σ-additivitás

A mértékelméletben σ-additívnak nevezünk egy halmazfüggvényt, ha értelmezési tartományába tartozó diszjunkt halmazok megszámlálható unióján is értelmezve van, és az itt felvett értéke megegyezik az uniót alkotó halmazokon felvett értékeinek (esetleg végtelen) összegével. A σ-additív halmazfüggvény a területfogalom általánosítása.

Halmazfüggvények

Legyen A egy nemüres halmaz, és jelölje M az A részhalmazainak egy családját. Halmazfüggvénynek nevezzük az olyan leképezést, amelynek értelmezési tartománya $M$, értékkészlete pedig a $[-\infty, +\infty]$ kiterjesztett számegyenes. Halmazfüggvény például a háromdimenziós euklideszi tér térfogattal bíró halmazain a térfogatfüggvény, de ilyen az egészek részhalmazain értelmezett számosságfüggvény is.

Additív halmazfüggvények

Egy $\lambda$ halmazfüggvényt akkor nevezünk additívnak, ha az értelmezési tartományabeli diszjunkt halmazpárok unióján is értelmezve van, és ott értéke az egyes halmazokon felvett értékek összege. Képletben: valahányszor

$X, Y \in M$ és $X \bigcap Y = \emptyset$

fennáll, teljesül a

$\lambda(X \bigcup Y)=\lambda(X)+\lambda(Y)$.

egyenlőség is.

Indukcióval belátható, hogy az additivitás kettőnél több (de véges sok) halmazra is kiterjeszthető, azaz ha X₁, X₂, X₃, … X_n halmazok egy páronként diszjunkt családja, akkor

$\lambda\left(\bigcup_{i=1}^n X_i\right) = \sum_{i=1}^n \lambda(E_i).$

A σ-additivitás ennek a tulajdonságnak a kiterjesztése megszámlálhatóan sok X_i-re: ha X₁, X₂, X₃, … halmazok egy páronként diszjunkt megszámlálhatóan végtelen családja, akkor

$\lambda\left(\bigcup_{i=1}^\infty E_i\right) = \sum_{i=1}^\infty \lambda(E_i).$

Forrás

• P.R. Halmos: Mértékelmélet, Gondolat, 1994