Paradoxon

A paradoxon, állítások egy olyan halmaza, amelyek látszólag ellentmondásra vezetnek, vagy a józan észnek ellentmondó következtetés vonható le belőlük. A híres paradoxonok mögött megbújó kétértelműségek következtetési hibák és ki nem mondott, hibás feltételezések tudatosodása számos tudományos, filozófiai és matematikai felfedezéshez vezetett.

Amint az a bevezetésből is látszik, a paradoxonoknak több típusuk van. Russell paradoxonja ugyanakkor valódi ellentmondást mutatott ki az akkori matematika rendszerében. Számos paradoxon tartalmaz önhivatkozást vagy manipulál a végtelennel, mások körkörös definíciókon alapulnak.

A mindennapi szóhasználat gyakran használja a "paradoxon" kifejezést ott, ahol csak valamilyen meghökkentő jelenségről van szó (pl. születésnap-paradoxon). Máskor a dilemmákra használják a "paradoxon" megnevezést: a „szeresd felebarátodat” parancsolat például dilemmát szül, ha mondjuk az említett személy az életünkre tör. Ha nem teszünk semmit, meghalunk, és nem lesz lehetőségünk szeretni, ha viszont megakadályozzuk tettében, vitatható, hogy ez „szerető” cselekedet-e.

Paradoxonok fajtái

W. V. Quine 1962-ben háromféle paradoxont különböztetett meg:

• Az igaz paradoxon olyan abszurdnak tűnő következtetésre vezet, ami mégiscsak igaz.
• A hamis paradoxon olyan tényt bizonyít, amely nem csak hamisnak tűnik, hanem valóban az is; a hiba a paradoxon bizonyításában rejlik valahol, egy hibás logikai következtetésben vagy valótlan feltételezésben. Ide tartoznak a klasszikus érvénytelen bizonyítások (például 1 = 2), amelyek valamilyen rejtett, nem megengedett matematikai műveletet (például nullával való osztást) végeznek el.
• Az egyik fenti kategóriába sem sorolható paradoxonok valódi ellentmondások, amelyek a valóságról alkotott kép, a paradoxon alapját képező rendszer, modell hibás voltára hívják fel a figyelmet. Ezek a leghasznosabbak, mivel többnyire a rendszer finomítását, továbbfejlesztését eredményezik.

Ugyanakkor nem minden paradoxon sorolható be egyértelműen a fenti három kategóriába. Pl. Zénón paradoxonai - valószínűleg mindmáig a legismertebb paradoxonok - megoldása és besorolása mindmáig nem egyértelmű.

Híres paradoxonok

Igaz paradoxonok

Ezek mind helyes (legalábbis logikailag helyes) érveléssel jutnak érvényes, de meglepő eredményre.

Logikai, halmazelméleti

• Következtetési paradoxon: Hamis feltételezésekből tetszőleges következtetés levezethető. Ez az alapja az indirekt bizonyítás módszerének.
• Bertrand valószínűségi paradoxonja: a véletlen különböző, józan paraszti ésszel alkotott definíciói igencsak különböző eredményekre vezetnek.
• Galilei paradoxonja: Noha a legtöbb egész nem négyzetszám, mégis az egész számok számossága ugyanaz, mint a négyzetszámoké.
• Hilbert Grand Hotel-paradoxonja: Egy végtelen sok szobás hotel akkor is tud vendégeket (méghozzá végtelen sokat) fogadni, ha tele van.
• Váratlan akasztás paradoxon: Az akasztás meglepetés kell, hogy legyen, tehát nem következhet be, tehát meglepetés lesz.

Matematikai/geometriai

• Banach–Tarski-paradoxon: Egy gömb öt darabjából két teljes, az eredetivel megegyező méretű gömböt állíthatunk össze.
• Gábriel harsonája : Egy olyan test, amelynek felülete végtelen, térfogata viszont véges. A kétdimenziós fraktálok legtöbbje (például a Koch-pehely vagy a Mandelbrot-halmazok) is hasonló tulajdonságot mutatnak: végtelen a kerületük, de véges a területük.
• Navigációs paradoxon A Föld felszínén két pont között az ortodroma (gömbi főkör) a legrövidebb út. A tengeri és légi közlekedésben a hosszabb loxodromát választják, mert ezen állandó a menetirány (kurzus). Ennek ellenére a loxodromán haladó jármű kormányával állandóan korrigálni kell, míg az ortodromán rögzített kormánnyal lehet végigmenni.
• Tízszög paradoxon: Egy tévparadoxon, mely szerint a tízszög szerkesztése lehetetlen, egy oldalhossz miatt.

