Húrnégyszög

A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából
Húrnégyszögek köréjük írt köreikkel

A húrnégyszög olyan négyszög, amelyhez van olyan kör, amely áthalad a négyszög négy csúcsán. Más megfogalmazásban, olyan négyszög, melynek oldalai egy kör húrjai. Speciálisan, húrnégyszögek az egyenlő szárú trapézok, amiket ezért húrtrapézoknak neveznek.

Az a négyszög, amibe kör írható, érintőnégyszög.

Képletek[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

A húrnégyszög adatai
Terület T \, = \, \sqrt{(s-a) (s-b) (s-c) (s-d)}
Terület T \, = \, \frac{e \cdot (ab+cd)}{4R}
= \frac{f \cdot (ad+bc)}{4R}
Oldalhosszak a,\,b,\,c,\,d
Félkerület s \, = \, \frac{a+b+c+d}{2}
Az átlók hossza e = \overline{AC}=\sqrt{\frac{(ac+bd)(ad+bc)}{ab+cd}}\, , \, f=\overline{BD}=\sqrt{\frac{(ab+cd)(ac+bd)}{ad+bc}}
A körülírt kör sugara R=\frac{1}{4T}\sqrt{(ab+cd)(ac+bd)(ad+bc)},

Az első területképlet Brahmagupta tételeként (wd) ismert, melynek speciális esete, mikor d=0. Ezt a speciális esetet Hérón-képletként emlegetik, ami a háromszögek területének kiszámításának egy módszere. Ilyenkor a négyszög egyik oldala 0, így háromszöget kapunk. Néha az általános esetet is Hérón-képletnek nevezik.

A húrnégyszögek tétele[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Bármely húrnégyszög két szemközti szögének összege 180^\circ.

A tétel megfordítása[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Ha egy négyszög két szemközti szögének összege 180^\circ, akkor az húrnégyszög.

Tétel bizonyítása[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

A kör egy ívéhez tartozó kerületi és középponti szögek közötti összefüggés miatt a húrnégyszög \alpha szögéhez tartozó középponti szög 2\alpha. Az \alpha szöggel szemközti \gamma szöghöz tartozó középponti szög 2\gamma. A két középponti szög kiegészíti egymást (2\alpha + 2\gamma = 360^\circ), így \alpha + \gamma = 180^\circ.

A tétel megfordításának bizonyítása[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Az ABD háromszög köré írt kört rajzolunk, megmutatjuk, hogy C erre illeszkedik. A kör BD húrja az A pontból \alpha szög alatt látszik, C pontból pedig 180^\circ - \alpha szög alatt. A síkon azok a pontok, melyekből a BD húr 180^\circ - \alpha szög alatt látszik, az ABD háromszög köré írt körnek az íve, illetve ennek a BD-re vonatkozó tükörképe. A feltétel miatt ABCD négyszög konvex, így C csak a körvonalon lévő köríven lehet, azaz ABCD négyszög húrnégyszög.

Ptolemaiosz tétele[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

A húrnégyszög átlóinak szorzata a szemközti oldalpárok szorzatának összegével egyenlő.

Tétel a húrnégyszög átlóinak szeleteiről[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Az ABCD húrnégyszög egyik átlójának két szeletének szorzata megegyezik a húrnégyszög másik átlójának két szeletének szorzatával.

\overline{AP}\cdot\overline{CP}=\overline{BP}\cdot\overline{DP},

ahol P a két átló metszéspontja.

Források[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

  • Gerőcs László. Azok a csodálatos húrnégyszögek. Műszaki Könyvkiadó. ISBN 963-16-2520-6 (1999)