Érintőnégyszög

Az érintőnégyszög olyan konvex négyszög, amelynek oldalai egyazon kör érintői (más szóval van beírt köre). Az érintősokszög speciális esete.

Érintőnégyszög például a négyzet, a rombusz és a konvex deltoid. Ha egy érintőnégyszög egyben húrnégyszög is, akkor bicentrikus négyszögnek nevezzük.

Az érintőnégyszög-tétel (ld. lentebb) a definíciónál egyszerű kritériumot ad arra nézve, hogy egy négyszög mely esetben érintőnégyszög. Nevezetesen, egy négyszög akkor és csak akkor érintőnégyszög, ha szemközti oldalainak összege egyenlő.

Az érintőnégyszög területe $T\,=\,r\cdot (a+c)=r\cdot (b+d)$ , ahol a, b, c és d az oldalak hossza, és r a beírt kör sugara. A bicentrikus négyszög területe: $T\,=\,{\sqrt {abcd}}$ .

Szögfelezők[szerkesztés]

Egy érintőnégyszögben a szögfelezők a beírt kör középpontjában metszik egymást, és fordítva, ha egy négyszög szögfelezői egy pontban metszik egymást, akkor az érintőnégyszög.

Érintőnégyszög-tétel[szerkesztés]

Bármely érintőnégyszögben a két-két szemközti oldal hosszának összege egyenlő: $a+c=b+d=s$ , ahol $s$ a félkerület.

Következmény[szerkesztés]

A négyszöget a kör középpontjából háromszögekre bontva adódik, hogy $T=rs$ . Ebből és a Bretschneider-formulából

r={\frac {\sqrt {4p^{2}q^{2}-(a^{2}-b^{2}+c^{2}-d^{2})^{2}}}{2(a+b+c+d)}}={\frac {\sqrt {p^{2}q^{2}-(a-b)^{2}(a+b-s)^{2}}}{2s}}

,

ahol $p$ és $q$ az átlók hossza.

A tétel megfordítása[szerkesztés]

Ha egy konvex négyszögben két-két szemközti oldal hosszának összege egyenlő, akkor az érintőnégyszög.^[1]

A tétel bizonyítása[szerkesztés]

A körhöz húzott érintő pontból húzott érintőszakaszok egyenlőek (érintő és szelőszakaszok tétele), vagyis $AB+CD=a+b+c+d$ és $BC+AD=b+c+a+d$ .

A tétel megfordításának bizonyítása[szerkesztés]

Indirekt bizonyítjuk:

Tegyük fel, hogy $a+c=b+d$ fennáll, de a négyszög nem érintőnégyszög. Legyen $a$ a leghosszabb oldal, ekkor $b$ és $d$ összetartó egyenesek. Ha van két egyenlő hosszúságú oldal ( $a$ és $c$ ), akkor nem helyezkedhetnek el egymással szemben a feltétel miatt, miszerint $a$ hosszabb a másik két oldalnál. Az $a$ oldal és a $b$ illetve $d$ oldal $c$ felé történő meghosszabbítása által meghatározott háromszög egyértelműen meghatároz egy $k$ kört. Tegyük fel, hogy $k$ nem érinti $c$ -t.

Ekkor két eset van:

1) $c$ metszi $k$ -t

vagy

2) $c$ -nek és $k$ -nak nincsen közös pontja

Mozgassuk el $c$ egyenesét párhuzamosan úgy, hogy érintse $k$ -t. Ekkor $a,b',c',d'$ érintőnégyszög mindkét esetben.

1)-nél $c'<c,b'>b,d'>d$ , de ekkor nem lenne igaz a $a+c=b+d$ feltevés, vagyis ellentmondáshoz jutottunk.

2)-nél ugyanígy ellentmondás, mivel $c'>c,b'<b,d'<d$ .

Átlók beírt körei[szerkesztés]

Egy konvex négyszög akkor és csak akkor érintőnégyszög, ha az átlói által meghatározott négy háromszög beírt köreinek sugaraira teljesül ${\tfrac {1}{r_{1}}}+{\tfrac {1}{r_{3}}}={\tfrac {1}{r_{2}}}+{\tfrac {1}{r_{4}}}$ .^[2]