Négyszög

A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából
Négyszög
Általános négyszög
Six Quadrilaterals.svg
Élek, csúcsok száma 4
Átlók száma 2
Belső szögek összege 360°
Szabályos négyszög
SQUARE SHAPE.svg
szabályos négyszög: a négyzet
Schläfli szimbólum {4}
Coxeter–Dynkin diagram CDW ring.pngCDW 4.pngCDW dot.png
Szimmetriacsoport

D4

diédercsoport
Terület : oldalnégyzet 1
Belső szög 90°

A geometriában a négyszög olyan sokszög, amelynek négy oldala és négy csúcsa van. A belső szögeinek összege 360°.

Szabályos négyszög[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

A szabályos négyszöget négyzetnek nevezzük, melynek minden oldala egyenlő és minden szöge 90° (derékszög).

Rendszerezés[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

A matematika a kategóriákat bezárólag értelmezi. Emiatt egy négyzetről például elmondhatjuk, hogy egyben téglalap, rombusz. Ha a négyzeteket mint egy halmazt szemléljük, akkor a négyzetek halmaza például olyan halmaz lesz, mely a paralelogrammák, húrnégyszögek és deltoidok halmazának metszete.

A négyszögek lehetnek egyszerűek (önmagukat nem metszők) vagy elfajultak (önmagukat metszők). Az egyszerű négyszögek továbbá lehetnek konvexek vagy konkávak. A konvex négyszögek (kivétel deltoid) a következőképpen csoportosíthatók:

  • Trapéz: legalább két szemközti oldala párhuzamos.
  • Húrtrapéz (szimmetrikus trapéz, néhány tárgyalásban: egyenlő szárú trapéz): olyan tengelyesen szimmetrikus négyszög, amelynek szimmetriatengelyére nem illeszkedik csúcs.[1] Húrtrapézt a szimmetriatengelyére tükrözve két-két csúcs éppen helyet cserél: a szimmetriatengely a húrtrapéz két (egymással szemközti) oldalának közös felezőmerőlegese, a másik két (egymással szintén szemközti oldal) pedig egymás tükörképe. A fenti meghatározáson túl sok más ekvivalens tulajdonság is létezik, amik szintén lehetséges definícióként választhatóak, ez részben tükröződik az alakzatot megnevező szinonimák sokaságában is.
  • Paralelogramma: a két-két szemközti oldal párhuzamos. Ebből az is következik, hogy a szemközti oldalak egyforma hosszúak, a szemközti szögek egyenlőek, és az átlók felezik egymást. Minden paralelogramma trapéz.
  • Deltoid: két-két egymás melletti oldal azonos hosszúságú. Ebből az is következik, hogy a szögek közül az egyik megegyezik a vele szemközti szöggel, és hogy az egyik átló merőlegesen metszi a másikat, és felezi azt. Angol nyelvterületen csak a konvex négyszögeket tekintik deltoidnak, míg a német és magyar nyelvterületen a konkávot is. Minden konvex deltoid érintőnégyszög.
  • Rombusz: mind a négy oldal egyenlő hosszúságú. Ebből az is következik, hogy a szemközti oldalak párhuzamosak, a szemközti szögek egyenlőek, és az átlók merőlegesen metszik és felezik egymást. A rombusz egyben deltoid és érintőnégyszög is.
  • Téglalap: minden szöge derékszögű. Ebből az is következik, hogy a szemközti oldalak párhuzamosak és páronként egyenlő hosszúak, illetve hogy az átlók egyenlő hosszúak és felezik egymást. A téglalap egyben paralelogramma és húrnégyszög is.
  • Négyzet (szabályos négyszög): mind a négy oldal egyenlő hosszúságú, és minden szöge derékszög. Ebből az is következik, hogy a szemközti oldalak párhuzamosak és páronként egyenlő hosszúak, illetve hogy az átlók egyenlő hosszúak, derékszögben metszik és felezik egymást. A négyzet egyszerre paralelogramma, deltoid és húrnégyszög.
  • Húrnégyszög: a négy csúcspont köré kör írható, vagyis minden oldala ugyanannak a körnek a húrja.
  • Érintőnégyszög: minden oldala ugyanannak a beírt körnek az érintője.
  • Bicentrikus négyszög: egyszerre húr- és érintőnégyszög.
Negyszogek.jpg

Magyarázat az ábrához:

Terület(ek)
sorszáma
Megnevezés
1–14 Négyszög
14 Elfajult négyszög
1–13 Egyszerű négyszög
13 Konkáv négyszög
1–12 Konvex négyszög
1–3, 6, 8, 10 Trapéz
1–5, 11 Húrnégyszög
1–3 Húrtrapéz
1, 4–7, 9 Érintőnégyszög
1, 4, 5 Bicentrikus négyszög
1, 2, 6, 8 Paralelogramma
1, 4, 6, 7 Konvex deltoid
1, 4 Bicentrikus deltoid
1, 6 Rombusz
1, 2 Téglalap
1 Négyzet


Jegyzetek[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

  1. Kosztolányi József & Kovács István & Pintér Klára & Urbán János & Vincze István (2010): Sokszínű matematika 9 (tankönyv). Szeged: Mozaik Kiadó. ISBN 978 963 697 347 6. 208. oldal.

Külső hivatkozások[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]