Térszög

Térszög

A térszög (jele: Ω) egy olyan szög a 3-dimenziós térben, amelyet egy 0 csúcspontú, tetszőleges zárt vezérgörbéjű kúp határoz meg. A térszöget annak a felületdarabnak a nagyságával mérjük, amelyet a kúpfelület az 0 középpontú gömbből kivág. (A kivágott felület alakja közömbös, csak a nagysága számít.)

A térszög azt méri, hogy az adott pontból nézve milyen nagynak tűnik egy objektum. (Például egy közel lévő kis objektum ugyanakkora térszöget zárhat be, mint egy távoli nagy objektum.) A térszög úgy viszonyul a gömb felszínéhez, mint a síkszög a kör kerületéhez, vagyis értéke egyenesen arányos az objektumnak vetületének az 0 középpontú gömb felszínén mért területével (S) , és fordítottan a gömbsugár (r) négyzetével: $\Omega = {k}\ {S/}{r^2}$ (ahol k arányossági konstans).

Amennyiben a k konstanst 1-nek választjuk, akkor a térszög mértékegysége az SI-beli szteradián (jele: sr). Ekkor a térszög legnagyobb értéke a teljes gömbfelülethez tartozik: $\Omega = {S/}{r^2} = {(4 \pi r^2)/}{r^2} = 4 \pi\ \mathrm{sr} \approx 12{,}57\ \mathrm{sr}$.

A térszög mérhető még négyzetfokban (${k = (180/} \pi{)}^2$) vagy gömbrészben (${k = 1/4} \pi$).

A gömbrész méretének meghatározásához az adott objektum területét osztani kell a gömb teljes felszínével. A gömbrész (legyen most jele: gr) értéke ezután átszámítható szteradiánná vagy négyzetfokká (legyen most jele: nf) a következő képletek segítségével:

1. $\Omega_{sr} = {4} \pi \ \Omega_{gr}$ - a szteradián érték kiszámításához szorozni kell a gömbrész értéket ${4}\pi$-vel.
2. $\Omega_{nf} = {4} \pi \ {(180/}\pi{)}^2 \ \Omega_{gr} = {129600} \ \pi \ \Omega_{gr}$ - a négyzetfok érték kiszámításához szorozni kell a gömbrész értéket ${4} \pi {(180/}\pi{)}^2$, vagyis ${129600} \pi$-vel.

Definíció

Legyen A tetszőleges felület, és S A vetülete az r sugarú gömb felszínén. Ekkor az A felület Ω térszöge

$\Omega:=\frac{S}{r^2}=\int\!\!\!\!\int_A \frac{\hat{\vec{n}}\cdot d\vec{a}}{\rho^2}$

ahol $\hat{\vec{n}}$ a gömb középpontjából kifelé mutató egységvektor, $d\vec{a}$ infinitezimális felületdarab, és ρ ennek a gömb középpontjától mért távolsága.

Alkalmazások

• A fényerősség és a fénysűrűség (luminancia)
• A gömbháromszögek gömbi feleslege
• Fémkomplexekben a ligandumok méretének meghatározása
• Elektromos és mágneses térerősség
• Gauss-törvény

Más dimenziókban

A térszög általánosítható minden d dimenzióra a d-gömbre való kiterjesztéssel. A gömbi szimmetriával kapcsolatban gyakran szükség is van erre. A teljes d dimenziós gömb térszöge

$\Omega_{d} = \frac{2\pi^{d/2}}{\Gamma \left (\frac{d}{2} \right )}$

ahol $\Gamma$ a teljes gammafüggvény.

Ha d egész, akkor a gammafüggvény értéke kiszámítható. Ezzel

$\Omega_{d} = \begin{cases} \frac{d\pi^{d/2}}{ \left (\frac{d}{2} \right )!} & d = \dot{2} \\ \frac{2^d\left (\frac{d-1}{2} \right )!}{(d-1)!} \pi^{(d-1)/2} & d \ne \dot{2} \end{cases}$

Ez a képlet kiadja a kör kerületét a síkban és a 4π szteradiánt a három dimenziós térben. Kevésbé nyilvánvaló, hogy a $[ -1 , 1 ]$ intervallumra a 2-t adja ki, ami megegyezik ennek a szakasznak a hosszával.

Egyes objektumok térszögei

Tetraéder

Legyenek a tetraéder csúcsai A, B, C és O, ahol O az origó. Jelölje $\vec a\ ,\, \vec b\ ,\, \vec c$ rendre az A-ba, B-be, C-be mutató vektorokat. A $\vartheta_a \,$ szög legyen a BOC szög, és defiiáljuk ehhez hasonlóan a $\vartheta_b ,\, \vartheta_c$ szögeket. Jelölje $\varphi_{ab} \,$ az OAC és az OBC síkok által bezárt szöget, és definiáljuk a $\varphi_{bc} ,\, \varphi_{ac}$ szögeket analóg módon. A tetraéder O-nál levő térszöge

$\Omega = \varphi_{ab} + \varphi_{bc} + \varphi_{ac} - \pi. \,$

Ez a gömbi felesleggel bizonyítható, és következményként egy olyan eredményt ad, ami megfelel a síkháromszög szögösszegéről szóló tételnek.

A tetraéder belső térszögeinek összege

$\sum_{i=1}^4 \Omega_i = 2 \sum_{i=1}^6 \phi_i - 4 \pi$

ahol $\phi_i \,$ végigfut a hat lapszögön.

