Súlyvonal

A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából
A háromszög súlyvonalai és súlypontja.

A geometriában a súlyvonal a háromszög csúcspontját a szemközti oldal felezőpontjával összekötő egyenes, illetve ennek az egyenesnek a háromszög belsejébe eső szakasza. A háromszöget két egyenlő területű részre osztja. A három súlyvonal a háromszög súlypontjában metszi egymást, és a súlypont 1:2 arányban osztja a súlyvonalat.

Az összes többi, a háromszög területét megfelező vonal nem megy át a súlyponton.

A gömbháromszögtanban a gömbháromszög csúcsát és oldalfelező pontját összekötő „egyenes” és a fizikai értelemben vett súlyvonal, a csúcson átmenő és a területet megfelező „egyenes”, különbözhet, azonban ekkor is igaz, hogy az utóbbi értelemben vett súlyvonalak egy pontban metszik egymást (ez azonban általában nem harmadolópontja a súlyvonalaknak) [1].

Területfelező tulajdonság[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

A háromszög területe megkapható a háromszög egy oldalát a hozzá tartozó magassággal szorozva és ezt a szorzatot megfelezve. A súlyvonal megfelezi a háromszög egyik oldalát, és ezzel két háromszög keletkezik, amiknek egyik magassága megegyezik az eredeti háromszög magasságával, és az ehhez a magassághoz tartozó oldaluk fele az eredeti háromszög oldalának. Így a területük is fele lesz az eredeti háromszög területének.

Tétel a súlypont létezéséről és a súlyvonalak osztási arányáról[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Tétel: A háromszög súlyvonalai egy pontban, a súlypontban metszik egymást, és ez a pont a súlyvonalakat 2:1 arányban osztja.

Bizonyítás: Vegyük az ABC háromszöget, és tekintsük az c oldallal párhuzamos középvonalat! Jelölje ennek végpontjait F1 és F2! Ekkor az F1F2C háromszög hasonló lesz az ABC háromszöghöz, és a hasonlóság aránya 1:2.

Az AF2 és a BF1 súlyvonalak metszéspontja S. Az ABS és az F1F2S háromszögek hasonlók, mert szögeik egyenlőek. Mivel az F1F2 középvonal párhuzamos a c oldallal, és hossza annak hosszának fele, ez a hasonlóság szintén 1:2 arányú. Tehát S harmadolja a súlyvonalakat, és a hosszabb rész a csúcs felé esik.

Mivel ez bármely két súlyvonallal eljátszható, azért az összes súlyvonal egy pontban metszi egymást. Ez a pont a súlypont.

A háromszögön belül eső szakaszának hosszának kiszámítása a háromszög oldalaiból[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Legyen a háromszög oldalainak hossza a; b; c, (úgy, hogy b\le c) az a-hoz tartozó súlyvonal s. Tudjuk, hogy a fenti jelölésekkel az a oldalhoz tartozó magasság talppontja, és az a-hoz tartozó súlyvonal(s) távolsága \frac{c^2-b^2}{2a}, az a-hoz tartozó magasság pedig = \sqrt{b^2-(\frac{a^2-c^2+b^2}{2a})^2}-tel. A Pitagorasz-tétel alapján pedig ebből következik, hogy: s=\sqrt{\frac{2b^2+2c^2-a^2}{4}}.

A súlyvonalak háromszögbe eső szakaszainak hosszára:[2]

\tfrac34 k < súlyvonalak összege  < \tfrac32 k,

ahol k az adott háromszög kerülete.

Az a, b, c oldalú háromszögben, ahol a súlyvonalak rendre s_a, s_b, s_c,[2]

\tfrac{3}{4}(a^2+b^2+c^2)=s_a^2+s_b^2+s_c^2.

Hivatkozások[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Források, jegyzetek[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

  1. Vidra - Lénárt: Gömbi geometria tanterv 7. modul: gömbháromszögek. 41. old. Hiv, beill. 2010. szeptember 24.
  2. ^ a b Posamentier, Alfred S., and Salkind, Charles T., Challenging Problems in Geometry, Dover, 1996: pp. 86-87.

Külső hivatkozások[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]