Formális nyelv

A formális nyelv a matematika, a logika és a informatika számára egy véges ábécéből generálható, véges hosszúságú szavak (például karakter stringek, jelsorozatok) halmaza, amelyekkel a formális nyelvek elmélete foglalkozik. (Más kontextusban, mint például jog vagy politika, a formális nyelv kifejezés alatt egy, a napi beszédtől eltérő, udvarias, megfontolt, körülíró jellegű, túlzottan modoros kifejezési módot értenek. Jelen cikkben a formális nyelvet a formális nyelvek elmélete szerinti értjük, és minden esetben szigorúan csak írott nyelvről beszélünk, ezért a jelsorozat elemei megjeleníthető, nyomtatható karakterek.)

Definíció

Legyen $A = \left \{ a_1, a_2, \dots, a_n \right \}$ véges halmaz, amelyet a továbbiakban ábécének nevezünk.

Készítsünk $A$ elemeiből véges sorozatokat minden lehetséges módon. Jelölje $A^{1}$ az egyelemű sorozatok halmazát (ezekből értelemszerűen annyi van, ahány jelből áll az ábécé), $A^{2}$ a kételeműekét, és így tovább. $A^{0}$ jelenti az üres sorozatok halmazát (ez megint csak könnyen beláthatóan egyelemű). A hatványjelölés a halmaz önmagával vett Descartes-szorzataira utal.

Jelölje $A^* = A^{0} \cup A^{1} \cup A^{2} \cup \dots$ az ábécé elemeiből képzett véges sorozatok halmazát (ezt az $A$ ábécé feletti univerzumnak hívjuk). Ekkor formális nyelvnek nevezzük $A^{*}\,$ egy (nem feltétlenül valódi) részhalmazát. Szokásos még az $A\,$ ábécé feletti formális nyelv megnevezés is.

Észrevehető, hogy a definíció megengedi az üres szót is (ami nem más, mint egy nulla hosszúságú jelsorozat), és gyakran az $e$, $\epsilon$ vagy a $\Lambda$ szimbólumokkal jelölik. Bár véges halmaz az ábécé, és a belőlük képzett jelsorozatok (szavak) hossza is véges (bár nem korlátos), egy nyelvhez mégis akár megszámlálhatóan végtelenül sok jelsorozat is tartozhat (mivel a szavak száma nincs korlátozva, akár a teljes univerzumot is vehetjük!). A formális nyelvek száma kontinuum számosságú (mivel az univerzum hatványhalmazát képezve megkapjuk az összes formális nyelv halmazát; és nyilván az univerzum megszámlálhatóan végtelen számosságú, mivel elemei felsorolhatóak).

Kitüntetett nyelvek az univerzum, a csak az üres jelsorozatot tartalmazó nyelv, és az egyetlen jelsorozatot sem tartalmazó nyelv.

Az egyes nyelveket szokás $L$ betűvel jelölni, és ha többet is használunk, indexszel megkülönböztetni őket (például $L_1$, $L_2$, $L_a$, stb.)

Példák

Legyen az ábécé $A=\left \{ a , b \right \}$. Ekkor egy jelsorozat például $ababba$. Egy egyszerű nyelv lehet a fenti ábécé alapján például az, amely az összes olyan jelsorozatot tartalmazza, amelyekre igaz, hogy ugyanannyi $a$ szimbólumból és $b$ szimólumból állnak.

Néhány további példa formális nyelvekre:

• Az üres halmaz és maga $A^*$ is nyelvek. Triviális nyelvek.
• $L_1 = \left \{ a^{n} : n \in \mathbb{N} \right \}$ (ahol $a^n$ az a n-szeri ismétlését jelenti)
• egy adott programozási nyelven szintaktikailag helyes programok halmaza, vagy
• egy bizonyos Turing-gépet megállító bemeneti jelek halmaza.

Formális nyelvek megadása, definiálása

Egy formális nyelv nagyon sok lehetséges módon meghatározható, többek között:

• A jelsorozatok felsorolásával. Például $L:= \left \{ abba, baba, bab \right \}$
• A jelsorozatok létrehozása (generálása) valamilyen formális nyelvtan alapján (lásd még Chomsky-féle hierarchia);
• A jelsorozatok létrehozása (generálása) reguláris kifejezések segítségével;
• A tartalmazott jelsorozatok elfogadása valamilyen automata használatával, például Turing-gép vagy véges állapotú automata;
• Azon kérdések halmazából, amelyekre IGEN/NEM válasz adható, azok a kérdések, amelyekre IGEN a válasz – lásd döntési probléma.

