Köréírt kör

A P sokszög köré írt O középpontú C kör.

A geometriában egy sokszög köréírt köre (esetleg: körülírt vagy körülírható (stb.) köre) az a kör, ami a poligon összes csúcsán átmegy. Minden háromszögnek van körülírható köre háromnál több csúcsú poligonokra ez általában nem igaz. Ha egy négyszögnek van köréírt köre, húrnégyszögnek nevezzük. Ide tartoznak speciálisan a húrtrapézok, köztük a téglalapok és a négyzetek is.

Háromszög köréírt köre

Egy háromszög köréírt körének középpontja a három oldal szakaszfelező merőlegesének közös metszéspontjában van. Ez a pont hegyesszögű háromszögnél a háromszögön belül, tompaszögűnél azon kívül van. Derékszögűnél éppen az átfogó felezőpontja (ez a Thalész-tétel). A köréírt kör középpontja egy egyenesen van a súlyponttal és a magasságponttal; ez az Euler-egyenes. A köréírt kör kerülete éppen kétszerese a Feuerbach-körének. A háromszög egy oldalának felezőmerőlegese és az adott oldallal szemközti szög felezője éppen a körül írt körön metszi egymást.

A háromszög köré írt kör középpontja

Tétel: A háromszög köré írt kör középpontja az oldalfelező merőlegeseinek metszéspontja.

Bizonyítás: A háromszög AB oldalának felező merőlegesének minden pontja egyenlő távolságra van a háromszög A és B csúcsától. Hasonlóan, a BC oldal felezőmerőlegesének minden pontja egyenlő távolságra van a B és a C csúcstól. Ezért ez a metszéspont egyenlő távolságra van mindhárom csúcstól, tehát ez a köré írt kör középpontja, és a harmadik felezőmerőleges is ezen a ponton megy át.

A középpont trilineáris koordinátái $\cos\alpha \,: \, \cos\beta \,: \, \cos\gamma$, másként $= a(b^2+c^2-a^2) \,: \, b(c^2+a^2-b^2) \,: \, c(a^2+b^2-c^2)$, baricentrikus koordinátái $\frac{1}{2}\sin(2\alpha) \,: \, \frac{1}{2}\sin(2\beta) \,: \, \frac{1}{2}\sin(2\gamma)$

Jelölje a beírt kör sugarát r, a köré írt kör sugarát R! Ekkor a két kör középpontjának távolsága $\sqrt{R(R-2r)}$.

A háromszög köré írt kör sugara

A szokásos jelölésekkel:

$R = \frac{a}{2\sin\alpha} = \frac{b}{2\sin\beta} = \frac{c}{2\sin\gamma}$

$R = \frac{abc}{4T}$

Szabályos sokszög köré írt kör sugara

Az a oldalú szabályos n-szög köré írt kör sugara:

$R = \frac{a}{2 \sin\frac{180^\circ}{n}}$

Hivatkozások

Lásd még

• Beírt kör

Külső hivatkozások

• Interaktív ismertető a háromszög köréírt köréről