Korreláció

A matematikában (a statisztikában) a korreláció jelzi két tetszőleges érték közötti lineáris kapcsolat nagyságát és irányát (avagy ezek egymáshoz való viszonyát). Az általános statisztikai használat során a korreláció jelzi azt, hogy két tetszőleges érték nem független egymástól. Az ilyen széles körű használat során számos együttható, érték jellemzi a korrelációt, alkalmazkodva az adatok fajtájához.

A korreláció csak a lineáris kapcsolatot jelzi. Például egy valószínűségi változó és négyzete korrelációja lehet nulla. Ha két véletlen mennyiség korrelációja nulla, akkor korrelálatlanok; ilyenkor a kapcsolatot, ha van, másként kell jellemezni, például feltételes valószínűségekkel. A normális eloszlású valószínűségi változókra jellemző, hogy ha korrelálatlanok, akkor függetlenek is. Így a korreláció jól alkalmazható normális eloszlásúnak tekinthető mérhető mennyiségek közötti kapcsolat erősségének mérésére.

Másfajta összefüggések kimutatására más eszközök kellenek. Használható például a kölcsönös információ:

$I(X;Y) = \sum_{y \in Y} \sum_{x \in X} p(x,y) \log{ \left( \frac{p(x,y)}{p_1(x)\,p_2(y)} \right) }, \,\!$

vagy a feltételes valószínűségek. Az A eseménynek a B eseményre vonatkozó feltételes valószínűsége megadja az A esemény bekövetkezésének a valószínűségét, feltéve hogy a B esemény bekövetkezik.

Van olyan, a korrelációhoz hasonló eszköz, amivel bármilyen függvénykapcsolat kimutatható.

Számítása

A korreláció a következő képlettel számítható:

$R{(X,Y)}={\mathrm{cov}(X,Y) \over \sigma_X \sigma_Y} ={E[(X-\mu_X)(Y-\mu_Y)] \over \sigma_X\sigma_Y},$

ahol E a várható érték, $\sigma$ a szórás, μ_X az X, μ_Y az Y valószínűségi változó várható értéke.

A statisztikában nem állnak rendelkezésre az elméleti értékek, így a tapasztalati korrelációt a következőképpen számítják:

$r_{xy}=\frac{\sum_{i=1}^n (x_i-\bar{x})(y_i-\bar{y})}{(n-1) s_x s_y},$

ahol a felülvonásos betűk a tapasztalati várható értéket, s_x, s_y a tapasztalati korrigált szórásnégyzetet jelölik.

A korreláció -1 és +1 közé esik, és egyenlőség akkor és csak akkor áll fenn, ha a két változó lineáris kapcsolatban áll egymással. Skálafüggetlen, azaz invariáns X és Y marginális eloszlásainak monoton transzformációjára.

Korrelációmátrix

n valószínűségi változó, X₁, ..., X_n korrelációja egy n  ×  n-es mátrix, amiben az i,j-edik elem corr(X_i, X_j).

A korrelációmátrix szimmetrikus, mert X_i és X_j korrelációja megegyezik X_j és X_i korrelációjával. A valószínűségi változók normalizáltjainak kovarianciamátrixa megegyezik az adott valószínűségi mátrix kovarianciamátrixával, ezért pozitív definit.

Parciális korreláció

A parciális korreláció n > 2 valószínűségi változó esetén azt méri, hogy két valószínűségi változó milyen kapcsolatban áll egymással a többi változótól eltekintve.

Érzékenység

A korreláció nem függ az adatok nagyságától, de érzékeny a mintavételezésre. Egy szűkebb mintából számított korreláció rendszerint kisebb, mint a bővebb mintából számolt. Például, ha az apák és fiaik magasságának korrelációját számítjuk, akkor a teljes mintán erősebb összefüggést észlelünk, mintha csak azokon az adatokkal dolgoznánk, amik szerint az apák magassága 165 cm és 170 cm közé esik.

Négy adathalmaz ugyanazzal a korrelációval (0,816)

A korreláció érzékeny a kivételes adatokra (outlierek). Egy kivételes adat nagyon lecsökkentheti, vagy megnövelheti. Francis Anscombe példájában a négy y változónak ugyanaz a várható értéke (7,5), szórása (4,12), korrelációja (0,816), és a regressziós egyenese (y = 3 + 0,5x), a tapasztalati eloszlások mégis különböző képet adnak. A harmadik képen egy kivételes adat lecsökkenti az 1 korrelációt 0,816-ra; a negyediken a független adatok 0 korrelációját ugyanennyire növeli. A korreláció nem veszi észre a második képen látható nem lineáris összefüggést sem.

