Fraktál

A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából
A Mandelbrot-halmaz rajzolata egy ismert példa a fraktálokra.
Önhasonló (fraktál-szerű) részletek a borostyán (Hedera helix) levélerezetében

A fraktálok – a legegyszerűbb, de nem feltétlenül pontos megközelítésben – „önhasonló”, végtelenül komplex geometriai alakzatok. Az önhasonlóság azt jelenti, hogy egy kisebb rész felnagyítva ugyanolyan struktúrát mutat, mint egy nagyobb rész. Ilyen bizonyos léptékig például a természetben a villám mintázata, a levél erezete, a felhők formája, a hópelyhek alakja, a hegyek csipkézete, a fa ágai, a hullámok fodrozódása és még sok más.

Fraktálokat először a tizenkilencedik század végén fedeztek fel matematikusok a valós analízis és topológia halmazelméleti megalapozására irányuló vizsgálatainak (nem kívánt) eredményeképp, bár ekkor még nem nyertek önálló elnevezést, és évtizedekig tudatos, rendszeres vizsgálatuk sem kezdődött meg; viszont a huszadik század második felében (nem várt módon) előbukkantak különféle műszaki, fizikai, kémiai, élő, s végül, kozmológiai rendszerek viselkedésének matematikai leírásának vizsgálatakor is.

A fraktálok matematikai definíciójáról egyelőre nincs végleges megállapodás a szakirodalomban.[1] Több lehetséges matematikai út is kínálkozik (ezek közül kétféle alapelgondolás lépte túl a vitairat-szintet), azonban egyik sem fedi le teljes egészében az összes olyan példát, amiket a különféle területeken dolgozó szakemberek is fraktálnak tartanak, de nem is zárják ki az összes olyan fogalmat, amik fraktálként való tanulmányozása nem bír érdekességgel.

Az eredeti és talán legszélesebb körben elfogadott definíciót, miszerint fraktálnak nevezünk egy geometriai alakzatot akkor, ha „induktív” dimenziója nem esik egybe (szigorúan kisebb) a Hausdorrff-féle dimenziójával, elgondolásainak változása eredményeképp a fogalom keresztapja, maga Mandelbrot elvetette (minden más általa ismert definícióval együtt). E kérdés egyelőre nem tekinthető lezártnak.[1]. Ez a definíció különben sem illik az olyan, kétségkívül és szigorú értelemben önhasonló, és széles körben fraktálisnak tartott görbékre, mint a tizenkilencedik század végén felfedezett Peano-görbe.

Egy másik út, a műszaki tudományokból és a matematikai rendszerelméletből eredő elgondoláscsoport, amely szerint a fraktálok fogalmát a kaotikus rendszerek fázistereinek ábrázolásakor kapott különös attraktoraiból vezetjük le, olyan fogalomhoz vezet, amely alá egyszerű megformulázhatóságuk ellenére végtelenül komplex és „divergens” viselkedésű ábrák is tartoznak, megfelelően a fraktálokról való elképzeléseknek; ámde ezek egy része csak valamiféle nehezen megfogható, vagy statisztikus értelemben önhasonló (különösen igaz ez a már matematikai leírásukból következően statisztikus jellegű rendszerekre, mint pl. egy Brown-mozgást végző részecske). A „fraktálszerű” fizikai/kémiai (sőt, kozmológiai) rendszerekre részlegesen (bizonyos léptékhatárokig) jellemző lehet az ún. skálafüggetlenség (amely lényegében a geometriai önhasonlóság fizikai analogonja), illetve a determinisztikusság ellenére véletlenszerűhöz hasonló (vagyis kaotikus) viselkedés, ugyanakkor a szakirodalom egyik tulajdonságot sem fogadta el egységesen, mint a „fraktális leíráshoz vezető rendszer” fogalmának általános definícióját.

Történeti áttekintés[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Az egyik elsőként felfedezett „szörnyeteg” fraktálalakzat, a Peano-görbe megszerkesztésének első három lépése.

