Szimplex

A 2-dimenziós szimplex egy szabályos háromszög

A szimplex a matematikában a háromszög illetve a tetraéder általánosítása végesdimenziós vektortérre. n-dimenziós vektortérben n+1 pont konvex burkaként fogalmazható meg.

Jellemzése

• egy n-dimenziós szimplexnek létezik (n-1)-dimenziós, (n-2)-dimenziós,…, i-dimenziós, …, 2-dimenziós, 1-dimenziós, 0-dimenziós lapja;
• egy ilyen k-dimenziós lap pontosan egy k-dimenziós szimplexnek felel meg
• 0-dimenziós lapok a csúcsokat jelentik, ebből n-dimenziós szimplex esetén n+1 darab van
• 1-dimenziós lapok az éleket jelentik, ebből n·(n + 1)/2 darab van
• az i-dimenziós lapok számát pedig ${n+1 \choose i+1}$ binomiális együttható adja meg.

Példák

• A 0-dimenziós szimplex: azon x₁ nemnegatív (pozitív vagy 0) koordinátájú pontok halmaza az 1-dimenziós euklideszi térben (számegyenesen), amelyekre x₁ = 1. Ez egy pont.
• Az 1-dimenziós szimplex: azon (x₁, x₂) nemnegatív koorinátájú pontok halmaza a 2-dimenziós euklideszi térben (számsíkon), amelyekre x₁ + x₂ = 1. Ez egy szakasz.
• A 2-dimenziós szimplex: azon (x₁, x₂, x₃) nemnegatív koorinátájú pontok halmaza a 3-dimenziós euklideszi térben, amelyekre x₁ + x₂ + x₃ = 1. Ez egy $\sqrt{2}$ oldalú szabályos háromszög.
• 1-dimenziós szimplex egy A₁A₂ szakasz
  • csúcsainak száma: 1+1=2
• 2-dimenziós szimplex a szabályos háromszög
  • csúcsainak száma: 2+1=3
  • éleinek száma: ${3 \choose 2}=3$, ez az él pedig pontosan a 2-1 dimenziós szimplex
• 3-dimenziós szimplex a szabályos tetraéder
  • csúcsainak száma: 3+1=4
  • éleinek száma: ${4 \choose 2}=6$
  • lapjainak száma pedig ${4 \choose 3}=4$, ezek a lapok szabályos háromszögek, vagyis a 3-dimenziós szimplexek
• 4-dimenziós szimplexet származtathatjuk a következőképpen:
  • a szabályos tetraéder belsejében, melynek csúcsait jelöljük A, B, C, D-vel, a 4. dimenzió mentén vegyünk fel egy E pontot, melyre teljesül, hogy az EA = EB = EC = ED = AB (azaz bármely két pont távolsága egyenlő).
  • Az E pontot összekötve A-val, B-val, C-vel és D-vel egy 5 csúcsú, 10 élű, 10 lapú, és 5 tetraéder, mint 3-dimenziós lapot tartalmazó poliédert kapunk

További tulajdonságok

• Tekintsük $n \le 5$ esetén az n-dimenziós teret. Ha ebben A₀, A₁, …A_i,…A_n n+1 darab pont, és az ezekbe mutató helyvektorokból képzett $\mathbf{a}_1 - \mathbf{a}_0$, $\mathbf{a}_2 - \mathbf{a}_0$, …, $\mathbf{a}_n - \mathbf{a}_0$ vektorok lineárisan függetlenek, akkor az A_i $(0 \le i \le n)$ pontok konvex burka egy n-dimenziós szimplex.

• A szimplexeket egyszerűen ábrázolhatjuk gráfok segítségével: egy n-dimenziós szimplexnek egy n+1 csúcsú teljes gráf felel ekkor meg.

Az első néhány szimplex gráfja

Név	Pont	Szakasz	Háromszög	Tetraéder
Dimenzió	0	1	2	3	4	5	6	7
Csúcsok száma	1	2	3	4	5	6	7	8
Gráf

Az információelméletben

• Egyirányú kommunikáció két pont között.

Lásd még

• Szimplex módszer

Források

• http://mathworld.wolfram.com/Simplex.html