Húrnégyszög

Húrnégyszögek köréjük írt köreikkel

A húrnégyszög olyan négyszög, amelyhez van olyan kör, amely áthalad a négyszög négy csúcsán. Más megfogalmazásban, olyan négyszög, melynek oldalai egy kör húrjai. Speciálisan, húrnégyszögek az egyenlő szárú trapézok, amiket ezért húrtrapézoknak neveznek.

Az a négyszög, amibe kör írható, érintőnégyszög.

Képletek

A húrnégyszög adatai
Terület	$T \, = \, \sqrt{(s-a) (s-b) (s-c) (s-d)}$
Terület	$T \, = \, \frac{e \cdot (ab+cd)}{4R} = \frac{f \cdot (ad+bc)}{4R}$
Oldalhosszak	$a,\,b,\,c,\,d$
Félkerület	$s \, = \, \frac{a+b+c+d}{2}$
Az átlók hossza	$e = \overline{AC}=\sqrt{\frac{(ac+bd)(ad+bc)}{ab+cd}}\, , \, f=\overline{BD}=\sqrt{\frac{(ab+cd)(ac+bd)}{ad+bc}}$
A körülírt kör sugara	$R=\frac{1}{4T}\sqrt{(ab+cd)(ac+bd)(ad+bc)},$

Az első területképlet Brahmagupta tételeként ismert, melynek speciális esete, mikor d=0. Ezt a speciális esetet Hérón-képletként emlegetik, ami a háromszögek területének kiszámításának egy módszere. Ilyenkor a négyszög egyik oldala 0, így háromszöget kapunk. Néha az általános esetet is Hérón-képletnek nevezik.

A húrnégyszögek tétele

Bármely húrnégyszög két szemközti szögének összege $180^\circ$.

A tétel megfordítása

Ha egy négyszög két szemközti szögének összege $180^\circ$, akkor az húrnégyszög.

Tétel bizonyítása

A kör egy ívéhez tartozó kerületi és középponti szögek közötti összefüggés miatt a húrnégyszög $\alpha$ szögéhez tartozó középponti szög $2\alpha$. Az $\alpha$ szöggel szemközti $\gamma$ szöghöz tartozó középponti szög $2\gamma$. A két középponti szög kiegészíti egymást ($2\alpha + 2\gamma = 360^\circ$), így $\alpha + \gamma = 180^\circ$.

A tétel megfordításának bizonyítása

Az $ABD$ háromszög köré írt kört rajzolunk, megmutatjuk, hogy $C$ erre illeszkedik. A kör $BD$ húrja az $A$ pontból $\alpha$ szög alatt látszik, $C$ pontból pedig $180^\circ - \alpha$ szög alatt. A síkon azok a pontok, melyekből a $BD$ húr $180^\circ - \alpha$ szög alatt látszik, az $ABD$ háromszög köré írt körnek az íve, illetve ennek a $BD$-re vonatkozó tükörképe. A feltétel miatt $ABCD$ négyszög konvex, így $C$ csak a körvonalon lévő köríven lehet, azaz $ABCD$ négyszög húrnégyszög.

Ptolemaiosz tétele

A húrnégyszög átlóinak szorzata a szemközti oldalpárok szorzatának összegével egyenlő.

Tétel a húrnégyszög átlóinak szeleteiről

Az ABCD húrnégyszög egyik átlójának két szeletének szorzata megegyezik a húrnégyszög másik átlójának két szeletének szorzatával.

$\overline{AP}\cdot\overline{CP}=\overline{BP}\cdot\overline{DP}$,

ahol P a két átló metszéspontja.

Források

• Gerőcs László. Azok a csodálatos húrnégyszögek. Műszaki Könyvkiadó. ISBN 963-16-2520-6 (1999)