Az első fraktálokat az 1800-as évek utolsó évtizedeiben fedezték fel, ám ekkoriban még nem nyertek önálló elnevezést, inkább kellemetlenségnek és vitaalapnak számítottak a matematikusok számára, minthogy divergens viselkedésük miatt az analízis akkori eszköztára számára kivételes, az intuíciónak ellentmondó eseteket, problémát és kihívást jelentettek. A fraktálszerű alakzatok elfajult eseteket jelentettek a geometriai intuíció számára: megdöntötték azt a tévhitet, hogy különféle topológiai vonatkozású problémák, például a térdimenzióké, a görbék simaságáé és folytonosságáé triviális, az analízis akkori eszközeivel (differenciál- és integrálszámítás) könnyen átláthatóak és lezárhatóak lennének. Az analízis és a fizikában való alkalmazásának első sikerei nyomán a tudományos világban is kialakult derűlátás után a negatív eredmények csalódást, sőt riadalmat keltettek. Néhány (vezető) matematikus, mint pl. H. Poincaré egyenesen odáig ment, hogy „siralmas fekélynek”, vagy „szörnyetegeknek” nevezze ezeket az új alakzatokat.[2]

Ezen vizsgálatok eredményeképp azonban továbbfejlődött az analízis tudománya (mértékelmélet, metrikus terek elmélete, absztrakt topológia), olyan, az eddig irreguláris (divergens, sehol sem differenciálható stb.) viselkedésűnek tekintett alakzatok vizsgálatát is lehetővé téve, amilyenek a többdimenziós differenciálgeometriában/differenciáltopológiában fellépő szingularitáselméleti jelenségek. Az 1910-es évek végén a komplex függvénytan / rendszerdinamika terén elért eredmény, a Julia- és Fatou-halmazok felfedezése és tanulmányozása, újabb fraktálokkal gazdagította a tudományt. Ezek jóval gazdagabb, változatosabb, kevésbé szabályos mértani struktúrák voltak, mint a halmazelmélészek által konstruált addigi példagörbék és példasíkidomok; azonkívül jóval természetesebbek is, minthogy egy ismeretlensége ellenére az alkalmazott matematikához jóval közelebb eső problémából származtak. Az elmélet nehézsége és mélysége azonban nem tette szükségszerűvé, hogy ez a felfedezés bekerüljön a populáris kultúrába.

A káoszelmélet kialakulása, amely a fraktálképekkel kölcsönhatásban bizonyos népszerűségre és közérdeklődésre tett szert; szélesebb körben világossá tette, hogy a hagyományos geometriai alakzatok nem elegendőek minden, a műszaki életből vett probléma leírása. Számos rendkívül érdekesen viselkedő rendszer (elsősorban a nemlineáris állapotleíró függvényekkel rendelkezőek) leírása önhasonló, vagy végtelenül komplex, fraktálszerű ábrákhoz vezet, olyanokhoz, amelyeket a múlt századi matematikusok még bosszantó kellemetlenségnek, esztétikátlan szabálytalanságnak tartottak. Ehhez nem szükségesek bonyolult formulák: már a legegyszerűbb másodfokú állapotleíró függvényekkel leírható rendszerekben is megjelenhet a kaotikus viselkedés.

A végső lökést a népszerűség irányába csak 1975-ben adta Benoît Mandelbrot amerikai matematikus, aki nemcsak mélyreható vizsgálatokat végzett a fraktálokkal kapcsolatban, de tudatos népszerűsítést is. A fraktál szót a latin fractus (vagyis törött; törés) szó alapján alkotta meg; ami az ilyen alakzatok tört értékű dimenziójára utal, bár nem minden fraktál törtdimenziós (ilyenek például a síkkitöltő görbék). Ő hívta fel a témáról írt értekezéseiben és könyveiben (pl. a Nagy-Britannia partvonalának hosszáról írtban, amelyben a fraktál szót még nem használta) arra is a figyelmet, hogy számos egyszerű, köznapi természeti alakzat viselkedik bizonyos mértékig fraktálként.