Példák

• Az intelligencia és a kreativitás normális eloszlásúnak tekinthető. A különféle mérések szerint korrelációs együtthatójuk 0,19-0,39 közé esik. Ez a korreláció gyengének számít. Ezért mondják, hogy az intelligencia és a kreativitás között nincs kapcsolat.
• Legyen az A tulajdonság előfordulásának valószínűsége $6 \cdot 10^{-3}$, a B tulajdonságé $8 \cdot 10^{-3}$, a két tulajdonság együttes eloszlásának valószínűsége $7,5 \cdot 10^{-4}$. Ekkor A és B korrelációja 0,01483, gyakorlatilag nem létezik, bár mindkét feltételes valószínűség jóval nagyobb a nem feltételesnél: P(A|B) = 0,125 és P(B|A) = 0,09375, tehát a két tulajdonság nem független.

Alkalmazások

Az idősorok elemzésében és a jelfeldolgozásban gyakran alkalmazzák a korrelációt az összehasonlításokban.

• Ha kiszámítjuk két adatsor értékkészletének korrelációját, akkor keresztkorrelációt kapunk.
• Ha egy adatsort és egy eltoltjának korrelációját számoljuk így ki, akkor autokorrelációról beszélünk.

A keresztkorreláció segít a két adatsor közötti összefüggés megtalálásában. Ha az egyik adatsort eltoljuk, akkor késleltetett hatások is felfedezhetők. Az autokorrelációval periódusok mutathatók ki az adatsorban.

A jelfeldolgozásban diszkrét adatsor helyett folytonos jelekkel is dolgoznak. Így adódik:

• a keresztkorreláció-függvény:

$R_{xy}(\tau) = \lim_{T_F \to \infty} \frac{1}{T_F}\int_{-T_F/2}^{T_F/2} x(t) \cdot y(t + \tau) \,\mathrm dt$

• az autokorreláció-függvény:

$R_{xx}(\tau) = \lim_{T_F \to \infty} \frac{1}{T_F}\int_{-T_F/2}^{T_F/2} x(t) \cdot x(t + \tau) dt$

Értelmezési hiba

A korrelációt sokszor félreértelmezik:

• Ha két mennyiség korrelál, akkor az egyik okozza a másikat.

Ez nem feltétlenül van így. Például, ha egy vidéken a gólyafészkek és a gyerekek száma korrelál, akkor az nem bizonyítja azt, hogy a gyereket a gólya hozza.

Rangkorreláció

A rangkorrelációs együtthatók azt mérik, hogy két sorozat együtt változik-e. Ha az egyik sorozat nő, a másik csökken, akkor a rangkorrelációk negatívak lesznek.

Többféle rangkorrelációt ismerünk. Ezek közül a Spearman-rangkorreláció és a Kendall-korreláció a legnépszerűbb.

Számításuk:

Spearman-rangkorreláció:

$\rho = 1- {\frac {6 \sum d_i^2}{n(n^2 - 1)}}.$

Kendall-korreláció:

$\tau = \frac{n_c-n_d}{\frac{1}{2}{n(n-1)}}$

ahol n_c a megfelelő, és n_d az eltérő párok száma.

A korrelációhoz hasonlóan értékeik a [-1,1] intervallumba esnek. Értékük 1, ha a két rangsor ugyanaz; 0, ha a két rangsor egymástól független, és -1, ha egymás megfordításai.

A rangkorrelációkat sokszor a korrelációs együttható könnyen számítható és kevésbé eloszlásérzékeny alternatíváiként kezelik. Ennek azonban nincs sok matematikai alapja: a rangkorrelációkkal más összefüggéseket lehet kimutatni, mint a korrelációs együtthatóval.

Példák rangkorrelációra

A rangkorrelációk nem ugyanazt mutatják ki, mint a korreláció:

Tekintsük a (0, 1), (100, 10), (101, 500), (102, 2000) számpárok sorozatát! A rangkorrelációk teljes egyezést látnak, mert mindkét sorozat nő, míg a korreláció 0,456, ami azt mutatja, hogy a számpárok távol esnek a regressziós egyenestől.

Bár a szélsőséges esetekben megegyeznek, a rangkorrelációk nem mindig adják ugyanazt. A (1, 1) (2, 3) (3, 2) sorozat Spearman'-korrelációja 1/2, míg Kendall-korrelációja 1/3.

További információk

• Interaktív Flash szimuláció a korreláció szemléltetésére (magyarított)

Források

• Denkinger Géza: Valószínűségszámítás
• Két mennyiség kapcsolatának vizsgálata, korreláció és lineáris regresszió
• Korreláció és regresszió
• Korreláció-Lexikon
• Korreláció-, és regresszióanalízis