σ-additivitás

A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából


A mértékelméletben σ-additívnak nevezünk egy halmazfüggvényt, ha értelmezési tartományába tartozó diszjunkt halmazok megszámlálható unióján is értelmezve van, és az itt felvett értéke megegyezik az uniót alkotó halmazokon felvett értékeinek (esetleg végtelen) összegével. A σ-additív halmazfüggvény a területfogalom általánosítása.

Halmazfüggvények[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Legyen A egy nemüres halmaz, és jelölje M az A részhalmazainak egy családját. Halmazfüggvénynek nevezzük az olyan leképezést, amelynek értelmezési tartománya M, értékkészlete pedig a [-\infty,  +\infty] kiterjesztett számegyenes. Halmazfüggvény például a háromdimenziós euklideszi tér térfogattal bíró halmazain a térfogatfüggvény, de ilyen az egészek részhalmazain értelmezett számosságfüggvény is.

Additív halmazfüggvények[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Egy \lambda halmazfüggvényt akkor nevezünk additívnak, ha az értelmezési tartományabeli diszjunkt halmazpárok unióján is értelmezve van, és ott értéke az egyes halmazokon felvett értékek összege. Képletben: valahányszor

X, Y \in M és X \bigcap Y = \emptyset

fennáll, teljesül a

\lambda(X \bigcup Y)=\lambda(X)+\lambda(Y).

egyenlőség is.

Indukcióval belátható, hogy az additivitás kettőnél több (de véges sok) halmazra is kiterjeszthető, azaz ha X1, X2, X3, … Xn halmazok egy páronként diszjunkt családja, akkor

\lambda\left(\bigcup_{i=1}^n X_i\right) = \sum_{i=1}^n \lambda(E_i).

A σ-additivitás ennek a tulajdonságnak a kiterjesztése megszámlálhatóan sok Xi-re: ha X1, X2, X3, … halmazok egy páronként diszjunkt megszámlálhatóan végtelen családja, akkor

\lambda\left(\bigcup_{i=1}^\infty E_i\right) = \sum_{i=1}^\infty \lambda(E_i).


Forrás[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

  • P.R. Halmos: Mértékelmélet, Gondolat, 1994