Wiener-folyamat

A Wiener-folyamat egy időben folytonos sztochasztikus folyamat, melyet Norbert Wiener (1894 -1964), amerikai matematikusról neveztek el. Ezt a folyamatot Brown-mozgásnak is szokták hívni. Ez az egyik legismertebb Lévy-folyamat, és gyakran előfordul az alkalmazott matematikában, a közgazdaságban, a fizikában, és a pénzügyi folyamatoknál.

A Wiener-folyamat fontos szerepet játszik az elméleti és az alkalmazott matematikában. Az elméleti matematikában a Wiener-folyamat segíti az időben folytonos martingál kutatásokat. A Wiener-folyamat kulcsfontosságú folyamat, mely lehetővé teszi jóval bonyolultabb sztochasztikus folyamatok leírását. Alapvető szerepe van a sztochasztikus számításoknál, a diffúziós folyamat és a potenciál elméletnél.

Az alkalmazott matematikában a Wiener-folyamatot a Gauss-féle fehér zaj integráljának kifejezésére használják, és így ez egy hasznos modell az elektronikai műszaki tudományokban a zaj modellezésre, a szűrő (jelfeldolgozás) elméletben, és a szabályozáselméletben az ismeretlen erők analízisénél. A Schrödinger-egyenlet egy megoldása is kifejezhető a Wiener-folyamattal. A pénzügyi folyamatok matematikai elméletében is alkalmazzák, különösen a Black–Scholes modellben.

A Wiener-folyamat jellemzői[szerkesztés]

A Wiener-folyamat W_t –t három tulajdonság jellemzi:^[1]

W₀ = 0
A függvény t → W_t mindenhol folytonos
W_t –nek független növekményei vannak W_t−W_s ~ N(0, t−s) (for 0 ≤ s < t).

N(μ, σ²) normális eloszlás μ várható értékkel, és σ².szórásnégyzettel. A független növekmények azt jelentik, hogy ha 0 ≤ s₁ < t₁ ≤ s₂ < t₂, akkor W_t₁−W_s₁ és W_t₂−W_s₂ független valószínűségi változók, és hasonló feltételek érvényesek n növekményre is. A Wiener-folyamat egy másik jellemzése az úgynevezett Lévy-féle leírás, mely azt mondja, hogy a Wiener-folyamat majdnem biztosan folytonos martingál W₀ = 0 mellett, és a kvadratikus variáció [W_t, W_t] = t (mely azt jelenti, hogy W_t²−t szintén martingál). Egy harmadik jellemzés szinusz sorokkal történik, ahol az együtthatók független valószínűségi változók. Ez a megközelítés a Karhunen–Loève tétel○3t használja fel.

Kapcsolódó folyamatok[szerkesztés]

Brown-mozgás egy gömb felületén

Ez a sztochasztikus folyamat:

$X_t = \mu t + \sigma W_t \,$

a Wiener-folyamat μ drifttel, és elenyésző σ². szórásnégyzettel. Ez a folyamat megfelel a Lévy-folyamatnak. Egy speciális változat a Brown-híd, és a Brown-elhajlás.

A geometrikus Brown-mozgás:

$e^{[\beta t-(\alpha^2 t/2)+\alpha W_t]}.\,$

Ez egy sztochasztikus folyamat, mely sohasem vesz fel negatív értéket, mint például a tőzsde értéke. Az alábbi sztochasztikus folyamat, a Ornstein–Uhlenbeck folyamat.

${ X_t = \mathrm{e}^{-t} W_{\mathrm{e}^{2t}} }$

Az integrált Brown-mozgás[szerkesztés]

A Wiener-folyamat idő szerinti integrálja: $W^{(-1)}(t) := \int_0^t W(s) ds$ Ezt intgerált Brown-mozgásnak, vagy integrált Wiener-folyamatnak hívják. Az integrált Wiener-folyamat több alkalmazásnál is szerepel, mint normális eloszlás, zéró várható értékkel és $t^3/3$ szórásnégyzettel. A Wiener-folyamat kovarianciaja $t \wedge s$ .^[2]