Matematikai/valószínűségi

• születésnap-paradoxon: Mi a valószínűsége, hogy egy társaságban két embernek ugyanarra a napra esik a születésnapja?
• Csipkerózsika-paradoxon: Egy érmével 1/3 eséllyel dobunk fejet?
• Statisztikai paradoxonok: könnyű rossz következtetésekre jutni hamis összefüggések alapján. Például megfigyelhető, hogy minél több templom van egy városban, annál több bűnesetet követnek el. A valóságban természetesen mindkettő a nagyobb lélekszám következménye. Egyszer kimutatták például, hogy a doktori fokozattal rendelkező közgazdászok fizetése alacsonyabb az „egyszerű” diplomás közgazdászokénál. A különbség oka valójában az volt, hogy a doktori fokozattal rendelkezők többnyire tudományos pályát választottak, ahol a fizetések általában alacsonyabbak az iparban fizetetteknél. Az ilyesfajta kérdések megoldására született a korreláció fogalma.
• Monty Hall-paradoxon: Egy tv-vetélkedő fődíjához kapcsolódó, választásról szóló híres valószínűségi paradoxon.

Pszichológiai/filozófiai

• Abilene-paradoxon: Az emberek gyakran a céljukkal ellentétesen cselekednek, egyre távolabb kerülve attól, amit megpróbálnak elérni.
• vezérlés-paradoxon: Az ember sohasem lehet mentes minden vezérléstől, mert ha az, akkor önmagát vezérli.
• Epikureus paradoxon: A gonosz létezése ellentmondásban van egy mindenható és gondoskodó isten létével.
• mindenhatóság-paradoxon: Isten nem lehet mindenható, mert akkor kellene tudnia teremteni olyan sziklát, amelyet még ő maga sem tud felemelni. (Mi történik, ha a megállíthatatlan ágyúgolyó sérthetetlen oszlopnak ütközik)?
• Időparadoxon: Ha visszautazom az időben, és megölöm az apámat még csecsemőkorában, akkor én nem fogok megszületni, tehát nem tudok visszamenni, hogy megöljem őt. Így meg fogok születni.

Fizikai

• Schrödinger macskája: A kvantummechanika filozófiai megkérdőjelezése.
• Kozmikus sugárzás paradoxon: a jelenleg elfogadott fizikai törvények határt szabnak a kozmikus sugárzás lehetséges energiájának, de ennél nagyobb energiájú sugarzást is mértek már.
• EPR-paradoxon: (Einstein-Podolsky-Rosen) Távoli események tudják-e befolyásolni egymást a kvantummechanikában?
• Mpemba-paradoxon: a melegebb víz bizonyos körülmények között gyorsabban fagy meg, mint a hidegebb víz, noha a folyamat során át kell lépnie a hidegebb víz hőmérsékletét.
• Olbers-paradoxon: miért fekete a csillagos ég, ha végtelen sok csillag van?
• Bentley-paradoxon: a csillagok miért nem zuhannak egymásba?
• ikerparadoxon: a sokat utazó iker visszatértekor fiatalabb, mint az otthon maradt testvére.
• fekete lyuk paradoxon: a fekete lyukakból elvileg nem juthat ki információ, mégis van bizonyíték az ellenkezőjére.

Hamis paradoxonok

Ezek a paradoxonok hibás érveléssel jutnak hamis következtetésre.

• Lóparadoxon: Minden ló ugyanolyan színű.

Ellentmondások (antinómiák)

Ezek mind a Russell-paradoxonra hasonlítanak.

• A borbélyparadoxon: Ha mindenki vagy maga borotválkozik, vagy a borbély beretválja. Ki borotválja a borbélyt?
• Curry paradoxonja: „Ha nem tévedek, a Mikulás létezik.”
• A hazug paradoxona: „Ez az állítás hazugság.”
• Russell-paradoxon: Tartalmazza-e az összes önmagát nem tartalmazó halmaz halmaza önmagát?
• Epimenidész-paradoxon: Egy krétai állítja: „Minden krétai hazudik.”
• Richard-antinómia: A legkisebb kilencnél kevesebb szóval nem definiálható számnak egy nyolcszavas definíciója az, hogy ez „a legkisebb kilencnél kevesebb szóval nem definiálható szám”.
• Grelling–Nelson-paradoxon A „heterologikus” melléknév nem „heterologikus”, de nem is „autologikus”.

Egyéb

• Zénón paradoxonjai: Akhilleusz sohasem éri utol a teknőst, pedig sokkal gyorsabb nála.
• Szoritész paradoxon

Definíciós paradoxonok

Pontatlan definíción alapulnak.

• Theseus hajója: Ha a hajó minden elemét már legalább egyszer kicserélték, akkor vajon még mindig ugyanaz a hajó-e?
• Szóritész paradoxonja (kupac paradoxon): Meddig homokkupac a homokkupac, és mikortól különálló homokszemcsék?

Külső hivatkozások

• Google Directory: Paradoxes (angolul)
• E. P. Northrop: Rejtélyek a matematikában.
• Laczkovich Miklós előadásáról – a Banach–Tarski paradoxonnal rokon problémák kutatásában jutott meglepő felfedezésre.