Nemeuklideszi geometria

A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából

A geometriai rendszerek – geometriák – az alapozásban megfogalmazott premisszákban[1] különböznek. Az euklideszi geometria axiómarendszerétől eltérő alapokra épített rendszereket közös néven nemeuklideszi geometriáknak nevezzük. Eleinte csak az elsőként felfedezett BolyaiLobacsevszkij-féle geometriát illették az elnevezéssel, de később újabb geometriákat is találtak.

Az euklideszi párhuzamosság[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Eukleidész az Elemek I. könyvében definiálja az egyenesek párhuzamosságát:

  • 23. definíció: Két egyenes párhuzamos, ha azok egy síkban fekszenek és mindkét irányban meghosszabbítva nem metszik egymást.

Az évezredes problémát okozó 5. posztulátum pedig kimondja, hogy

  • Ha egy egyenes úgy metsz két egyenest, hogy az egyik oldalán keletkező belső szögek összege kisebb két derékszögnél, akkor e két egyenes a metszőnek ezen oldalán meghosszabbítva metszi egymást.

A nemeuklideszi párhuzamosság[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Nemeuklideszi-geom-1.gif

Bolyai és Lobacsevszkij a párhuzamost egy külső pont körül forgatott szelők határhelyzeteként definiálják. Az AM egyenesen kívül fekvő B pont körül forgatott egyenesek közül az a BC párhuzamos az AM-mel, amelyik elpattan tőle. Más fogalmazásban a forgatott egyenesek közül a párhuzamos az első nem metsző. Bolyai ezt a párhuzamost aszimptotikus párhuzamosnak, vagy egyszerűbben aszimptotának nevezte.[2]

Mivel a forgatott egyenes egyre távolabb metszi az AM egyenest, kísérlettel nem lehet eldönteni, hogy mikor, az \alpha szög milyen értékénél következik be ez az elpattanás. A két kutató ezt a szöget a párhuzamosság szögének nevezte. Mindketten eljutottak annak felismeréséig, hogy a párhuzamossági szög a B pont és az AM egyenes közötti távolsággal összefüggésben van: \Pi (a). Kettejük munkája között csupán annyi a lényeges különbség, hogy Lobacsevszkij a definíciót követően szétválasztja a két lehetséges esetet és az euklideszitől eltérő hiperbolikus geometria tételeit, míg Bolyai a két esetet együtt kezelve a kétféle geometria közös részét, az abszolút geometria tételeit dolgozta ki. Az az eredmény is közismert, hogy a háromszögek szögeinek összege is aszerint egyenlő vagy kisebb két derékszögnél, hogy a síkja euklideszi vagy hiperbolikus.

Nemeuklideszi-geom-2.gif

A hiperbolikus elnevezést a párhuzamos egyenes és a hiperbola rokonítása magyarázza. E geometriában a párhuzamosok közötti távolság csökken, aszimptotikusan közelednek egymáshoz. Ugyancsak fontos különbséget jelent, hogy a balra forgatott egyenes által meghatározott párhuzamos nem azonos a jobbra forgatottal. Ez ellentmond az idézett I.23. definíciónak.

Egy harmadik párhuzamosság[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Nemeuklideszi-geom-3a.gif
Nemeuklideszi-geom-3b.gif

Az 5. posztulátum elhagyásával kapott maradék axiómákból következik (bizonyítható), hogy a párhuzamosság szöge nem lehet derékszögnél nagyobb, s ennek következménye, hogy a háromszögek szögeinek összege sem lehet két derékszögnél nagyobb. A paralellákkal foglalkozó Gerolamo Saccheri (1667-1733) és Johann Heinrich Lambert (1728-1777) eljutottak egy olyan felismerésig, hogy ezt a lehetőséget sem szabad elvetni. Meg kell vizsgálni olyan geometriai rendszerek lehetőségét is, amelyekben a szögösszeg nagyobb 2\pi-nél. Mivel ez a maradék axiómáknak ellentmond, további axiómá(ka)t kell megváltoztatni, elhagyni vagy másokkal helyettesíteni.

Georg Friedrich Bernhard Riemann [1826–1866] két ilyen változtatás lehetőségét mutatta meg, s ezzel két újabb nemeuklideszi rendszert konstruált:

  • 1. Egyszeres elliptikus geometria:
1/a. Az egyenes nem választja el egymástól a két félsík pontjait.
1/b. Két egyenesnek mindig van egy közös pontja.
  • 2. Kétszeres elliptikus geometria:
2/0. Az egyenes elválasztja a két félsík pontjait.
2/b. Két egyenesnek pontosan két közös pontja van.

Az elliptikus geometria az euklideszi gömbfelületén érvényes szférikus geometriával rokon. A hiperbolikus geometria a pszeudoszféra felületi geometriájával modellezhető.

A három geometria összevetése[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Nemeuklideszi-geom-5.gif

Felix Kleintől [1849–1925] származik a háromféle geometria és a kúpszeletek nomenklatúrájának összekapcsolása, mely ez utóbbiak ideális pontjainak száma és az egyeneshez külső pontból húzható párhuzamosok száma közötti analógiára utal. Ennek nyomán használjuk ezeket a jelzőket az Eukleidész (parabolikus), a Bolyai-Lobacsevszkij (hiperbolikus) és a Riemann (elliptikus) nevéhez kapcsolt geometriák megkülönböztetésére.

