Mérték (matematika)

A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából

A mérték egy függvény, ami egy adott halmaz részhalmazaihoz egy számot rendel. A mindennapi életben például ilyen mérték lehet a hossz, a terület, a térfogat vagy a valószínűség.

A mérték az integrál fogalmát általánosítja.

A mértékelmélet a valós analízis egyik ága, amely a halmazok mérhetőségével foglalkozik. Fontos szerepet tölt be a valószínűség-számításban és a statisztikában.

Formális definíció[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

A mérték egy \mu : \Sigma \to [0, \infty ] függvény, ahol \Sigma egy X halmaz feletti σ-algebra, ami kielégíti az alábbi feltételeket:

 \mu(\varnothing) = 0;
\mu\left(\bigcup_{i=1}^\infty E_i\right) = \sum_{i=1}^\infty \mu(E_i).

Az (X,\Sigma, \mu ) hármast nevezik mértéktérnek, és \Sigma elemeit pedig mérhető halmazoknak.

Tulajdonságok[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Monotonitás[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

μ monoton, vagyis ha E1 and E2 mérhető halmazok, és E1E2, akkor μ(E1) ≤ μ(E2).

Végtelen sok mérhető halmaz uniójának mértéke[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Ha E1, E2, E3, … egy megszámlálható halmazsorozat Σ-ban, akkor

\mu\left( \bigcup_{i=1}^\infty E_i\right) \le \sum_{i=1}^\infty \mu(E_i).

Ha E1, E2, E3, … mérhető halmazok és En részhalmaza En+1-nek minden n-re, akkor az Ei halmazok uniója is mérhető, és

 \mu\left(\bigcup_{i=1}^\infty E_i\right) = \lim_{i\to\infty} \mu(E_i).

Végtelen sok mérhető halmaz metszetének mértéke[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Ha E1, E2, E3, … mérhető halmazok és minden n-re En+1 részhalmaza En-nek, akkor az En halmazok metszete is mérhető; illetve, ha legalább egy En halmaz mértéke véges, akkor

 \mu\left(\bigcap_{i=1}^\infty E_i\right) = \lim_{i\to\infty} \mu(E_i).

Ez a tulajdonság nem teljesül, ha nem tesszük fel, hogy legalább egy halmaz mértéke véges, ugyanis legyen minden nN esetén

 E_n = [n, \infty) \subseteq \mathbb{R}

Ekkor minden halmaz végtelen mértékű, de a metszetük üres.

Példák[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Források[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]