Loxodroma

A loxodroma egy gömb felületére írt csavarvonal. A földgömbre írt loxodroma a földrajzi hálózat minden meridiánját azonos szögben metszi. Ez a tulajdonsága teszi lehetővé, hogy a jármű állandó útirányt (azimut, kurzus) tartva jusson a célba.

Matematikai leírása

A földrajzi koordináta-rendszerben az Egyenlítő és a nullmeridián metszéspontjából induló α irányszögű loxodroma egyenlete:

$\lambda=\pm\frac{180^o\cdot\mathrm{tg}{\alpha}}{\pi}\cdot\ln{\mathrm{tg}{(45^o+\varphi/2)}} \mod 360^o$ .

A kettős előjel közül a (+) kelet felé (jobbra) csavarodó, a (−) nyugat felé (balra) csavarodó görbéhez tartozik.

A függvény értelmezési tartománya a -90° < φ < +90° nyílt intervallum. A görbe a pólusok felé közeledve minden meridiánt periodikusan (ismételten) metsz. A görbe teljes hossza véges(!), csak az α kurzusszögtől és a gömb R sugarától függ:

$S=\frac{R\pi}{\cos{\alpha}}$ .

Mercator-vetület

Ha a [φ;λ] földrajzi koordináták hálózatát az

$x \gets \lambda$

$y \gets \ln{\mathrm{tg}{(45^o+\varphi/2)}}$

leképezések alkalmazásával a síkba vetítjük, akkor a Mercator-féle szögtartó vetületet kapjuk. Itt az origóra illeszkedő loxodroma vetülete egyenenes, egyenlete: $x = my$, ahol $m=\mathrm{tg}{(\alpha)}$ az egyenes meredeksége, iránytangense. A loxodromához tartozó kurzus-szög tehát:

$\alpha = \mathrm{arctg}{(x/y)}$.

Sztereografikus vetület

A földrajzi fokhálózatot a déli pólusból az északi pólusban érintő síkra vetítjük a

$\lambda \gets \lambda$

$\rho \gets 2R\mathrm{tg}{(\varphi/2-45^o)}$

leképezéssel, ahol [ρ;λ] a síkbeli polárkoordináták. Az így kapott szögtartó stereografikus térképen a loxodroma vetülete logaritmikus spirális:

$\rho = K\cdot\exp{(\mp\lambda\cdot\mathrm{ctg}{\alpha})}$.

Kapcsolódó lapok

A loxodróma meghatározására a navigáció során kerül sor.

A loxodrómához kapcsolódó ortodroma két gömbfelületi pont közötti legrövidebb felületi vonal.

Források

• Szász Pál: A differenciál- és integrálszámítás elemei - Közoktatásügyi Kiadóvállalat, Budapest, 1951.
• Bartsch, Hans-Jochen: Matematische Formeln - Fachbuchverlag, Leipzig, 1967.
• Steinert, K.-G.: Sphärische Trigonometrie - Teubner Verlaggeselschaft, Leipzig, 1977.
• Steinhaus ,H: Matematikai kaleidoszkóp, Művelt Nép Könyvkiadó, Budapest, 1951.