Térszög

A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából
Térszög

A térszög (jele: Ω) egy olyan szög a 3-dimenziós térben, amelyet egy 0 csúcspontú, tetszőleges zárt vezérgörbéjű kúp határoz meg. A térszöget annak a felületdarabnak a nagyságával mérjük, amelyet a kúpfelület az 0 középpontú gömbből kivág. (A kivágott felület alakja közömbös, csak a nagysága számít.)

A térszög azt méri, hogy az adott pontból nézve milyen nagynak tűnik egy objektum. (Például egy közel lévő kis objektum ugyanakkora térszöget zárhat be, mint egy távoli nagy objektum.) A térszög úgy viszonyul a gömb felszínéhez, mint a síkszög a kör kerületéhez, vagyis értéke egyenesen arányos az objektumnak vetületének az 0 középpontú gömb felszínén mért területével (S) , és fordítottan a gömbsugár (r) négyzetével: \Omega = {k}\ {S/}{r^2} (ahol k arányossági konstans).

Amennyiben a k konstanst 1-nek választjuk, akkor a térszög mértékegysége az SI-beli szteradián (jele: sr). Ekkor a térszög legnagyobb értéke a teljes gömbfelülethez tartozik: \Omega = {S/}{r^2} = {(4 \pi r^2)/}{r^2} = 4 \pi\ \mathrm{sr} \approx 12{,}57\ \mathrm{sr}.

A térszög mérhető még négyzetfokban ({k = (180/} \pi{)}^2) vagy gömbrészben ({k = 1/4} \pi).

A gömbrész méretének meghatározásához az adott objektum területét osztani kell a gömb teljes felszínével. A gömbrész (legyen most jele: gr) értéke ezután átszámítható szteradiánná vagy négyzetfokká (legyen most jele: nf) a következő képletek segítségével:

  1. \Omega_{sr} = {4} \pi \ \Omega_{gr} - a szteradián érték kiszámításához szorozni kell a gömbrész értéket {4}\pi-vel.
  2. \Omega_{nf} = {4} \pi \ {(180/}\pi{)}^2 \ \Omega_{gr} = {129600} \ \pi \ \Omega_{gr} - a négyzetfok érték kiszámításához szorozni kell a gömbrész értéket {4} \pi {(180/}\pi{)}^2, vagyis {129600} \pi-vel.

Definíció[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Legyen A tetszőleges felület, és S A vetülete az r sugarú gömb felszínén. Ekkor az A felület Ω térszöge

\Omega:=\frac{S}{r^2}=\int\!\!\!\!\int_A \frac{\hat{\vec{n}}\cdot d\vec{a}}{\rho^2}

ahol \hat{\vec{n}} a gömb középpontjából kifelé mutató egységvektor, d\vec{a} infinitezimális felületdarab, és ρ ennek a gömb középpontjától mért távolsága.

Alkalmazások[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Más dimenziókban[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

A térszög általánosítható minden d dimenzióra a d-gömbre való kiterjesztéssel. A gömbi szimmetriával kapcsolatban gyakran szükség is van erre. A teljes d-dimenziós gömb térszöge



\Omega_{d}
=
\frac{2\pi^{d/2}}{\Gamma \left (\frac{d}{2} \right )}

ahol \Gamma a teljes gammafüggvény.

Ha d egész, akkor a gammafüggvény értéke kiszámítható. Ezzel



\Omega_{d}
=
\begin{cases}
 \frac{d\pi^{d/2}}{ \left (\frac{d}{2} \right )!} & d = \dot{2} \\
 \frac{2^d\left (\frac{d-1}{2} \right )!}{(d-1)!} \pi^{(d-1)/2} & d \ne \dot{2}
\end{cases}

Ez a képlet kiadja a kör kerületét a síkban és a 4π szteradiánt a háromdimenziós térben. Kevésbé nyilvánvaló, hogy a [ -1 , 1 ] intervallumra a 2-t adja ki, ami megegyezik ennek a szakasznak a hosszával.

Egyes objektumok térszögei[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Tetraéder[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Legyenek a tetraéder csúcsai A, B, C és O, ahol O az origó. Jelölje \vec a\ ,\, \vec b\ ,\, \vec c rendre az A-ba, B-be, C-be mutató vektorokat. A  \vartheta_a \, szög legyen a BOC szög, és defiiáljuk ehhez hasonlóan a  \vartheta_b ,\, \vartheta_c szögeket. Jelölje  \varphi_{ab} \, az OAC és az OBC síkok által bezárt szöget, és definiáljuk a  \varphi_{bc} ,\, \varphi_{ac} szögeket analóg módon. A tetraéder O-nál levő térszöge

 \Omega = \varphi_{ab} + \varphi_{bc} + \varphi_{ac} - \pi. \,

Ez a gömbi felesleggel bizonyítható, és következményként egy olyan eredményt ad, ami megfelel a síkháromszög szögösszegéről szóló tételnek.

A tetraéder belső térszögeinek összege

 \sum_{i=1}^4 \Omega_i = 2 \sum_{i=1}^6 \phi_i - 4 \pi

ahol  \phi_i \, végigfut a hat lapszögön.

Oosterom and Strackee használható algoritmust adott a tetraéder O-nál levő térszögének kiszámítására.:[1] A fenti jelölésekkel


\mathrm{tg} \left( \frac{1}{2} \Omega \right)
=
\frac{[\vec a\ \vec b\ \vec c]}{ abc + (\vec a \cdot \vec b)c + (\vec a \cdot \vec c)b + (\vec b \cdot \vec c)a},

ahol

[\vec a\ \vec b\ \vec c]

annak a mátrixnak a determinánsa, aminek sorai az \vec a, \vec b, \vec c vektorok. Ez megegyezik a három vektor vegyes szorzatával. A felülhúzás nélküli kisbetűk a vektorok hosszát, az egymás mellé írt vektorok a két vektor skaláris szorzatát jelölik.

