Kommutativitás

A matematikában a kommutativitás vagy felcserélhetőség a kétváltozós matematikai műveletek egy tulajdonsága. Olyan matematikai műveleteket neveznek így, melyeknél az összetevők sorrendjének felcserélése nem változtatja meg a művelet eredményét.

Definíció

Legyen $(A;\cdot )$ tetszőleges grupoid. Ha minden $a, b \in A$ elemre teljesül, hogy $a\cdot b=b\cdot a$, akkor azt mondjuk, hogy a $\cdot$ művelet kommutatív a $(A;\cdot )$ grupoidban.

Tulajdonságok

• Kommutatív $(A;\cdot )$ félcsoportokban teljesül az általános kommutativitás tétele, azaz tetszőleges $a_1,...,a_n\in A$ elemekre az $a_1\cdot... \cdot a_n\in A$ szorzat eredménye független az $a_1,...,a_n$ tényezők sorrendjétől.

Példák

• A valós számokon értelmezett szokásos összeadás és szorzás műveletek kommutatívak.
• A valós számokon értelmezett kivonás művelet nem kommutatív: pl. $5-3 \neq 3-5$.
• Az egyesítés és metszetképzés bármely, halmazokból álló alaphalmazon értelmezve kommutatív.

• A leképezések szorzása nem kommutatív: pl. $\sin(\cos(\pi)) \neq \cos(\sin(\pi))$.

Kommutatív struktúrák

• Abel-csoport

Lásd még

• Asszociativitás
• Disztributivitás
• Antikommutativitás

Hivatkozások

• Szendrei, Ágnes: Diszkrét matematika Logika, algebra, kombinatorika, Polygon JATE Press, Szeged, 1994