Euklideszi geometria

A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából

A görög tudósok az egyiptomi geométerek – földmérők – tapasztalatainak rendszerezésével olyan tudományt alkottak, amelyet ma geometriának nevezünk. Az Eukleidész munkájában (Elemek) ránk hagyományozott rendszer kétezer évig a világnézet egyik pillérének számított: feltételeztük, hogy az univerzum tapasztalati tere pontosan olyan szerkezetű, mint az euklideszi elmélet által leírt absztrakt tér. A rá épülő geometriát nevezzük euklideszi geometriának.[1]

Euklideszi párhuzamosság[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Eukleidész az Elemek I. könyvében definiálja az egyenesek párhuzamosságát: Két egyenest párhuzamosnak nevez, ha azok egy síkban fekszenek és mindkét irányban meghosszabbítva nem metszik egymást. (I.23. definíció) E definíciót használva bizonyítja be, hogy két egyenes párhuzamos akkor, ha egy harmadik metszővel egyenlő váltószögeket alkot (I.27. tétel), de akkor is, ha a metszőnek ugyanazon az oldalán a megfelelő szögek egyenlők vagy a két belső szög összege két derékszög (I.28. tétel).

Eukl-geom-1.jpg

Ennek a tételnek a megfordítását mondja ki az I. könyvben az 5. posztulátum [2] :

Ha egy egyenes úgy metsz két egyenest, hogy az egyik oldalán keletkező belső szögek összege kisebb két derékszögnél, akkor e két egyenes a metszőnek ezen oldalán meghosszabbítva metszi egymást.

Eukl-geom-2.jpg

A párhuzamosok euklideszi elmélete az első könyv néhány tételében válik teljessé:

  • I.30. tétel: Ugyanazzal az egyenessel párhuzamosak egymással is párhuzamosak.
  • I.31. tétel: Egy adott egyenessel egy külső ponton át (csak egy) párhuzamos húzható.[3]

Eukl-geom-3.jpg Eukl-geom-4.jpg

  • I.33. tétel: Két párhuzamos és egyenlő szakasz végeit összekötő szakaszok is párhuzamosok és egyenlők.

Eukl-geom-5.jpg

A párhuzamosok euklideszi elméletének következményei közül a legismertebb a háromszögek szögeinek összegére vonatkozó tétel, mely csak az euklideszi geometriában érvényes.

Eukl-geom-8.jpg

Távolságvonal[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Már Eukleidész első kommentátorainak feltűnt, hogy az 5. posztulátum nem magától értetődő, nem olyan, amit bizonyítás nélkül el lehetne fogadni, s ezért megkísérelték levezetni. Feltevésüket igazolandó próbálkoztak azzal is, hogy a párhuzamosok euklideszi definícióját más fogalmazásokkal helyettesítsék. Ám ezek az alternatív definíciók és axiómák nem vezettek ellentmondáshoz. Proklosz (i.sz. 410 - 485) a Megjegyzések Eukleidész első könyvéhez c. munkájában megemlíti Poszeidoniosz (i.e. I. sz.) javaslatát, hogy

nevezzük párhuzamosnak a két egysíkú és egymástól egyenlő távolságban haladó egyenest.

Az említett I. 33. tételből levezethető, hogy az euklideszi párhuzamosok ekvidistáns – egyenközű – vonalak. Tehát a javasolt definíció és az euklideszi párhuzamosság nincsenek ellentmondásban, de külön kell őket választani. Proklosz analógiaként említi a hiperbola és a konhoisz asszimptotáját, amellyel Eukleidész szerint a görbe párhuzamos – sohasem metszi azt – de Poszeidoniosz felfogása szerint nem – közeledik hozzá. Proklosz megítélése szerint ez a tény az egész geometriában a legnagyobb paradoxon.

Bolyai János a nemeuklideszi geometria felépítése során a távolságvonalat, mint az egyenestől egyenlő távolságban lévő pontok mértani helyet hiperciklusnak nevezi el, ezzel is kiemelve, hogy az nem egyenes.

