Négyszög
A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából
| Négyszög | |
| Általános négyszög | |
 |
|
| Élek, csúcsok száma | 4 |
| Átlók száma | 2 |
| Belső szögek összege | 360° |
| Szabályos négyszög | |
 |
|
| szabályos négyszög: a négyzet | |
| Schläfli szimbólum | {4} |
| Coxeter–Dynkin diagram |    |
| Szimmetriacsoport |
D4 diédercsoport |
| Terület : oldalnégyzet | 1 |
| Belső szög | 90° |
A geometriában a négyszög olyan sokszög, amelynek négy oldala és négy csúcsa van.
A belső és a külső szögeinek összege egyaránt 360°.
Tartalomjegyzék |
Szabályos négyszög [szerkesztés]
A szabályos négyszöget négyzetnek nevezzük, melynek minden oldala egyenlő és minden szöge 90° (derékszög).
Rendszerezés [szerkesztés]
A matematika a kategóriákat bezárólag értelmezi. Emiatt egy négyzetről például elmondhatjuk, hogy egyben téglalap, rombusz... Ha a négyzeteket mint egy halmazt szemléljük, akkor a négyzetek halmaza például olyan halmaz lesz, mely a paralelogrammák, húrnégyszögek és deltoidok halmazának metszete.
A négyszögek lehetnek egyszerűek (önmagukat nem metsző) vagy elfajultak (önmagukat metszők). Az egyszerű négyszögek továbbá lehetnek konvexek vagy konkávak. A konvex négyszögek (kivétel deltoid) a következőképpen csoportosíthatók:
- Trapéz: legalább két szemközti oldala párhuzamos.
- Húrtrapéz ("szimmetrikus trapéz", néhány tárgyalásban: "egyenlő szárú trapéz"): Olyan négyszög, amelynek van két-két egyenlő szomszédos szöge.[1] Azokat az oldalakat, amelyeken az egyenlő szögek fekszenek, alapoknak nevezzük, a másik két oldalt száraknak. A fenti meghatározáson túl sok más ekvivalens tulajdonság is létezik, amik szintén lehetséges definícióként választhatóak, ez részben tükröződik az alakzatot megnevező szinonimák sokaságában is.
- További ekvivalens tulajdonság: olyan tengelyesen szimmetrikus négyszög, amelynek (valamelyik) szimmetriatengelye két szemközti oldalának közös felező merőlegese (ez utóbbi tulajdonsághoz elég annyit megkövetelni, hogy a tengely oldalon menjen át[2], más szóval, ne menjen át csúcson[3]). A megszorítás kimondása szükséges (hiszen a szimmetrikus négyszögek másik csoportját a deltoidok adják, ott a szimmetriatengely két szemközti csúcson halad át). Egyszerűbb megfogalmazás: olyan négyszög, amelynek két-két csúcsa tengelyesen szimmetrikus.[3] Ennek megfelelően előfordul a "szimmetrikus trapéz" elnevezés is a húrtrapéz szinonimájaként, bár a tengelyes szimmetria és a trapéz tulajdonság puszta logikai konjunkciója nem ekvivalens tulajdonság a fentiekkel (a rombusz -- paralelogrammaként -- trapéz is, és -- deltoidként -- tengelyesen szimmetrikus is,[2][3] de a "szimmetrikus trapéz" elnevezést nem erre értjük).
- A húrtrapéz tengelyes szimmetriájából (és abból, hogy a tengely a két alap közös felező merőlegese) következik, hogy a két (egymásra szimmetrikus) szár felező merőlegese egy közös pontban metszi a szimmetriatengelyt. Tehát mind a négy oldal oldal felező merőlegese egyetlen közös pontban metszi egymást, így e ponttól mind a négy csúcs egyenlő távolságban van. Ennek megfelelően a húrtrapéz köré mindig írható kör, vagyis egyben húrnégyszög is,[4] erre utal maga az elnevezés is.
- Ha trapéz (bármelyik) alapján a két szár azonos szöget zár be az alappal, akkor az a trapéz húrtrapéz, és fordítva: csak a húrtrapézok rendelkeznek ezzel a tulajdonsággal. Ennek megfelelően, Hajós György eseti didaktikai használattal "egyenlő szögű trapéz" nevet is felvet szinonimaként.
