Menger-szivacs

A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából
Menger-szivacs négy iteráció után

A Menger-szivacs (néha Sierpiński-szivacs vagy Menger–Sierpiński-szivacs) egy fraktál, amelyet úgy kapunk, hogy egy kockát az élei harmadolásával 27 kisebb kockára osztunk, és elhagyjuk közülük azt a hetet, amelyik nem tartalmazza az eredeti kocka egyetlen élét sem, majd ezt az eljárást rekurzívan ismételjük a megmaradt kockákra. Nevét Karl Menger osztrák matematikusról kapta, aki a topológiai dimenzió tulajdonságainak vizsgálata közben fedezte fel.

Definíciója[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

A Menger-szivacs formálisan így definiálható:

M := \bigcap_{n\in\mathbb{N}} M_n

ahol M0 az egységkockát jelöli, és:

M_{n+1} := \left\{\begin{matrix}
(x,y,z)\in\mathbb{R}^3: &
\begin{matrix}\exists i,j,k\in\{0,1,2\}: (3x-i,3y-j,3z-k)\in M_n
\\ \mathrm{es }i,j,k\mbox{ kozul legfeljebb egy egyenlő 1-gyel}\end{matrix}
\end{matrix}\right\}

Tulajdonságai[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

A Menger-szivacs a Cantor-halmaz és a Sierpiński-szőnyeg térbeli megfelelője; a szivacs minden lapja Sierpiński-szőnyeg, és minden (lap- és test-) átlója Cantor-halmaz. A szivacs egy kompakt halmaz, Lebesgue-mértéke 0, topológiai dimenziója 1, Hausdorff-dimenziója \frac{\log{20}}{\log{3}} (kb. 2,727). Zárt halmazok metszeteként zárt, és mivel befoglalható a kiindulási kockába, ezért véges halmaz. Ezért a Heine–Borel-tétel miatt kompakt. Ezen kívül nem megszámlálható, és önhasonló struktúrája van.

Konstrukciója[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

A Menger-szivacs iterációjának első néhány állomása

A Menger-szivacs a Sierpiński-szőnyeghez hasonlóan konstruálható:

  1. Vegyünk egy kockát
  2. Osszuk fel minden oldalát 9 négyzetre; ezek 27 kis kockára osztják a kockát, Rubik-kocka módjára.
  3. Eltávolítjuk minden lap középső kockáját, és a nagy kocka középső kockáját.
  4. Megismételjük az első három lépést minden kis kockára.

Ezzel az eljárással a kocka egyre inkább kiürül. Végtelenszer megismételve a Menger-szivacs marad.

Általában, a Menger-szivacs n-edik iterációjában N_n=20^n kis kocka lesz. Másként, a Menger-szivacs felépíthető 20 olyan Menger-szivacsból, amiknek oldalhossza harmada a nagy Menger-szivacsénak. A kilyuggatott kocka oldalhossza az iteráció függvényében L_n=\left( \tfrac{1}{3}\right)^n. Innen az n-edik iterációban kapott kocka térfogata V_n=L_n^3 N_n = \left( \tfrac{20}{27}\right)^n. A kilyuggatás miatt a térfogat a V=1-\sum_{k=1}^\infty 20^{k-1} \cdot 7 \cdot \left(\dfrac{1}{3^k}\right)^3=0 térfogathoz konvergál, míg a felszín A_n= \tfrac{1}{9} \cdot \left(\tfrac{20}{9}\right)^{n-1} \left[40+80 \left(\tfrac{2}{5}\right)^n \right] n \to \infty-re a végtelenbe tart. A konvergencia gyors; a 16. lépésben az eredeti kocka térfogatának már csak az 1%-a marad.

Innen kiszámítható a Menger-szivacs Hausdorff-dimenziója:

 D = -\lim_{n \rightarrow \infty} \frac{\log(N_n)}{\log(L_n)} = \frac{\log(20)}{\log(3)} = 2{,}726833\ldots.

A Menger-szivacs, mint „test” dimenziója 3-nál kisebb, viszont határoló felszínének dimenziója nagyobb, mint 2. Másként, a Menger-szivacs átmenetnek tekinthető a kétdimenziós felület és a háromdimenziós kocka között.

Források[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

  • Karl Menger: Dimensionstheorie, B.G Teubner Publishers, Leipzig 1928.
  • Karl Menger: Über die Dimensionalität von Punktmengen (Erster Teil) im Jahr 1923 Monatshefte für Mathematik und Physik (Heft 33), Seiten 148–160.
  • Karl Menger: Über die Dimensionalität von Punktmengen (Zweiter Teil), im Jahr 1926, Monatshefte für Mathematik und Physik (Heft 34).
  • Benoît Mandelbrot: Die fraktale Geometrie der Natur. Birkhäuser Verlag Basel, Boston, Berlin 1991, ISBN 3-7643-2646-8.