σ-additivitás

A mértékelméletben σ-additívnak nevezünk egy halmazfüggvényt, ha értelmezési tartományába tartozó diszjunkt halmazok megszámlálható unióján is értelmezve van, és az itt felvett értéke megegyezik az uniót alkotó halmazokon felvett értékeinek (esetleg végtelen) összegével. A σ-additív halmazfüggvény a területfogalom általánosítása.

Halmazfüggvények

Legyen A egy nemüres halmaz, és jelölje M az A részhalmazainak egy családját. Halmazfüggvénynek nevezzük az olyan leképezést, amelynek értelmezési tartománya $M$, értékkészlete pedig a $[-\infty ,+\infty ]$ kiterjesztett számegyenes. Halmazfüggvény például a háromdimenziós euklideszi tér térfogattal bíró halmazain a térfogatfüggvény, de ilyen az egészek részhalmazain értelmezett számosságfüggvény is.

Additív halmazfüggvények

Egy $\lambda$ halmazfüggvényt akkor nevezünk additívnak, ha az értelmezési tartományabeli diszjunkt halmazpárok unióján is értelmezve van, és ott értéke az egyes halmazokon felvett értékek összege. Képletben: valahányszor

$X,Y\in M$ és $X\bigcap Y=\emptyset$

fennáll, teljesül a

$\lambda (X\bigcup Y)=\lambda (X)+\lambda (Y)$.

egyenlőség is.

Indukcióval belátható, hogy az additivitás kettőnél több (de véges sok) halmazra is kiterjeszthető, azaz ha X₁, X₂, X₃, … X_n halmazok egy páronként diszjunkt családja, akkor

$\lambda \left(\bigcup _{i=1}^{n}X_{i}\right)=\sum _{i=1}^{n}\lambda (X_{i}).$

A σ-additivitás ennek a tulajdonságnak a kiterjesztése megszámlálhatóan sok X_i-re: ha X₁, X₂, X₃, … halmazok egy páronként diszjunkt megszámlálhatóan végtelen családja, akkor

$\lambda \left(\bigcup _{i=1}^{\infty }X_{i}\right)=\sum _{i=1}^{\infty }\lambda (X_{i}).$

Források

• P. R. Halmos: Mértékelmélet (Gondolat, 1994)