Egy másik hasznos képlet a térszöget a \vartheta_a ,\, \vartheta_b ,\, \vartheta_c szögek függvényében adja meg. Ez L' Huilier tételéből adódik:

\mathrm{tg}\left(\tfrac14\Omega\right) = \sqrt{\mathrm{tg}\left(\frac{\vartheta_s}{2}\right) \mathrm{tg}\left(\frac{\vartheta_s - \vartheta_a}{2}\right) \mathrm{tg}\left(\frac{\vartheta_s - \vartheta_b}{2}\right) \mathrm{tg}\left(\frac{\vartheta_s - \vartheta_c}{2}\right)}

ahol

\vartheta_s = \frac {\vartheta_a + \vartheta_b + \vartheta_c}{2}

Kúp, gömbsüveg, félgömb[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Kúp (1) és gömbsüveg metszete (2) gömbben.
Az ábrán θ = a/2 és r = 1.

A 2 \theta \,\! csúcsszögű kúp térszöge az egységgömbi gömbsüveg felszínével egyenlő:

\Omega = 2 \pi \left (1 - \cos {\theta} \right) .\,\!

Ez az eredmény a következő kettős integrállal számítható ki:

\int_0^{2\pi} \int_0^{\theta} \sin \theta' \, d \theta' \, d \phi = 2\pi\int_0^{\theta} \sin \theta' \, d \theta' = 2\pi\left[ -\cos \theta' \right]_0^{\theta} \ = 2\pi\left(1 -\cos \theta \right).

Arkhimédész bebizonyította az integrálszámítás használata nélkül, hogy a gömbsüveg felszíne megegyezik annak a körnek a területével, aminek ugyanakkora a sugara, mint a gömbsüveg peremének és annak a pontnak a távolsága, ahol a gömbsüveg szimmetriatengelye metszi a gömbsüveget. A diagramon ez a sugár:

 2r \sin \left( \frac{ \theta}{2} \right).\,\

Így az egységgömbi gömbsüveg térszöge:

 \Omega = 4 \pi \sin^2 \left( \frac{ \theta}{2} \right) = 2 \pi \left (1 - \cos {\theta} \right) .\,\

Ha θ = π/2, akkor a gömbsüvegből félgömb lesz, aminek térszöge 2π.

Egy kúp komplementerének térszöge:

4 \pi - \Omega = 2 \pi \left (1 + \cos {\theta} \right) .\,\!

A Föld felszínén a  \vartheta \,\! szélességen álló csillagász az éggömbnek ekkora részét figyelheti meg (az éggömb forgásának beszámításával):

 \frac{1}{2} \left (1 + \cos {\theta} \right) .\,\ .

Az Egyenlítőről minden látszik, a sarkokról csak a fél éggömb.

Piramid[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

A téglalap alapú egyenes gúla térszöge

\Omega = 4 \arcsin \left (\sin {a \over 2} \sin {b \over 2} \right). \,\!

ahol a és b a szemben fekvő oldalak lapszöge.

Ha az alap oldalhosszai α és β, és a piramid magassága d, akkor a csúcsszög:

\Omega = 4 \arcsin \frac {\alpha\beta} {\sqrt{(4d^2+\alpha^2)(4d^2+\beta^2)}}. \,\!

Szélességi-hosszúsági téglalap[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Egy szélességi és hosszúsági körök által határolt gömbi téglalap középponti szöge

\left ( \sin \varphi_N - \sin \varphi_S \right ) \left ( \vartheta_E - \vartheta_W \,\! \right), ahol \varphi_N \,\! és \varphi_S \,\! a határoló északi és déli szélességi kör, és \vartheta_E \,\! és \vartheta_W \,\! a határoló keleti és a nyugati hosszúsági kör. A hosszúsági körök radiánban mért szöge kelet felé nő.[2]

Matematikailag ez egy \varphi_N - \varphi_S \,\! hosszú körívet jelent, ami \vartheta_E - \vartheta_W \,\! radiánt söpör végig. Ha a hosszúság eléri a 2π radiánt, vagy a szélesség a π radiánt, akkor a térszög az egész kört átfogja.

A szélességi-hosszúsági téglalap térszöge nem tévesztendő össze a piramid csúcsszögével. A piramid oldalai főkörívekben metszik a gömböt, és a szélességi körök nem főkörök.

A Nap és a Hold[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

A Nap és a Hold is az éggömb 0,001%-át foglalja el, vagyis úgy 6 x 10-5 szteradiánt.[2]

Jegyzetek[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

  1. Van Oosterom, A, Strackee, J (1983.). „The Solid Angle of a Plane Triangle”. IEEE Trans. Biom. Eng. BME-30, 125-126. o. DOI:10.1109/TBME.1983.325207.  
  2. [1]

Források[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

  • Arthur P. Norton, A Star Atlas, Gall and Inglis, Edinburgh, 1969
  • F. M. Jackson, Polytopes in Euclidean n-Space. Inst. Math. Appl. Bull. (UK) 29, 172-174, Nov./Dec. 1993.
  • Eric W. Weisstein, Spherical Excess at MathWorld.
  • Eric W. Weisstein, Solid Angle at MathWorld.