Mandelbrot egy új szót is alkotott, a „fraktálgeometriát”. A gyakori tévhittel ellentétben azonban ez nem önálló matematikai tudományág, hanem egy prototudománnyá is csak lassacskán fejlődő multidiszciplináris ismeretterület, ahová elméleti és alkalmazott ismereteket egyaránt sorolnak, maga Mandelbrot is inkább paradigmának és szemléletmódnak, semmint szaktudománynak tekintette. Megalkotóján kívül szakemberek (matematikusok és műszaki emberek) csak nagyon ritkán, és csak nagyon speciális kontextusban (pl. alapozó, bevezető kurzusok neveként) használják. A geometriának jelenleg nincs kifejezetten olyan ága, ami a fraktálok geometriájával foglalkozna, az ilyen tárgyú cikkek szétszórtan jelennek meg halmazelméleti, analitikus topológiai, rendszerdinamikai, műszaki, fizikai, népszerűsítő stb. folyóiratokban és kiadványokban. Tény azonban, hogy a tradicionális, euklideszi geometria és differenciálgeometria eszközei, mint pl. a hagyományos módon, határértékként definiált ívhossz, terület, és dimenzió nem alkalmasak a fraktálok jellemzőinek számszerűsítésére, mivel „végtelen nagy értékeket” adnak, azaz ezek a mérőmódszerek divergensek a fraktálokra alkalmazva, vagyis valóban szükség van új módszerek kifejlesztésére. Ez a folyamat napjainkban is tart.

Ismertebb fraktálok és fraktálcsaládok: Mandelbrot-halmaz, Julia-halmaz, Koch-görbe, Cantor-szőnyeg.

Fraktáldimenzió[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Részlet a Mandelbrot-halmaz széléről. Látszik a hasonlóság az egyik Julia-halmazzal.

A geometriában hagyományosan egy görbe egy-, egy felület két-, és egy térbeli test háromdimenziós. Az úgynevezett fraktálhalmazok esetén a dimenzió nem adható meg ilyen egyszerűen: ha közelítőleg kiszámítunk egy fraktális vonalat, akkor a kép egyre jobban kitölti a síkot, és az egydimenziós vonal egyre közelebb kerül ahhoz, hogy kétdimenzióssá váljon.

Mandelbrot a Hausdorff-dimenziót használva megállapította, hogy a legtöbb fraktálkép dimenziója nem egész. Az általánosított dimenziónak ezt a változatát fraktáldimenziónak is nevezzük.

Ennek alapján Mandelbrot a következő definíciót adta a fraktálokra:

„A fraktál olyan halmaz, aminek a Hausdorff-dimenziója nagyobb, mint a Lebesgue-dimenziója.”

Ahol a vonal Lebesgue-dimenziója egy, a felületé kettő, és így tovább. Ez alapján számítva a fraktálok hossza vagy felszíne végtelen. A Hausdorff-dimenziót szemléletesen az adja, hogy hány példányra van szükség az adott alakzatból ahhoz, hogy kirakjuk az alakzat egy nagyobb példányát. Ez csak szabályos fraktál esetén alkalmazható. Például a Sierpinski-háromszög, ami önmagának három felére kicsinyített példányából áll, így Hausdorff-dimenziója  \frac{\log 3}{\log 2}\approx 1,585, míg Lebesgue-dimenziója 1. Lehet definiálni törtdimenziós mértékeket is; ekkor a Hausdorff-dimenzió az a legkisebb α szám, amire az alakzat α mértéke véges.

Minden tört dimenziójú halmaz fraktál. A megfordítás nem igaz, egy fraktál dimenziója lehet egész: ilyen például a Peano-görbe.

Ha egy fraktál önmagának egy meghatározott számú kicsinyített példányaiból áll, és a kicsinyítés aránya mindig ugyanannyi, akkor a D fraktáldimenzió így számítható:

 D = \frac{\log(\mbox{Önhasonló részek száma})}
{\log(\mbox{Kicsinyítés aránya})}

Az önhasonlóság csak statisztikai értelemben is fennállhat. Ekkor véletlen fraktálokról van szó.

Absztraktabbul,

\dim X=\inf\{s\mid H^s(X)=0\}=\sup\{s\mid H^s(X)=\infty\}.

H^s_\varepsilon(X)=\inf\Big\{\sum_{i=1}^\infty d(A_i)^s\Big|X\subseteq\bigcup_{i=1}^\infty A_i;\; d(A_i)<\varepsilon\Big\}

Ahol is X jelöli a fraktáldimenziót.

A fraktális rendszereket (akár csak statisztikailag) az önhasonlóság és a hozzá tartozó, nem feltétlenül egész D dimenzió jellemzi.

Ilyen például a fraktális növekedés. Ennek egy példáját diffúzió hozza létre.

Példák[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Sierpinski-háromszög
Püthagorasz-fa
Newton-fraktál

A legegyszerűbb önhasonló objektumok a szakaszok, paralelogrammalemezek, tömör testként elképzelt kockák, mert oldalaikkal párhuzamosan önmaguk kisebb példányaira szeletelhetők. Mégsem fraktálok, mert Hausdorff-dimenziójuk egyenlő a Lebesgue-dimenziójukkal.