Műveletek formális nyelvekkel

Adott formális nyelvből vagy nyelvekből műveletekkel új nyelvek állíthatóak elő. Tegyük fel, hogy $L_{1}$ és $L_{2}$ közös ábécén értelmezett nyelvek. A formális nyelvek halmazok, tehát a halmazműveletek minden további nélkül alkalmazhatóak rájuk:

Halmazműveletek

• metszet – $L_1 \cap L_2$ – közösrész képzés művelet az $L_{1}$ és $L_{2}$ nyelvre előállítja az összes olyan jelsorozatot, amelyek $L_1$-ben és $L_{2}$-ben is léteznek.
• unió – $L_1 \cup L_2$ – egyesítés művelet az $L_{1}$ és $L_{2}$ nyelvre előállítja az összes olyan jelsorozatot, amelyek vagy $L_{1}$-ben vagy $L_{2}$-ben léteznek.
• komplementer – $\bar{L_{1}}$ – az $L_1$ nyelvre előállítja az összes olyan jelsorozatot, amelyek az $L_{1}$ nyelvben nem szerepelnek, de az $A^{*}$ alaphalmazban igen.
• különbség – $L_1 \setminus L_2$ – különbségképzés művelet az $L_{1}$ és $L_{2}$ nyelvekre előállítja az összes olyan jelsorozatot, amelyek $L_1$-ben léteznek, $L_{2}$-ben viszont nem.

A formális nyelvek speciális halmazok, így speciális műveletek is értelmezhetőek rajtuk:

Egyéb műveletek

• konkatenáció – $L_{1}L_{2}$ – konkatenáció vagy összekapcsolás művelet előállítja az összes $vw$ formájú jelsorozatot, ahol $v$ egy $L_{1}$-ből származó jelsorozat, és $w$ a $L_{2}$-ből származó jelsorozat.
• A right quotient – $L_{1}/L_{2}$ – különbségképzés művelet az $L_{1}$ és $L_{2}$ nyelvek között előállítja az összes olyan $L_{2}$-ben létező $w$ jelsorozatot, amely jelsorozatok az $L_{1}$ nyelvben $vw$ formában fordulnak elő (ahol $v$ jelsorozat az $L_{1}$ nyelvben létezik).
• A tranzitív lezárt (lezárt, lezárás, angolul Kleene star, Kleene csillag) – $L_{1}^{*}$ – a tranzitív lezárt művelet előállítja az összes $w_{1}w_{2}...w_{n}$ formában leírható jelsorozatot, ahol a $w_{i}$ jelsorozat az $L_{1}$ nyelvben létezik és $n \ge 0$). Meg kell jegyezni, hogy az $n = 0$ értékadás megengedett, tehát az $\epsilon$ üres jelsorozat mindig része a $L_{1}^{*}$ nyelvnek, minden $L_{1}$ nyelvre! (Ha az eredeti nyelv nem is tartalmazta az üres jelsorozatot, a tranzitív lezártja akkor is tartalmazni fogja!) A legalább egy betűt (karaktert) tartalmazó nyelvek tranzitív lezártja végtelen számosságú; az elnevezés onnan származik, hogy a tranzitív lezárt az összes olyan elemet tartalmazza, ami az eredeti nyelv szavaiból kiindulva konkatenációk tetszőleges egymás után alkalmazásával megkapható (lezárt, mert ez a „legnagyobb” ilyen halmaz, elemeinek konkatenációjával már nem bővíthető).
• A reverse – $L_{1}^{R}$ – fordítottja művelet előállítja az összes $L_{1}$ nyelvben létező jelsorozat fordítottját ( például az $ababba$ jelsorozat fordítottja a $abbaba$ jelsorozat).
• A shuffle, megkever művelet az $L_{1}$ és az $L_{2}$ nyelvek között előállítja az összes $v_{1}w_{1}v_{2}w_{2}...v_{n}w_{n}$ formában leírható jelsorozatot, ahol $n \ge 1$ és a $v_{1},...,v_{n}$ jelsorozatok, amelyek az $L_{1}$ nyelvben léteznek, és az előzőek szerinti értelemben össze vannak kapcsolva a $w_{1},...,w_{n}$ jelsorozatokkal, amelyek az $L_{2}$ nyelvben léteznek.

A generatív nyelvek

A formális nyelvek definíciója (hogy minden formális nyelv egy univerzum részhalmaza) nyilván általános, de praktikus értelemben használhatatlan definíció (hiszen például egy végtelen számosságú nyelvet nem tudunk kezelni így, nem tudjuk felsorolni az elemeit). A gyakorlati problémák szempontjából fontosabb a generatív nyelvek osztálya; generatív nyelvek azok a nyelvek, amelyekre igaz, hogy van olyan nyelvtan (más néven grammatika), ami éppen az ő elemeiket generálja.

Matematikai-nyelvészeti problémák

A formális nyelvekkel kapcsolatosan gyakran felmerülő kérdés „milyen nehéz eldönteni egy adott szóról, hogy egy adott nyelvhez tartozik-e?” Ez az alapja a kiszámíthatóságelméletnek és bonyolultságelméletnek.

További fontos, generatív nyelvekkel kapcsolatos problémák:

• Egy nyelvtan a teljes univerzumot generálja-e?
• Két nyelvtan ugyanazt a nyelvet generálja-e?
• Egy nyelvtan által generált nyelv tartalmazza-e egy másik nyelvtan által generált nyelv minden szavát?

Lásd még

• Elsőrendű nyelv

Források

• Bach, Iván. Formális nyelvek: Egyetemi tankönyv. Budapest: Typotex (2002). ISBN 963 9132 92 6 
• Csirmaz, László: Matematikai logika egyetemi jegyzet, ELTE Bp., 1994 (Postscript változat)
• Szeredi - Lukácsy - Benkő: A szemantikus világháló elmélete és gyakorlata. Typotex Kiadó, 2005. ISBN 963-9548-48-0