagy felbontású felvételeket készíteni másodpercenként több, mint 100 millió pixeles felbontással vagy másodpercenként 30 képes sebességgel. A dodekaéderen alapul.

A The Phantom Tollbooth gyermekeknek írt regényben a dodekaéder a matematika világának szereplőjeként jelenik meg. Minden lapján más szó áll, és úgy fordul, hogy azt mutassa a beszédpartnerének, amit érez.

Az univerzum alakja[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Platón dialógusában Timaiosz a többi négy szabályos testet a négy elemhez, a dodekaédert pedig az univerzum isteni tervéhez hasonlította. Arisztotelész szerint az ötödik elem az éter, de ő nem állított fel ilyen kapcsolatot.

Bertrand Russell 1954-es novellájában, a "THE MATHEMATICIAN'S NIGHTMARE: The Vision of Professor Squarepunt"-ban az ötös szám ezeket mondja magáról: Öt ujj van egy kézen. Én alkotom az ötszögeket és a pentagrammákat. Nélkülem nem lenne dodekaéder, és ahogy mindenki tudja, az univerzum dodekaéder alakú. Tehát nélkülem nem lenne univerzum.

A tudományban számos javaslat született az univerzum globális alakjára. A primitív geometriák mellett felvetődött a Poincaré-féle dodekaédertér, egy pozitív görbületű tér, amelynek szemközti lapjai egy kicsit elforgatva azonosítva vannak. Ezt Jean-Pierre Luminet és társai javasolták 2003-ban, majd 2008-ban meg is becsülték az elforgatás lehetséges mértékét.

Kapcsolódó szócikkek[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Források[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]