- Ugyanakkor, az "egyenlő szárú trapéz" elnevezés is használatos. Valójában a húrtrapézok mellett a paralelogrammák is egyenlő szárakkal rendelkező trapézok: egy trapéz szárainak egyenlőségéből önmagában még csak annyi következik, hogy az alapon fekvő szögek vagy kiegészítő szögek (paralelogramma esete, az átlók középen metszik egymást), vagy pedig egyenlő az alapon fekvő két szög egymással (ez pedig pontosan a húrtrapéz esete, az átlók egyenlő hosszúak). (A téglalap egyszerre húrtrapéz is és paralelogramma is.) A "egyenlő szárú trapéz" elnevezést a legtöbb tárgyalásban csak az alapon fekvő szögek egyenlőségének esetére értik, ezekben tehát az "egyenlő szárú trapéz" kifejezés a "húrtrapéz" puszta szinonimájának tekintendő.[2] Néhány szövegösszefüggésben előfordul a tágabb, diszkusszióra utaló szóhasználat is.[3]
- Paralelogramma: a két-két szemközti oldal párhuzamos. Ebből az is következik, hogy a szemközti oldalak egyforma hosszúak, a szemközti szögek egyenlőek, és az átlók felezik egymást. Minden paralelogramma trapéz.
- Deltoid: két-két egymás melletti oldal azonos hosszúságú. Ebből az is következik, hogy a szögek közül az egyik megegyezik a vele szemközti szöggel, és hogy az egyik átló merőlegesen metszi a másikat, és felezi azt. Angol nyelvterületen csak a konvex négyszögeket tekintik deltoidnak, míg a magyar, magyar nyelvterületen a konkávot is. Minden deltoid érintőnégyszög.
- Rombusz: mind a négy oldal egyenlő hosszúságú. Ebből az is következik, hogy a szemközti oldalak párhuzamosak, a szemközti szögek egyenlőek, és az átlók merőlegesen metszik és felezik egymást. A rombusz egyben deltoid és érintőnégyszög is.
- Téglalap: minden szöge derékszögű. Ebből az is következik, hogy a szemközti oldalak párhuzamosak és páronként egyenlő hosszúak, illetve hogy az átlók egyenlő hosszúak és felezik egymást. A téglalap egyben paralelogramma és húrnégyszög is.
- Négyzet (szabályos négyszög): mind a négy oldal egyenlő hosszúságú, és minden szöge derékszög. Ebből az is következik, hogy a szemközti oldalak párhuzamosak és páronként egyenlő hosszúak, illetve hogy az átlók egyenlő hosszúak, derékszögben metszik és felezik egymást. A négyzet egyszerre paralelogramma, deltoid és húrnégyszög.
- Húrnégyszög: a négy csúcspont köré kör írható, vagyis minden oldala ugyanannak a körnek a húrja.
- Érintőnégyszög: minden oldala ugyanannak a beírt körnek az érintője.
- Bicentrikus négyszög: egyszerre húr- és érintőnégyszög.
Jegyzetek [szerkesztés]
- ↑ Hajós György "Bevezetés a geometriába" c. könyvében ezt a tulajdonságot választja definícióként. A tárgyalásmód szóhasználata arra utal, hogy a négyszögeket egyfajta "dualitás" szerinti rendszerezés mentén mutatja be: ennek alapján a húrtrapéz tulajdonságait a deltoidéval érdemes egybevetni (ahol előbbinek a definíciója: "két-két szomszédos szöge egyenlő", utóbbinak a definíciója pedig: "két-két szomszédos oldala egyenlő"). A "dualitás" szerinti tárgyalásmód nyomon követhető Csahóczi Erzsébet & Csatár Katalin & Kovács Csongorné & Morvai Éva & Széplaki Györgyné & Szeredi Éva : Matematika 6. tankönyvében is (II. kötet, Apáczai Kiadó, 2009, 17--19. o.).
- ^ a b c Hajós György: Bevezetés a geometriába.
- ^ a b c d Kosztolányi József & Kovács István & Pintér Klára & Urbán János & Vincze István (2010): Sokszinű matematika 9 (tankönyv). Szeged: Mozaik Kiadó. ISBN 978 963 697 347 6. 208. oldal.
- ↑ Hajdu Sándor 1992 (szerk.): Matematika 6. tankönyv. Budapest: Tankönyvkiadó. 216. oldal.
Külső hivatkozások [szerkesztés]
- Varignon and Wittenbauer Parallelograms by Antonio Gutiérrez from "Geometry Step by Step from the Land of the Incas"
- Van Aubel's theorem Quadrilateral with four squares by Antonio Gutiérrez from "Geometry Step by Step from the Land of the Incas"
- Compendium Geometry Analytic Geometry of Quadrilaterals
- Quadrilaterals Formed by Perpendicular Bisectors
- Projective Collinearity in a Quadrilateral
|
|||||
