Érintőnégyszög

Érintőnégyszög ábrázolása. Az oldalakra állított merőlegesek négy deltoidra osztják az érintőnégyszöget

Az érintőnégyszög olyan négyszög, amelynek oldalai egyazon kör érintői (más szóval van beírt köre).

Érintőnégyszög például a négyzet, a rombusz és a konvex deltoid. Ha egy érintőnégyszög egyben húrnégyszög is, akkor bicentrikus négyszögnek nevezzük.

Az érintőnégyszög-tétel (ld. lentebb) a definíciónál egyszerű kritériumot ad arra nézve, hogy egy négyszög mely esetben érintőnégyszög. Nevezetesen, egy négyszög akkor és csak akkor érintőnégyszög, ha szemközti oldalainak összege egyenlő.

Az érintőnégyszög területe $T \, = \, r \cdot (a+c) = r \cdot (b+d)$, ahol a, b, c és d az oldalak hossza, és r a beírt kör sugara. A bicentrikus négyszög területe: $T \, = \, \sqrt{abcd}$.

Szögfelezők

Egy érintőnégyszögben a szögfelezők a beírt kör középpontjában metszik egymást, és fordítva, ha egy négyszög szögfelezői egy pontban metszik egymást, akkor az érintőnégyszög.

Érintőnégyszög-tétel

Bármely érintőnégyszögben a két-két szemközti oldal hosszának összege egyenlő: $a+c = b+d = s$, ahol $s$ a félkerület.

Következmény

A négyszöget a kör középpontjából háromszögekre bontva adódik, hogy $T = rs$. Ebből és a Bretschneider formulából

$r = \frac{\sqrt{4p^2q^2-(a^2-b^2+c^2-d^2)^2}}{2(a+b+c+d)} = \frac{\sqrt{p^2q^2-(a-b)^2(a+b-s)^2}}{2s}$,

ahol $p$ és $q$ az átlók hossza.

A tétel megfordítása

Ha egy konvex négyszögben két-két szemközti oldal hosszának összege egyenlő, akkor az érintőnégyszög .

A tétel bizonyítása

A körhöz húzott érintő pontból húzott érintőszakaszok egyenlőek (érintő és szelőszakaszok tétele), vagyis $AB + CD = a + b + c + d$ és $BC + AD = b + c + a + d$.

A tétel megfordításának bizonyítása

Indirekt bizonyítjuk:

Tegyük fel, hogy $a + c = b + d$ fennáll, de a négyszög nem érintőnégyszög. Legyen $a$ a leghosszabb oldal, ekkor $b$ és $d$ összetartó egyenesek. Ha van két egyenlő hosszúságú oldal ($a$ és $c$), akkor nem helyezkedhetnek el egymással szemben a feltétel miatt, miszerint $a$ hosszabb a másik két oldalnál. Az $a$ oldal és a $b$ illetve $d$ oldal $c$ felé történő meghosszabbítása által meghatározott háromszög egyértelműen meghatároz egy $k$ kört. Tegyük fel, hogy $k$ nem érinti $c$-t.

Ekkor két eset van:

1) $c$ metszi $k$-t

vagy

2) $c$-nek és $k$-nak nincsen közös pontja

Mozgassuk el $c$ egyenesét párhuzamosan úgy, hogy érintse $k$-t. Ekkor $a, b', c', d'$ érintőnégyszög mindkét esetben.

1)-nél $c'<c, b'>b, d'>d$, de ekkor nem lenne igaz a $a + c = b + d$ feltevés, vagyis ellentmondáshoz jutottunk.

2)-nél ugyanígy ellentmondás, mivel $c'>c, b'<b, d'<d$.

Átlók beírt körei

Egy konvex négyszög akkor és csak akkor érintőnégyszög, ha az átlói által meghatározott négy háromszög beírt köreinek sugaraira teljesül $\tfrac{1}{r_1}+\tfrac{1}{r_3}=\tfrac{1}{r_2}+\tfrac{1}{r_4}$.

Források

Chao, Wu Wei & Simeonov, Plamen (2000), "When quadrilaterals have inscribed circles (solution to problem 10698)", American Mathematical Monthly 107 (7): 657–658, DOI 10.2307/2589133.

• Weisstein, Eric W., "Tangential Quadrilateral", MathWorld