Mérték (matematika)
A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából.
A mértékelmélet a matematika egyik területe, melynek központi fogalma a mérték, a σ-algebra, az integrál vagy a mérhető függvény. Tekinthető a valós analízis egyik ágának, ami fontos szerepet tölt be a valószínűség-számításban és a statisztikában.
A mérték egy függvény, ami egy adott halmaz részhalmazaihoz egy számot rendel. Ezzel különböző fogalmakat próbálunk megfogni, ilyen lehet a hossz, a térfogat vagy a valószínűség. De a konkrét szituációban lehet a mérték jelentése olyan is, aminek a való életünkben semmi megfelelője nincsen.
A mérték az integrál fogalmát általánosítja valamilyen szempontból. Ott a részhalmazok az intervallumok.
Tartalomjegyzék |
[szerkesztés] Formális definíció
A mérték egy ![\mu : \sum \to [0, \infty ]](http://upload.wikimedia.org/math/a/9/e/a9e08673138884eadb1f8fe84312872d.png)
függvény, ahol 
egy X halmaz feletti σ-algebra, ami kielégíti az alábbi feltételeket:
- Az üres halmaz mértéke nulla:
- σ-additivitás: ha E1, E2, E3, … egy páronként diszjunkt, megszámlálható halmazsorozat Σ-ban, akkor
Az (X,Σ,μ) hármast nevezik mértéktérnek, és Σ elemeit pedig mérhető halmazoknak.
[szerkesztés] Tulajdonságok
[szerkesztés] Monotonitás
μ monoton, vagyis ha E1 and E2 mérhető halmazok, és E1 ⊆ E2, akkor μ(E1) ≤ μ(E2).
[szerkesztés] Végtelen sok mérhető halmaz uniójának mértéke
Ha E1, E2, E3, … egy megszámlálható halmazsorozat Σ-ban, akkor
.
Ha E1, E2, E3, … mérhető halmazok és En részhalmaza En+1-nek minden n-re, akkor az Ei halmazok uniója is mérhető, és
.
[szerkesztés] Végtelen sok mérhető halmaz metszetének mértéke
Ha E1, E2, E3, … mérhető halmazok és minden n-re En+1 részhalmaza En-nek, akkor az En halmazok metszete is mérhető; illetve, ha legalább egy En halmaz mértéke véges, akkor
.
Ez a tulajdonság nem teljesül, ha nem tesszük fel, hogy legalább egy halmaz mértéke véges, ugyanis legyen minden n ∈ N esetén
Ekkor minden halmaz végtelen mértékű, de a metszetük üres.
[szerkesztés] Külső hivatkozások
- P.R. Halmos: Mértékelmélet, Gondolat, 1994
