Hiperkocka

Négydimenziós hiperkocka háromdimenziós vetülete.

A hiperkocka a kocka általánosítása több dimenzióra: olyan konvex alakzat, amelynek bármely két éle egyforma hosszú, és vagy párhuzamos, vagy merőleges egymásra. Az egydimenziós hiperkocka a szakasz, a kétdimenziós a négyzet, a háromdimenziós a kocka.

Egy n dimenziós hiperkocka előáll 2n darab n-1 dimenziós hiperkocka összeillesztésével; más megközelítésben az n dimenziós hiperkocka az a terület, amelyet az n-1 dimenziós hiperkocka a hipersíkjára merőleges, az élhosszával azonos hosszú eltolás során súrol. A koordinátageometriában az origó középpontú, a tengelyekkel párhuzamos élű, 2d élhosszúságú hiperkocka azokat a pontokat tartalmazza, amelyek koordinátáinak a maximumnormája d és ‒d közé esik.

Konstrukció

Az a oldalhosszú kockák így konstruálhatók:

• Ha egy pontot egyenes mentén eltolunk a távolságra, akkor szakaszt kapunk, ami egydimenziós kocka.
• Ha egy a hosszú szakaszt egy rá merőleges irányban eltolunk, akkor négyzetet kapunk, ami kétdimenziós kocka.
• Ha egy a oldalhosszú négyzetet eltolunk egy olyan irányban, ami merőleges a síkjára, akkor egy háromdimenziós kockát kapunk.
• Általában, ha egy n dimenziós kockát egy rá merőleges irányban a távolságra eltolunk, akkor egy n+1 dimenziós kockát kapunk.

Kombinatorikus szerkezet

Az n dimenziós hiperkocka minden csúcsának n szomszédja van; a hiperkockának összesen $2^n$ csúcsa, $n \cdot 2^{n-1}$ éle és általában ${n \choose k} \cdot 2^{n-k}$ k-dimenziós oldala van. A négydimenziós hiperkockának például 16 csúcsa, 32 éle, 24 lapja és 8 teste van. (A képlet egy egyszerű kombinatorikai gondolatmenettel levezethető: az n dimenziós hiperkocka $2^n$ csúcsának mindegyike $n \choose k$ darab k dimenziós oldalhoz tartozik, mivel a csúcs n szomszédjából k-t kiválasztva jelölhetünk ki egy ilyen oldalt. Minden oldalhoz $2^k$ csúcs tartozik, így az oldalak száma $\frac{2^n \cdot {n \choose k}}{2^k}$.)

A különböző dimenziós oldalak száma az eltolásos konstrukcióval is belátható.

• Az eltolás minden k-ra megduplázza a k dimenziós oldalak számát.
• Minden k dimenziós oldal kiegészül k+1 dimenziósra.

Példa: a három dimenziós kocka eltolással keletkezik a négyzetből.

• a négyzet oldalainak száma megduplázódik
• a négyzet csúcsai élekké egészülnek ki

Így a kockának 2·4+4 éle van.

	Az oldalak száma
	0-dim.	1-dim.	2-dim.	3-dim.	4-dim.	5-dim.	$\ldots$	(n-1)-dim.
Szakasz	2
Négyzet	4	4
3-dim. kocka	8	12	6
4-dim. kocka	16	32	24	8
5-dim. kocka	32	80	80	40	10
6-dim. kocka	64	192	240	160	60	12
$\vdots$
n-dim. kocka	$2^n$	$n 2^{n-1}$	$n(n-1) 2^{n-3}$	$\ldots$	$\ldots$	$\ldots$	$\ldots$	$2n$

Megjelenése a kultúrában

Képzőművészetben

• Tony Robbin kockaélek forgatásával és tükrözésével olyan szituációkat ábrázolt rajzban és szobrokon, amik csak egy magasabb dimenzióban lehetségesek.
• Manfred Mohr kompozícióiban olyan vonalakat jelenített meg, amelyek egy háromnál több szabadságfokú térbeli logikát követnek.
• Frank Richter grafikáiban és szobraiban több, mint három térdimenziós konstellációk matematikai szabályait adta vissza.
• Salvador Dalí egy képén (Corpus Hypercubus, 1954) egy hiperkocka előtt ábrázolja a megfeszített Jézust.

Irodalomban és filmen

• Andrzej Sekula Kocka 2: Hiperkocka filmjében a szereplők egy hiperkockában mozognak a tér és az idő dimenzióiban.
• Robert A. Heinlein az And He Built a Crooked House című novellájában egy olyan házról ír, ami egy hiperkockából áll.

Galéria

• 

  Négydimenziós hiperkocka előállítása eltolással.

• 

  Egy forgó hiperkocka perspektivikus háromdimenziós vetülete.

• 

  Egy hatdimenziós hiperkocka merőleges vetülete.

Lásd még

• Egységkocka
• Negyedik dimenzió

Külső hivatkozások

• A magasabb dimenziós kockák elemi geometriájához – Marcus Gossler: Praxis der Mathematik, 1986
• Az n dimenzziós hiperkocka (PDF, ca. 900 kB) – 22. Basler Kolloquium für Mathematiklehrkräfte von Hans Walser, vom 19. November 2003
• Hiperkockák és hipergömbök
• Kiterjesztett táblázat a határolóelemekről
• Animált hiperkocka (Java)
• http://www.4d-screen.de/related-space - négy, öt, hat és hét dimenziós hiperkockák (Java)
• Négy dimenziós hiperkocka képes konstrukciója
• Négy dimenziós tetrisz