Wiener-folyamat

A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából

A Wiener-folyamat egy időben folytonos sztochasztikus folyamat, melyet Norbert Wiener (1894 -1964), amerikai matematikusról neveztek el. Ezt a folyamatot Brown-mozgásnak is szokták hívni. Ez az egyik legismertebb Lévy-folyamat, és gyakran előfordul az alkalmazott matematikában, a közgazdaságban, a fizikában, és a pénzügyi folyamatoknál.

A Wiener-folyamat fontos szerepet játszik az elméleti és az alkalmazott matematikában. Az elméleti matematikában a Wiener-folyamat segíti az időben folytonos martingál kutatásokat. A Wiener-folyamat kulcsfontosságú folyamat, mely lehetővé teszi jóval bonyolultabb sztochasztikus folyamatok leírását. Alapvető szerepe van a sztochasztikus számításoknál, a diffúziós folyamat és a potenciál elméletnél.

Az alkalmazott matematikában a Wiener-folyamatot a Gauss-féle fehér zaj integráljának kifejezésére használják, és így ez egy hasznos modell az elektronikai műszaki tudományokban a zaj modellezésre, a szűrő (jelfeldolgozás) elméletben, és a szabályozáselméletben az ismeretlen erők analízisénél. A Schrödinger-egyenlet egy megoldása is kifejezhető a Wiener-folyamattal. A pénzügyi folyamatok matematikai elméletében is alkalmazzák, különösen a Black–Scholes-modellben.

A Wiener-folyamat jellemzői[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

A Wiener-folyamat Wt –t három tulajdonság jellemzi:[1]

  1.  W_t = 0 \,
  2. A  t \to W_t \, függvény mindenhol folytonos
  3.  W_t \, –nek független növekményei vannak, tehát minden  t \ge s \ge 0 \, esetén  W_t-W_s\sim N(0,t-s) \, .

N(μ, σ2) normális eloszlás μ várható értékkel, és σ2.szórásnégyzettel. A független növekmények azt jelentik, hogy ha 0 ≤ s1 < t1s2 < t2, akkor Wt1Ws1 és Wt2Ws2 független valószínűségi változók, és hasonló feltételek érvényesek n növekményre is. A Wiener-folyamat egy másik jellemzése az úgynevezett Lévy-féle leírás, mely azt mondja, hogy a Wiener-folyamat majdnem biztosan folytonos martingál W0 = 0 mellett, és a kvadratikus variáció [Wt, Wt] = t (mely azt jelenti, hogy Wt2t szintén martingál). Egy harmadik jellemzés szinusz sorokkal történik, ahol az együtthatók független valószínűségi változók. Ez a megközelítés a Karhunen–Loève tétel○3t használja fel.

Kapcsolódó folyamatok[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Brown-mozgás egy gömb felületén

Ez a sztochasztikus folyamat:

 X_t = \mu t + \sigma W_t \,

a Wiener-folyamat μ drifttel, és elenyésző σ2. szórásnégyzettel. Ez a folyamat megfelel a Lévy-folyamatnak. Egy speciális változat a Brown-híd, és a Brown-elhajlás.

A geometrikus Brown-mozgás:

 e^{[\beta t-(\alpha^2 t/2)+\alpha W_t]}.\,

Ez egy sztochasztikus folyamat, mely sohasem vesz fel negatív értéket, mint például a tőzsde értéke. Az alábbi sztochasztikus folyamat, a Ornstein–Uhlenbeck folyamat.

 { X_t = \mathrm{e}^{-t} W_{\mathrm{e}^{2t}} }

Az integrált Brown-mozgás[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

A Wiener-folyamat idő szerinti integrálja: W^{(-1)}(t) := \int_0^t W(s) ds Ezt integrált Brown-mozgásnak, vagy integrált Wiener-folyamatnak hívják. Az integrált Wiener-folyamat több alkalmazásnál is szerepel, mint normális eloszlás, zéró várható értékkel és t^3/3 szórásnégyzettel. A Wiener-folyamat kovarianciaja  t \wedge s .[2]

Irodalom[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

  • Durrett, R: Probability: theory and examples,4th edition. (hely nélkül): Cambridge University Press. 2000. ISBN 0521765390  

Kapcsolódó szócikkek[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

További információk[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Források[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

  1. Durrett 1996, Sect. 7.1
  2. Forum, "Variance of integrated Wiener process", 2009.