Oosterom and Strackee használható algoritmust adott a tetraéder O-nál levő térszögének kiszámítására.: A fenti jelölésekkel

$\mathrm{tg} \left( \frac{1}{2} \Omega \right) = \frac{[\vec a\ \vec b\ \vec c]}{ abc + (\vec a \cdot \vec b)c + (\vec a \cdot \vec c)b + (\vec b \cdot \vec c)a},$

ahol

$[\vec a\ \vec b\ \vec c]$

annak a mátrixnak a determinánsa, aminek sorai az $\vec a, \vec b, \vec c$ vektorok. Ez megegyezik a három vektor vegyes szorzatával. A felülhúzás nélküli kisbetűk a vektorok hosszát, az egymás mellé írt vektorok a két vektor skaláris szorzatát jelölik.

Egy másik hasznos képlet a térszöget a $\vartheta_a ,\, \vartheta_b ,\, \vartheta_c$ szögek függvényében adja meg. Ez L' Huilier tételéből adódik:

$\mathrm{tg}\left(\tfrac14\Omega\right) = \sqrt{\mathrm{tg}\left(\frac{\vartheta_s}{2}\right) \mathrm{tg}\left(\frac{\vartheta_s - \vartheta_a}{2}\right) \mathrm{tg}\left(\frac{\vartheta_s - \vartheta_b}{2}\right) \mathrm{tg}\left(\frac{\vartheta_s - \vartheta_c}{2}\right)}$

ahol

$\vartheta_s = \frac {\vartheta_a + \vartheta_b + \vartheta_c}{2}$

Kúp, gömbsüveg, félgömb

Kúp (1) és gömbsüveg metszete (2) gömbben.
Az ábrán θ = a/2 és r = 1.

A $2 \theta \,\!$ csúcsszögű kúp térszöge az egységgömbi gömbsüveg felszínével egyenlő:

$\Omega = 2 \pi \left (1 - \cos {\theta} \right) .\,\!$

Ez az eredmény a következő kettős integrállal számítható ki:

$\int_0^{2\pi} \int_0^{\theta} \sin \theta' \, d \theta' \, d \phi = 2\pi\int_0^{\theta} \sin \theta' \, d \theta' = 2\pi\left[ -\cos \theta' \right]_0^{\theta} \ = 2\pi\left(1 -\cos \theta \right).$

Arkhimédész bebizonyította az integrálszámítás használata nélkül, hogy a gömbsüveg felszíne megegyezik annak a körnek a területével, aminek ugyanakkora a sugara, mint a gömbsüveg peremének és annak a pontnak a távolsága, ahol a gömbsüveg szimmetriatengelye metszi a gömbsüveget. A diagramon ez a sugár:

$2r \sin \left( \frac{ \theta}{2} \right).\,\$

Így az egységgömbi gömbsüveg térszöge:

$\Omega = 4 \pi \sin^2 \left( \frac{ \theta}{2} \right) = 2 \pi \left (1 - \cos {\theta} \right) .\,\$

Ha θ = π/2, akkor a gömbsüvegből félgömb lesz, aminek térszöge 2π.

Egy kúp komplementerének térszöge:

$4 \pi - \Omega = 2 \pi \left (1 + \cos {\theta} \right) .\,\!$

A Föld felszínén a $\vartheta \,\!$ szélességen álló csillagász az éggömbnek ekkora részét figyelheti meg (az éggömb forgásának beszámításával):

$\frac{1}{2} \left (1 + \cos {\theta} \right) .\,\$.

Az Egyenlítőről minden látszik, a sarkokról csak a fél éggömb.

Piramid

A téglalap alapú egyenes gúla térszöge

$\Omega = 4 \arcsin \left (\sin {a \over 2} \sin {b \over 2} \right). \,\!$

ahol a és b a szemben fekvő oldalak lapszöge.

Ha az alap oldalhosszai α és β, és a piramid magassága d, akkor a csúcsszög:

$\Omega = 4 \arcsin \frac {\alpha\beta} {\sqrt{(4d^2+\alpha^2)(4d^2+\beta^2)}}. \,\!$

Szélességi-hosszúsági téglalap

Egy szélességi és hosszúsági körök által határolt gömbi téglalap középponti szöge

$\left ( \sin \varphi_N - \sin \varphi_S \right ) \left ( \vartheta_E - \vartheta_W \,\! \right)$, ahol $\varphi_N \,\!$ és $\varphi_S \,\!$ a határoló északi és déli szélességi kör, és $\vartheta_E \,\!$ és $\vartheta_W \,\!$ a határoló keleti és a nyugati hosszúsági kör. A hosszúsági körök radiánban mért szöge kelet felé nő.[2]

Matematikailag ez egy $\varphi_N - \varphi_S \,\!$ hosszú körívet jelent, ami $\vartheta_E - \vartheta_W \,\!$ radiánt söpör végig. Ha a hosszúság eléri a 2π radiánt, vagy a szélesség a π radiánt, akkor a térszög az egész kört átfogja.

A szélességi-hosszúsági téglalap térszöge nem tévesztendő össze a piramid csúcsszögével. A piramid oldalai főkörívekben metszik a gömböt, és a szélességi körök nem főkörök.

A Nap és a Hold

A Nap és a Hold is az éggömb 0,001%-át foglalja el, vagyis úgy 6 x 10^-5 szteradiánt.

Források

• Arthur P. Norton, A Star Atlas, Gall and Inglis, Edinburgh, 1969
• F. M. Jackson, Polytopes in Euclidean n-Space. Inst. Math. Appl. Bull. (UK) 29, 172-174, Nov./Dec. 1993.
• Eric W. Weisstein, Spherical Excess at MathWorld.
• Eric W. Weisstein, Solid Angle at MathWorld.