Szimplex

A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából
A 2-dimenziós szimplex egy szabályos háromszög

A szimplex a matematikában a háromszög illetve a tetraéder általánosítása végesdimenziós vektortérre. n-dimenziós vektortérben n+1 pont konvex burkaként fogalmazható meg.

Jellemzése[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

  • egy n-dimenziós szimplexnek létezik (n-1)-dimenziós, (n-2)-dimenziós,…, i-dimenziós, …, 2-dimenziós, 1-dimenziós, 0-dimenziós lapja;
  • egy ilyen k-dimenziós lap pontosan egy k-dimenziós szimplexnek felel meg
  • 0-dimenziós lapok a csúcsokat jelentik, ebből n-dimenziós szimplex esetén n+1 darab van
  • 1-dimenziós lapok az éleket jelentik, ebből n·(n + 1)/2 darab van
  • az i-dimenziós lapok számát pedig {n+1 \choose i+1} binomiális együttható adja meg.

Példák[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

  • A 0-dimenziós szimplex: azon x1 nemnegatív (pozitív vagy 0) koordinátájú pontok halmaza az 1-dimenziós euklideszi térben (számegyenesen), amelyekre x1 = 1. Ez egy pont.
  • Az 1-dimenziós szimplex: azon (x1, x2) nemnegatív koorinátájú pontok halmaza a 2-dimenziós euklideszi térben (számsíkon), amelyekre x1 + x2 = 1. Ez egy szakasz.
  • A 2-dimenziós szimplex: azon (x1, x2, x3) nemnegatív koorinátájú pontok halmaza a 3-dimenziós euklideszi térben, amelyekre x1 + x2 + x3 = 1. Ez egy \sqrt{2} oldalú szabályos háromszög.
  • 1-dimenziós szimplex egy A1A2 szakasz
    • csúcsainak száma: 1+1=2
  • 2-dimenziós szimplex a szabályos háromszög
    • csúcsainak száma: 2+1=3
    • éleinek száma: {3 \choose 2}=3, ez az él pedig pontosan a 2-1 dimenziós szimplex
  • 3-dimenziós szimplex a szabályos tetraéder
    • csúcsainak száma: 3+1=4
    • éleinek száma: {4 \choose 2}=6
    • lapjainak száma pedig {4 \choose 3}=4, ezek a lapok szabályos háromszögek, vagyis a 2-dimenziós szimplexek
  • 4-dimenziós szimplexet származtathatjuk a következőképpen:
    • a szabályos tetraéder belsejében, melynek csúcsait jelöljük A, B, C, D-vel, a 4. dimenzió mentén vegyünk fel egy E pontot, melyre teljesül, hogy az EA = EB = EC = ED = AB (azaz bármely két pont távolsága egyenlő).
    • Az E pontot összekötve A-val, B-val, C-vel és D-vel egy 5 csúcsú, 10 élű, 10 lapú, és 5 tetraéder, mint 3-dimenziós lapot tartalmazó poliédert kapunk

További tulajdonságok[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

  • Tekintsük n \le 5 esetén az n-dimenziós teret. Ha ebben A0, A1, …Ai,…An n+1 darab pont, és az ezekbe mutató helyvektorokból képzett \mathbf{a}_1 - \mathbf{a}_0,  \mathbf{a}_2 - \mathbf{a}_0, …, \mathbf{a}_n - \mathbf{a}_0 vektorok lineárisan függetlenek, akkor az Ai (0 \le i \le n) pontok konvex burka egy n-dimenziós szimplex.
  • A szimplexeket egyszerűen ábrázolhatjuk gráfok segítségével: egy n-dimenziós szimplexnek egy n+1 csúcsú teljes gráf felel ekkor meg.
Az első néhány szimplex gráfja
Név Pont Szakasz Háromszög Tetraéder
Dimenzió 0 1 2 3 4 5 6 7
Csúcsok száma 1 2 3 4 5 6 7 8
Gráf
Complete graph K1.svg
Complete graph K2.svg Complete graph K3.svg Complete graph K4.svg Complete graph K5.svg Complete graph K6.svg Complete graph K7.svg Complete graph K8.svg

Az információelméletben[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Lásd még[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Források[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]