Az önhasonló fraktálokra példa a Sierpinski-háromszög, ami önmagának három felére kicsinyített példányából áll, így Hausdorff-dimenziója  \frac{\log 3}{\log 2}\approx 1,585, míg Lebesgue-dimenziója 1.

Az önhasonlóság lehet közelítő, vagy érvényesülhet statisztikailag is. Ezáltal a fraktálgeometria sikeresen alkalmazható természeti objektumokra, így fákra, felhőkre, partvonalakra. Ezek többé-kevésbé önhasonló struktúrájuk van, de ez a hasonlóság nem szigorú. Az euklideszi geometria alakzataival szemben a fraktálok részletei nem egyszerűbbek, mint az egész; ha kinagyítva tekintjük egy részét, akkor újabb és újabb részletek válnak láthatóvá.

Sok fraktál iteratív módszerekkel definiálható. Néhány lépés után már egyszerű szabályokkal is bonyolult minták kaphatók.

A pitagorasz-fa négyzetekből épül fel, amik úgy helyezkednek el, ahogy azt a Pitagorasz-tétel ábrázolásai mutatják.

Egy másik fraktál a Newton-fraktál, ami Newton-módszerrel számítható.

A Menger-szivacs egy háromdimenziós térbe ágyazott fraktál.

Az egyik leghíresebb és legtöbbet tanulmányozott fraktálalakzat kétségkívül a Mandelbrot-halmaz. Számítógépes ábrái az új ismeretterület gyakori jelképévé váltak. Érdekesség, hogy ez az ikonikus alakzat maga sem törtdimenziós, Hausdorff-dimenziója pontosan 2, ebben az értelemben tehát nem számít fraktálnak Mandelbrot definíciókísérletéhez ragaszkodva. (Határvonala, amely egy végtelen hosszú zárt görbe, viszont fraktál.)

Fraktálok generálása[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Sok eljárás eredményez fraktált, de ezek az eljárások egytől egyig rekurzívak. Ilyenek:

  • A függvényiteráció a legismertebb módszer. Így származtatják például a Mandelbrot-halmazt. Ennek egy típusa az iterált függvényrendszer (IFS), ahol több függvényt használnak véletlenszerűen. Így természetes alakzatokra hasonlító képek keletkeznek.
  • A dinamikai rendszerek szintén fraktált adnak, ezek a különös attraktorok.
  • Szökési idő fraktálok: egy adott formula vagy rekurzív reláció definiálja. Az ábrán az egyes pontok színét az adja, hogy hány lépés után kerülnek el egy bizonyos távolságra az újabb és újabb helyettesítések során. Erre a típusra példa a Mandelbrot-halmaz, a Julia-halmaz és a Ljapunov-fraktál.
  • Véletlen fraktálok: véletlenszerű folyamatokkal generálják őket. Ilyenek például a Brown-mozgás, a fraktális tájképek és a Brown-fa.

Az L-rendszer[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Kiinduláskor F jelöli a szakaszt. A további iterációkban az előző lépésben előállított vonalat jelenti. Lényegében F helyére újra és újra beillesztjük az utasítássorozatot. R és L jobbra, vagy balra való lépést jelez, és +, - mutatja a forgásszög előjelét, vagyis azt, hogy az óramutató járásával ellentétesen, vagy azzal megegyező irányban kell venni a szöget. A | jel 180 fokos fordulatot jelent. Ha a szög jele egymás után többször szerepel, akkor a szög megfelelő többszörösét kell venni. Az X és az Y jelek rekurzívan helyettesített szimbólumok.