Az alábbiakban a három rendszerben érvényes néhány trigonometriai összefüggésből látható a különbség, de a rokonság is:

  • 1. A síkháromszögek szinusztétele:
1.a. Euklideszi: \frac{\sin\alpha}{a} = \frac{\sin\beta}{b} = \frac{\sin\gamma}{c}.
1.b. Hiperbolikus: \frac{\sin\alpha}{\mathrm{sh} a} = \frac{\sin\beta}{\mathrm{sh} b} = \frac{\sin\gamma}{\mathrm{sh} c}.
1.c. Elliptikus: \frac{\sin\alpha}{\sin a} = \frac{\sin\beta}{\sin b} = \frac{\sin\gamma}{\sin c}.
  • 2. A síkháromszögek koszinusztétele:
2.a. Euklideszi: a^2+b^2-2ab\cdot\cos\gamma=c^2.
2.b. Hiperbolikus: \mathrm{ch} a \cdot \mathrm{ch} b + \mathrm{sh} a \cdot \mathrm{sh} b \cdot \cos \gamma=\mathrm{ch}  c.
2.c. Elliptikus: \cos a \cdot \cos b + \sin a \cdot \sin b \cdot \cos \gamma=\cos c.

(Az elliptikus tételek a gömbháromszögtan ismert összefüggései.)

Még több geometria[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Nemeuklideszi-geom-6a.gif

Arthur Cayley (1821-1895) korábbi kutatásaira támaszkodva Felix Klein hívta fel a figyelmet arra, hogy a három geometria az egyenesen három eltérő metrikát használ: (A. ábra)

  • A parabolikus (euklideszi) metrika a szakaszok hosszát az egységhez (OE) viszonyított arányukkal méri: d_p (AB) = AB:OE.
  • Az elliptikus metrika a külső O pontból induló egyenesek szögével méri a szakaszt: d_e(AB) = AOB\angle.
  • A hiperbolikus metrika az X és Y alappontokkal alkotott kettősviszonyt használja: d_h(AB) = k\cdot\ln (ABXY).

Nemeuklideszi-geom-6b.gif

A pontsor analógiájára definiálható a sugársorok metrikája, a szögmérés (B. ábra):

  • Parabolikus metrika: \delta_p(ab) = AB. (A csúcsot elkerülő egyenesen levő metszet)
  • Elliptikus metrika: \delta_e(ab) =  ab\angle. (A "közönséges" szögmérték)
  • Hiperbolikus metrika: \delta_h(ab) =  k\cdot\ln (abxy).

A síkban a lehetséges geometriák úgy adódnak, hogy választunk egy szakasz–metrikát és egy szög–metrikát, tehát 3´3 = 9 síkbeli geometriai rendszert konstruálhatunk. (A térben ezekhez még a lapszögek metrikáját kell csatolnunk, s ezzel 3´3´3 = 27 féle geometriai rendszert választhatunk.) A következő táblázat mutatja a lehetséges síkgeometriákat:

Nemeuklideszi-geom-7.gif

Ezeknek a síkgeometriáknak a "létezését" modellek segítségével lehet igazolni. Ezekben a modellekben az egyenesek és/vagy a pontok szerepét más alakzatok veszik át. A véges modellek használata vezetett a véges geometriák megalkotásához.

Jegyzetek[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

  1. <A definíciók, axiómák, posztulátumok közös megnevezése>
  2. <A történeti hűséghez tartozik, hogy Lobacsevszkij és Bolyai szemlélete között a lényeget nem érintő eltérés van: Lobacsevszkij a külső ponton átmenő egyenesek két osztályát – a metszőkét és a nem-metszőkét – elválasztó két egyenest nevezi párhuzamosnak, míg Bolyai a külső pontból induló félegyenesekről és ezek forgatásáról beszél.>

Kapcsolódó szócikkek[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Forrás[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

  • Hajós György: Bevezetés a geometriába - Tankönyvkiadó, Budapest, 1960.
  • Bonola, Roberto: A nemeuklideszi geometria története – (inedita)[1]
  • Reinhardt,F.-Soeder,H.: SH atlasz-Matematika, Springer-Verlag, Budapest-Berlin, 1993.
  • Euklidesz: Elemek (Mayer Gyula ford.), Gondolat, 1983. http://mek.oszk.hu/00800/00857
  • Bolyai János Appendix, a tér tudománya (Akadémiai Kiadó, 1973)
  • Lobacsevszkij, N.I. Geometriai vizsgálatok …(Akadémiai Kiadó, 1951)
  • Einstein, Albert A speciális és általános relativitás elmélete (Gondolat, 1963)
  • Ribnyikov, K.A. A matematika története (Tankönyvkiadó, 1968)
  • Kerékjártó Béla A geometria alapjairól (Akadémiai Kiadó, 19??)
  • Jaglom, I.M. Galilei relativitási elve és egy nemeuklideszi geometria (Gondolat,1985)
  • Kerékjártó Béla A geometria alapjairól (Akadémiai Kiadó, 19??)
  • Kárteszi Ferenc Bevezetés a véges geometriákba (Akadémiai Kiadó, 1972)