Loxodroma

A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából

A loxodroma egy gömb felületére írt csavarvonal. A földgömbre írt loxodroma a földrajzi hálózat minden meridiánját azonos szögben metszi. Ez a tulajdonsága teszi lehetővé, hogy a jármű állandó útirányt (azimut, kurzus) tartva jusson a célba.

Loxo-pers.gif
KUGSPI-9 Loxodrome.gif

Matematikai leírása[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

A földrajzi koordináta-rendszerben az Egyenlítő és a nullmeridián metszéspontjából induló α irányszögű loxodroma egyenlete:

\lambda=\pm\frac{180^o\cdot\mathrm{tg}{\alpha}}{\pi}\cdot\ln{\mathrm{tg}{(45^o+\varphi/2)}} \mod 360^o .

A kettős előjel közül a (+) kelet felé (jobbra) csavarodó, a (−) nyugat felé (balra) csavarodó görbéhez tartozik.

A függvény értelmezési tartománya a -90° < φ < +90° nyílt intervallum. A görbe a pólusok felé közeledve minden meridiánt periodikusan (ismételten) metsz. A görbe teljes hossza véges(!), csak az α kurzusszögtől és a gömb R sugarától függ:

S=\frac{R\pi}{\cos{\alpha}} .

Mercator-vetület[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Loxo-merc.gif

Ha a [φ;λ] földrajzi koordináták hálózatát az

x \gets \lambda

y \gets \ln{\mathrm{tg}{(45^o+\varphi/2)}}

leképezések alkalmazásával a síkba vetítjük, akkor a Mercator-féle szögtartó vetületet kapjuk. Itt az origóra illeszkedő loxodroma vetülete egyenenes, egyenlete: x = my, ahol m=\mathrm{tg}{(\alpha)} az egyenes meredeksége, iránytangense. A loxodromához tartozó kurzus-szög tehát:

\alpha = \mathrm{arctg}{(x/y)}.

Sztereografikus vetület[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Loxo-ster.gif

A földrajzi fokhálózatot a déli pólusból az északi pólusban érintő síkra vetítjük a

\lambda \gets \lambda

\rho \gets 2R\mathrm{tg}{(\varphi/2-45^o)}

leképezéssel, ahol [ρ;λ] a síkbeli polárkoordináták. Az így kapott szögtartó stereografikus térképen a loxodroma vetülete logaritmikus spirális:

\rho = K\cdot\exp{(\mp\lambda\cdot\mathrm{ctg}{\alpha})}.

Kapcsolódó lapok[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

A loxodróma meghatározására a navigáció során kerül sor.

A loxodrómához kapcsolódó ortodroma két gömbfelületi pont közötti legrövidebb felületi vonal.

Források[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

  • Szász Pál: A differenciál- és integrálszámítás elemei - Közoktatásügyi Kiadóvállalat, Budapest, 1951.
  • Bartsch, Hans-Jochen: Matematische Formeln - Fachbuchverlag, Leipzig, 1967.
  • Steinert, K.-G.: Sphärische Trigonometrie - Teubner Verlaggeselschaft, Leipzig, 1977.
  • Steinhaus ,H: Matematikai kaleidoszkóp, Művelt Nép Könyvkiadó, Budapest, 1951.