Fraktál L-rendszer Szög Szakaszarány Ábra
Sárkánygörbe
F → R vagy F → L
R → +R—L+
L → -R++L- 
45^\circ 1:1/\sqrt{2}
Sárkánygörbe
Gosper-görbe
F → R vagy F → L
R → R+L++L-R—RR-L+
L → -R+LL++L+R—R-L
60^\circ 1:1/\sqrt{7}
Gosper-görbe
Hilbert-görbe
X
X → -YF+XFX+FY-
Y → +XF-YFY-FX+
90^\circ 1:1/2
Hilbert-görbe
Koch-görbe, hópehelygörbe
F—F—F
F → F+F—F+F
60^\circ 1:1/3
Hópehelygörbe
Peano-görbe
X
X → XFYFX+F+YFXFY-F-XFYFX
Y → YFXFY-F-XFYFX+F+YFXFY
90^\circ
Peano-görbe
Peano-görbe
F
F → F-F+F+F+F-F-F-F+F
90^\circ 1:1/3
Peano-görbe
Penta Plexity
F++F++F++F++F
F → F++F++F|F-F++F
36^\circ 1:1/\left(\frac{\sqrt{5}+1}{2}\right)^2
Penta Plexity
Sierpinski-háromszög
F → R vagy F → L
R → -L+R+L-
L → +R-L-R+
60^\circ 1:1/2
Sierpinski-háromszög
Sierpinski-háromszög
FXF—FF—FF
X → --FXF++FXF++FXF—F → FF
60^\circ
Sierpinski-háromszög
Háromszög
F—F—F
F → F—F—F—ff
f → ff
60^\circ 1:1/3
Sierpinski-háromszög
Sierpinski-szőnyeg
F
F → F+F-F-FF-F-F-fF
f → fff
90^\circ 1:1/3
Sierpinski-szőnyeg
Lévy-C-görbe
F
F → +F—F+
45^\circ 1:1/~1,45
C-görbe

Példaként tekintsük a sárkánygörbét:

F → R
R → +R—L+
L → -R++L- 

F egy két pont közötti szakasz. F → R azt jelenti, hogy az F szakasz helyére R-et helyettesítünk. Ez azért kell, hogy elindulhasson az L-et és R-et váltakozva helyettesítő eljárás, ami a következőképpen folytatódik:

R
+R—L+
+(+R—L+)--(-R++L-)+
+(+(+R—L+)--(-R++L-)+)--(-(+R—L+)++(-R++L-)-)+
.
.
.

Meghatározott számú helyettesítés után a sorozatot megszakítják, hogy felrajzolhassák az ábrát:

+(+(+r—l+)--(-r++l-)+)--(-(+r—l+)++(-r++l-)-)+

ahol r és l hossza előre meghatározott.

Fraktálok a természetben[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

A Koch-görbe első hét közelítő lépése. A végtelen sok lépés után kapott görbe végtelen hosszú
A Terragen tájképgenerátor által készített műholdkép-szimuláció. A „vizek” mintázatában felismerhető a Mandelbrot-halmaz egyik részlete

A fraktálelv a természetben is megjelenik. Sok természeti képződmény tekinthető közelítőleg fraktálnak, de a struktúra rendszerint nem tartalmaz három-öt lépcsőnél többet. Tipikus példa a karfiol és a brokkoli, bár ez elsőre nem látszik.

A természetben fellelhető fraktálok önhasonlósága nem szigorú; csak közelítő jelleggel, és statisztikusan érvényesül. Ilyenek a fák, az érrendszerek, a folyórendszerek vagy a partvonalak. Nem lehet pontosan megmérni a partvonalak hosszát: minél pontosabban mérik, annál hosszabb lesz. Az olyan matematikai fraktál, mint a Koch-görbe esetén ez a hossz végtelen lenne.

Alkalmazási lehetőségek[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

A matematikai és fizikai alkalmazások mellett a fraktálok számos részben vagy egészben megvalósult technológiai újítás alapjai lehetnek. Így például:

  • komputergrafika: A természetben előforduló legtöbb alakzat nem szögletes és szabályos geometriai idom, hanem bonyolult struktúra, amely legalábbis statisztikus tekintetben fraktálként viselkedik. A fraktálok ráadásul rendkívül memóriaigénytelen, meglepően rövid matematikai formulák alakjában tárolhatóak, és viszonylag egyszerű az előállításuk. Ez ideális alannyá teszi őket a komputergrafika számára. Például egy fraktális alapon működő tájképgeneráló program fraktálformulából állíthat elő egy tájképtípust, amely biztosítja, hogy kevés erőfeszítéssel egy szabályos (e tekintetben nem valószerű), de nagyon komplex (tehát valószerű) képet alkosson, majd a szabályosság csökkentésére a formulából előálló képelemeket (ál)véletlen zajjal keveri. Így olyan képeket lehet előállítani, amelyek valószerűség tekintetében megdöbbentően megtévesztőek lehetnek. Hasonló lehetőség a 3D-s rajzprogramok esetében, hogy a szerkesztett 3D-objektumokat statisztikus fraktálformulával készült textúrával „vonják be”, ezáltal a felületek elegendően „érdesek” és „zajosak” lesznek, valószerű hatást keltve.
  • digitális képfeldolgozás: folynak kísérletek képfelbontásnövelő szoftverek készítése irányába. Az ilyen szoftver élesíteni, nagyítani tud (illetve „próbál”) egy képet anélkül, hogy a kép felbontása alapján elegendő információ állna rendelkezésre ehhez a művelethez. Vagyis a nagyítás becslés (extrapoláció) alapján történik. Egyes szoftverek ezt úgy érik el, hogy a kép alapján egy matematikai formulát készítenek, mintha a kép egy IFS függvényrendszer fraktálképe lenne; majd extrapoláció gyanánt valójában iteratív fraktálkép-renderelést végeznek. [1]

Fraktálok a kultúrában[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

A fraktálok a nyolcvanas években bevonultak a matematikából a kultúrába is. Magyarországon ez egyfelől a Commodore 64, Sinclair Spectrum és más otthoni számítógépek terjedésének, másfelől a havonta megjelenő, magyar nyelvű Scientific Americannek volt köszönhető. E lap gyakran közölt képeket, kutatási eredményeket, rövid programokat és algoritmusokat, sőt egy különszáma kizárólag a káosszal és a fraktálokkal foglalkozott.

A fraktálok ismertségén és népszerűségén a kilencvenes évek elején nagyot lendített a PC-k elterjedése, illetve a tömegkultúrában való megjelenésük. Miután Steven Spielberg Jurassic Park című filmjében a pillangó-effektust megnevezték, szinte nem volt olyan, aki ne hallott volna róluk. Ekkoriban terjedtek el azok a szoftverek is, melyekkel egyszerűen (különösebb matematikai és informatikai ismeretek nélkül) bárki szinte tetszőleges fraktálképet generálhatott. Afféle szabadidős tevékenység (hobbi) lett ez, s bár a fraktálkép-készítők sokszor "művész"-ként definiálták magukat, ez vitatott ([2]).

A professzionális képzőművészetben Saxon-Szász János képein megjelenő Polidimenzionális mezők nemcsak a dimenzió- és lépésváltásokat idézik meg, de sokat mondanak el a világ teremtéséről és változásáról, azaz a természetről. Alkotásai a konstruktivista művészet körébe sorolhatók. A fraktálművészet digitális művészeti ágban Szlávics Alexa magyar festőművész a Püthagorasznak tulajdonított hangzókhoz tartozó számok és a számokhoz tartozó színek rendszere alapján egyedi fraktálmandalákat, valamint nemzetközileg elismert fraktálgrafikákat készít.

A fraktálok számos más művészeti ágra is hatással voltak, például a zenére, ékszerészetre.

Hivatkozások[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Lásd még[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Források[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

  1. ^ a b Szabó László Imre: Ismerkedés a fraktálok matematikájával. Polygon könyvtár, Szeged, 1997. 64. old.
  2. Vilenkin: A végtelen kutatása.
  • Herbert Voß: Chaos und Fraktale selbst programmieren, ISBN 3-7723-7003-9
  • Horst Halling / Rolf Möller: Mathematik fürs Auge - Eine Einführung in die Welt der Fraktale, Spektrum, ISBN 3-86025-427-8
  • Benoît B. Mandelbrot: Die fraktale Geometrie der Natur, Birkhäuser, ISBN 3-7643-2646-8
  • Heinz-Otto Peitgen, Peter H. Richter: The Beauty of Fractals. Images of Complex Dynamical Systems, Springer, ISBN 0-387-15851-0 bzw. ISBN 3-540-15851-0
  • Heinz-Otto Peitgen, Dietmar Saupe: The Science of Fractal Images, ISBN 0-387-96608-0
  • Kenneth Falconer: FRACTAL GEOMETRY. Mathematical Foundations and Applications, Wiley 1997

Külső hivatkozások[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Commons
A Wikimédia Commons tartalmaz Fraktál témájú médiaállományokat.

Általános[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Matematika, fizika[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Dokumentumfilmek:

Művészet[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Fraktálképgeneráló alkalmazások[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]