Átló

A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából

A matematikában az átló szónak geometriai jelentése van, de használják még a mátrixoknál is.

Sokszögek[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Egy sokszögre nézve az átló két nem szomszédos csúcsot összekötő szakasz. Így egy négyszögnek két átlója van, összekötve a csúcspárokat. Egy konvex sokszög átlói a sokszögön belül futnak. Ez nem vonatkozik a konkáv sokszögekre. Megfordítva: a sokszög akkor és csak akkor konvex, ha átlói a sokszögön belül futnak.

Egy n oldalú sokszögnek d számú különböző átlója lehet, mindegyik csúcsból indul átló az összes csúcspontba, kivéve önmagát és a két szomszédos csúcspontot, így egy csúcsból n-3 átló húzható. Ezt kell megszorozni a csúcsok számával:

(n − 3) × n,

mivel az összes átlót kétszer számoltuk, így:

d= \frac{(n - 3) \cdot n}{2}.\,

Hossza[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

A két szomszédos csúcs közötti átló d hossza a koszinusztétellel számítható:

d = \sqrt{s_0^2+s_1^2-2s_0s_1\cos\varphi_1}

ahol s0 és s1 a két szomszédos oldal, és φ a közrezárt szög.

A távolabbi csúcsok közötti átlók hossza a koszinusztétel többszöri alkalmazásával számítható, ha adottak az oldalhosszak, és a szomszédos oldalak által közrezárt szögek.

  • A két oldal távolságra levő csúcsok közötti átló hossza:
d_3 = \sqrt{(s_0-s_1 \cdot \cos(\varphi_1) + s_2 \cdot \cos(\varphi_1+\varphi_2))^2 + (s_1 \cdot \sin(\varphi_1) - s_2\cdot \sin((\varphi_1+\varphi_2))^2}
  • A három oldal távolságra levő csúcsok közötti átló hossza:
\begin{align} 
d_4^2 & = (s_0 - & s_1 \cdot \cos(\varphi_1) + s_2 \cdot \cos(\varphi_1+\varphi_2) - s_3 \cdot \cos(\varphi_1+\varphi_2+\varphi_3))^2\\
& + ( & s_1 \cdot \sin(\varphi_1) - s_2 \cdot \sin(\varphi_1+\varphi_2) + s_3 \cdot \sin(\varphi_1+\varphi_2+\varphi_3))^2 \end{align}
  • Az n-1 oldal távolságra levő csúcsok közötti átló hossza:
d_n =\sqrt{ \left( s_0  + \sum_{i=1}^{n-1} (-1)^i \cdot  s_i \cdot  \cos \left( \sum_{k=1}^{i} \varphi_k \right) \right) ^2 + \left(  \sum_{i=1}^{n-1} - (-1)^i \cdot  s_i \cdot  \sin \left( \sum_{k=1}^{i} \varphi_k \right) \right) ^2}

Speciális esetek[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Speciális esetben a képletek leegyszerűsödnek.

e = \sqrt{a^2+b^2+2ab\cos\alpha}

és

f = \sqrt{a^2+b^2-2ab\cos\alpha}.
d = \sqrt{a^2+b^2}.
d = a\sqrt{2}.
  • Az a oldalú szabályos ötszög átlója:
d = \frac{a}{2} \left(1+\sqrt{5}\right).
  • Az a oldalú szabályos hatszögben a szomszédos csúcsok közötti átló hossza
d = a \frac{\sqrt{3}}{2}.
A szemközti csúcsokat összekötő átló hossza
d = 2 a.

Poliéderek[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Kocka egyik lapátlója (AC), illetve testátlója (AC').

A geometriában megkülönböztetik a poliéderek lapátlóját és testátlóját.

  • Egy poliéder lapátlója a poliéder egy lapjának átlója.
  • Egy poliéder testátlója egy olyan egyenes szakasz, ami összeköti a test két nem szomszédos csúcsát, és nincs oldallap, ami tartalmazza.

A testátlók száma[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

A testátlók száma ezzel a képlettel számítható:

Z = \frac{C (C-1)}{2} - E - \sum_{i=1}^L  \frac{N_i(N_i-3)}{2},

.ahol C a csúcsok száma, E az éleké, L a lapoké, és az i-edik lap éleinek száma Ni

Például a paral(l)elepipedonokra:

C = 8 , \quad L = 6 , \quad E = 12 , \quad N_i = 4 \quad \forall i:
Z = \frac{8 (8-1)}{2} - 12- \sum_{i=1}^6  \frac{4(4-3)}{2}
Z = 28 - 12- 6 \cdot 2 = 4

A poliéder átlóinak hossza[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Egy lapátló hossza az adott lap átlójának hosszaként számítható.

  • Egy a, b és c élű téglatest testátlójának hossza d = \sqrt{a^2+b^2+c^2}.
  • Speciális esetként adódik a kocka testátlója: d = a\sqrt{3}.
Általános esetben a testátló hossza is a koszinusztétel többszöri alkalmazásával kapható meg.

Mátrixok[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

A négyzetes mátrixoknak kétféle átlóját különböztetik meg. A főátló azokat a mátrixban levő elemeket foglalja magába, amelyek sor- és oszlopindexe megegyezik. A mellékátló az első sor utolsó elemét és az utolsó sor első elemét összekötő vonalra eső elemek vektora.

Az egységmátrixban a főátló csupa egyes, a többi helyen nulla áll:

I = \begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 & 0\\
0 & 1 & 0 & 0\\
0 & 0 & 1 & 0\\
0 & 0 & 0 & 1
\end{pmatrix}

Ebben a mátrixban a mellékátlón állnak egyesek, a többi helyen nullák vannak:

M = \begin{pmatrix}
0 & 0 & 0 & 1\\
0 & 0 & 1 & 0\\
0 & 1 & 0 & 0\\
1 & 0 & 0 & 0
\end{pmatrix}

Sokszor egyszerűen átlónak hívják a főátlót, és a vele párhuzamos diagonálisokra eső elemek vektorait, például az alkalmazásokban gyakran megjelenő sávos mátrixok esetén. Nem négyzetes mátrixok esetén nem beszélnek mellékátlóról.

A különböző speciális mátrixoknál a főátló kitüntetett szerephez jut. Egyszerűbb vele meghatározni az egyes típusokat.

A főátlóra eső elemek összege a mátrix nyoma, ami egyenlő a mátrix sajátértékeinek összegével.

Kapcsolódó szócikkek[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Források[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

  • Scharnitzky Viktor: Mátrixszámítás
  • Stoyan Gisbert – Takó Galina: Numerikus módszerek 1.