Kettősviszony

A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából

Az kettősviszony egy egyenes (pontsor) négy pontjára illetve egy sugársor négy elemének kölcsönös elhelyezkedésére jellemző viszonyszám. A projektív geometria fontos alapfogalma: centrális vetítéskor a távolságok és a szögek változnak, a kettősviszony megmarad (invariáns). Ezt Papposz egyik fontos tétele biztosítja.

Értelmezése[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Az A,B,C,D pontnégyes (ABCD) kettősviszonya az (ABC) és (ABD) egyszerű- vagy osztóviszonyok hányadosa (viszonya):

  • (ABCD) = (ABC): (ABD)

A három pont viszonylagos helyzetét jellemző osztóviszonyt szakaszok hányadosa definiálja:

  • (ABC) = \frac{AC}{CB} ,
  • (ABD) = \frac{AD}{DB} .

A pontnégyes és a sugárnégyes kettősviszonya:

Kettos-1.gif

  • (ABCD)=\frac{AC}{CB} : \frac{AD}{DB} ,

Kettos-2.gif

  • (abcd)=\frac{\sin{ac}}{\sin{cb}} : \frac{\sin{ad}}{\sin{db}} .

A formulákban szereplő szakaszok és szögek irányítottak, előjelesek. Kettos-3.gif

Néhány példa az osztóviszonyra:

(ABF) = 1:1 = 1 - felezőpont,

(ABG) = 1:2 = 0,5 - harmadoló pont (A-hoz közelebbi),

(ABH) = 2:1 = 2 - harmadoló pont (B-hez közelebbi),

(ABM) = (-2):10 = -0,2

(ABN) = 8:(-2) = -4.

Néhány példa a kettősviszonyra:

(ABFG) = 1:0,5 = 2

(ABGH) = (1:2):2 = 1/4

(ABGN) = 0,5 :(-4) = -0,125

(ABFN) =1:(-4) = -0,25

(ABHN) = 2:(-4) = -1/2

(ABNH) = -4:2 = -2.

Harmonikus négyes[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Harmonikus.gif

Különös fontosságú az olyan pontnégyes, amelynek kettősviszonya (ABXY)=-1. Ez csak úgy lehet, hogy X és Y közül az egyik pont az AB szakaszon, másik azon kívül helyezkedik el, s az osztóviszonyokra pedig teljesül: (ABX) = -(ABY).

Papposz tétele[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Kettos-5.gif

Ha az egy pontra illeszkedö a,b,c,d egyenesek egy, a közös pontjukra nem illeszkedő egyenest rendre az A,B,C,D pontokban metszenek, akkor (ABCD) = (abcd).

A tétel egyszerű következménye, hogy ha két egyenest metsz a sugársor, akkor az egyik egyenesen a metszéspontok kettősviszonya a másik egyeneseken keletkező vetületüknek a kettősviszonyával egyezik: (ABCD)=(A'B'C'D'). Hasonló összefüggés igazolható a közös egyenesre illeszkedő sugársorok négyeseire: (abcd) = (a'b'c'd').

Irodalom[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

  • Hajós György, Bevezetés a geometriába, Tankönyvkiadó, Budapest, 1960.