Hiperkocka

A hiperkocka a kocka általánosítása több dimenzióra: olyan konvex alakzat, amelynek bármely két éle egyforma hosszú, és vagy párhuzamos, vagy merőleges egymásra. Az egydimenziós hiperkocka a szakasz, a kétdimenziós a négyzet, a háromdimenziós a kocka.

Egy n dimenziós hiperkocka előáll 2n darab (n-1)-dimenziós hiperkocka összeillesztésével; más megközelítésben az n dimenziós hiperkocka az a terület, amelyet az (n-1)-dimenziós hiperkocka a hipersíkjára merőleges, az élhosszával azonos hosszú eltolás során súrol. A koordinátageometriában az origó középpontú, a tengelyekkel párhuzamos élű, 2d élhosszúságú hiperkocka azokat a pontokat tartalmazza, amelyek koordinátáinak a maximumnormája d és ‒d közé esik.

Konstrukció[szerkesztés]

Az a oldalhosszú kockák így konstruálhatók:

Ha egy pontot egyenes mentén eltolunk a távolságra, akkor szakaszt kapunk, ami egydimenziós kocka.
Ha egy a hosszú szakaszt egy rá merőleges irányban eltolunk, akkor négyzetet kapunk, ami kétdimenziós kocka.
Ha egy a oldalhosszú négyzetet eltolunk egy olyan irányban, ami merőleges a síkjára, akkor egy háromdimenziós kockát kapunk.
Általában, ha egy n dimenziós kockát egy rá merőleges irányban a távolságra eltolunk, akkor egy (n+1)-dimenziós kockát kapunk.

Kombinatorikus szerkezet[szerkesztés]

Az n dimenziós hiperkocka minden csúcsának n szomszédja van; a hiperkockának összesen $2^{n}$ csúcsa, $n\cdot 2^{n-1}$ éle és általában ${n \choose k}\cdot 2^{n-k}$ k dimenziós oldala van. A négydimenziós hiperkockának például 16 csúcsa, 32 éle, 24 lapja és 8 teste van. (A képlet egy egyszerű kombinatorikai gondolatmenettel levezethető: az n dimenziós hiperkocka $2^{n}$ csúcsának mindegyike $n \choose k$ darab k dimenziós oldalhoz tartozik, mivel a csúcs n szomszédjából k-t kiválasztva jelölhetünk ki egy ilyen oldalt. Minden oldalhoz $2^{k}$ csúcs tartozik, így az oldalak száma ${\frac {2^{n}\cdot {n \choose k}}{2^{k}}}$ .)

A különböző dimenziós oldalak száma az eltolásos konstrukcióval is belátható.

Az eltolás minden k-ra megduplázza a k dimenziós oldalak számát.
Minden k dimenziós oldal kiegészül (k+1)-dimenziósra.

Példa: a háromdimenziós kocka eltolással keletkezik a négyzetből.

a négyzet oldalainak száma megduplázódik
a négyzet csúcsai élekké egészülnek ki

Így a kockának 2·4+4 éle van.

	0-dim.	1-dim.	2-dim.	3-dim.	4-dim.	5-dim.	$\ldots$	(n-1)-dim.
	Az oldalak száma
Szakasz	2
Négyzet	4	4
3-dim. kocka	8	12	6
4-dim. kocka	16	32	24	8
5-dim. kocka	32	80	80	40	10
6-dim. kocka	64	192	240	160	60	12
$\vdots$
n-dim. kocka	$2^{n}$	$n2^{n-1}$	$n(n-1)2^{n-3}$	$\ldots$	$\ldots$	$\ldots$	$\ldots$	$2n$

Megjelenése a kultúrában[szerkesztés]

Képzőművészetben[szerkesztés]

Tony Robbin kockaélek forgatásával és tükrözésével olyan szituációkat ábrázolt rajzban és szobrokon, amik csak egy magasabb dimenzióban lehetségesek.
Manfred Mohr kompozícióiban olyan vonalakat jelenített meg, amelyek egy háromnál több szabadságfokú térbeli logikát követnek.
Frank Richter grafikáiban és szobraiban több, mint három térdimenziós konstellációk matematikai szabályait adta vissza.
Salvador Dalí egy képén (Corpus Hypercubus, 1954) egy négydimenziós hiperkocka kiterített hálója előtt ábrázolja a megfeszített Jézust.

Építészet[szerkesztés]

A Grande Arche épülete Párizs La Défense negyedében

Irodalomban és filmen[szerkesztés]

Andrzej Sekula Kocka 2: Hiperkocka filmjében a szereplők egy hiperkockában mozognak a tér és az idő dimenzióiban.
Robert A. Heinlein az And He Built a Crooked House című novellájában egy olyan házról ír, ami egy hiperkockából áll.
Christopher Nolan Interstellar című filmjének a végén a főszereplő egy hiperkockába zuhan fekete lyukba történő lépését követően. A kockában átalakulnak a tér és idő törvényei, ezáltal kommunikálni tud a gravitációt használva a lányával a múltban.