Eukl-geom-6.jpg

A határkör[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Eukl-geom-7.jpg

Az euklideszi párhuzamosság kevéssé közismert következménye, hogy ha egy egyenest érintő kör középpontját az egyenestől minden határon túl eltávolítjuk, akkor a kör határhelyzete az adott érintő egyenes lesz. Azonban az így létrejövő végtelen sugarú határkör a hiperbolikus síkon nem egyenes. Bolyai paraciklusnak, Lobacsevszkij horociklusnak nevezte el. A határkört egy „sugara” körül megforgatva a határgömböt kapjuk, mely csak az euklideszi térben sík, a hiperbolikus térben paraszféra-horoszféra néven ismerjük.

Eltérések[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Amíg a XIX. századi kutatások nem mutattak rá az euklideszitől különböző geometriai rendszerek lehetőségére, addig az „euklideszi” jelzőnek nem volt értelme, akkor ez volt „A geometria”. Ma az euklideszi geometria csak a lehetséges geometriai rendszerek egyike. A legfontosabb eltérések a párhuzamossággal kapcsolatosak, s mint fentebb részleteztük az egyenes bizonyos jellegzetességei és még néhány tétel (tulajdonság) különbözteti meg a többi geometriai rendszertől. Ezek többségét természetesnek vesszük, holott más axiómákra épített rendszerekben az ellenkezőjük igaz. Ilyenek például:

  • Csak az euklideszi geometriában vannak hasonló idomok. Más rendszerekben a háromszögek szögeinek összege az idom méreteitől függ, tehát a hasonlóság értelmét veszti.
  • Akármilyen nagy területű háromszögek (idomok) léteznek. (A Bolyai-Lobacsevszkij geometriában van maximális méretű háromszög.)
  • Ha egy egyenes két (euklideszi) párhuzamos egyikét metszi, akkor a másikat is.
  • Ha az euklideszi sík egyik félegyenese párhuzamos egy másik egyenessel, akkor a komplementere is párhuzamos ugyanazzal az egyenessel. (A nemeuklideszi párhuzamosok csak „egyik irányban” azok.)
  • Az euklideszi síkban egy egyeneshez egy külső ponton át egyetlen párhuzamos (nem metsző) húzható. (Az elliptikus síkon egy sem, a hiperbolikus síkon két párhuzamos és végtelen sok nem metsző.)
  • Egy konvex szögtartomány bármely pontján át húzható olyan egyenes, amelyik a szög mindkét szárát metszi.

Jegyzetek[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

  1. A matematikus nevének szabatos átírása Eukleidész volna, tehát a szerkezet eukleidészi geometria, de ebben a kifejezésben hagyományosan rögzült euklideszi alakban (lásd például Püthagorasz, de Pitagorasz-tétel stb.).
  2. Néhány kiadásban az axiómák között szerepel 9., gyakrabban 11. sorszámmal.
  3. A tétel valójában feladatként tűzi ki a párhuzamos megszerkesztését.

Forrás[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Bolyai János: Appendix, a tér tudománya (Akadémiai Kiadó, 1973)

Euklidesz: Elemek (Mayer Gyula ford.), Gondolat, 1983. [1]

Lobacsevszkij, N.I.: Geometriai vizsgálatok… …(Akadémiai Kiadó, 1951)

Bonola, Roberto: A nemeuklideszi geometria története – (inedita)[2]

Reinhardt,F.-Soeder,H.: SH atlasz-Matematika, Springer-Verlag, Budapest-Berlin, 1993.

Dörrie, Heinrich: A diadalmas matematika - Gondolat Kiadó, Budapest, 1965.

Hajós György: Bevezetés a geometriába - Tankönyvkiadó, Budapest, 1960.

Waerden, B.L. van der: Egy tudomány ébredése (Gondolat, 1977)

Kerékjártó Béla: A geometria alapjairól (Akadémiai Kiadó, 19??)

Einstein, Albert: A speciális és általános relativitás elmélete (Gondolat, 1963)