Kettősviszony

Az kettősviszony egy egyenes (pontsor) négy pontjára illetve egy sugársor négy elemének kölcsönös elhelyezkedésére jellemző viszonyszám. A projektív geometria fontos alapfogalma: centrális vetítéskor a távolságok és a szögek változnak, a kettősviszony megmarad (invariáns). Ezt Papposz egyik fontos tétele biztosítja.

Értelmezése

Az $A,B,C,D$ pontnégyes $(ABCD)$ kettősviszonya az $(ABC)$ és $(ABD)$ egyszerű- vagy osztóviszonyok hányadosa (viszonya):

• ($ABCD) = (ABC): (ABD)$

A három pont viszonylagos helyzetét jellemző osztóviszonyt szakaszok hányadosa definiálja:

• $(ABC) = \frac{AC}{CB}$ ,

• $(ABD) = \frac{AD}{DB}$ .

A pontnégyes és a sugárnégyes kettősviszonya:

• $(ABCD)=\frac{AC}{CB} : \frac{AD}{DB}$ ,

• $(abcd)=\frac{\sin{ac}}{\sin{cb}} : \frac{\sin{ad}}{\sin{db}}$ .

A formulákban szereplő szakaszok és szögek irányítottak, előjelesek.

Néhány példa az osztóviszonyra:

$(ABF) = 1:1 = 1$ - felezőpont,

$(ABG) = 1:2 = 0,5$ - harmadoló pont (A-hoz közelebbi),

$(ABH) = 2:1 = 2$ - harmadoló pont (B-hez közelebbi),

$(ABM) = (-2):10 = -0,2$

$(ABN) = 8:(-2) = -4.$

Néhány példa a kettősviszonyra:

$(ABFG) = 1:0,5 = 2$

$(ABGH) = (1:2):2 = 1/4$

$(ABGN) = 0,5 :(-4) = -0,125$

$(ABFN) =1:(-4) = -0,25$

$(ABHN) = 2:(-4) = -1/2$

$(ABNH) = -4:2 = -2$.

Harmonikus négyes

Különös fontosságú az olyan pontnégyes, amelynek kettősviszonya $(ABXY)=-1$. Ez csak úgy lehet, hogy X és Y közül az egyik pont az AB szakaszon, másik azon kívül helyezkedik el, s az osztóviszonyokra pedig teljesül: $(ABX) = -(ABY).$

Papposz tétele

Ha az egy pontra illeszkedö $a,b,c,d$ egyenesek egy, a közös pontjukra nem illeszkedő egyenest rendre az $A,B,C,D$ pontokban metszenek, akkor $(ABCD) = (abcd).$

A tétel egyszerű következménye, hogy ha két egyenest metsz a sugársor, akkor az egyik egyenesen a metszéspontok kettősviszonya a másik egyeneseken keletkező vetületüknek a kettősviszonyával egyezik: $(ABCD)=(A'B'C'D')$. Hasonló összefüggés igazolható a közös egyenesre illeszkedő sugársorok négyeseire: $(abcd) = (a'b'c'd')$.

Irodalom

• Hajós György, Bevezetés a geometriába, Tankönyvkiadó, Budapest, 1960.