Minkowski-dimenzió

A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából

A Minkowski-dimenzió vagy Minkowski–Bouligand-dimenzió (ismert dobozdimenzió és kapacitásdimenzió néven is), egy eljárás halmazok, főleg fraktális halmazok dimenziójának kiszámítására. Hasonlít a jóval népszerűbb Hausdorff-dimenzióra, de annál könnyebben kezelhető módszert ad.

Általában bármilyen (X,d) metrikus térben lévő S halmaz dimenzióját ki lehet vele számolni, de legtöbbször Rn-beli halmazokra szorítkozunk.

Mint a neve is mutatja, egyszerű leszámlálással határozhatjuk meg a halmaz dimenzióját, a halmazt egyenlő méretű „kockákkal” lefedjük, és vizsgáljuk, hogyan változik a szükséges kockák mennyisége az élhossz függvényében. Ha ez a függvény konvergens, akkor a határértéke lesz a halmaz dimenziója.

Definíciója[szerkesztés]

Legyen halmaz és . Fedjük le S-t r élhosszúságú diszjunkt kockákkal, azaz keressük azt a legkisebb F halmazt, ami előáll r élhosszúságú diszjunkt kockák uniójaként és . Legyen e kockák száma Nr. Ha az élhosszt változtatjuk, akkor természetesen Nr is változik, azaz értelmezhető az Nr(S) sorozat. Ha ez a sorozat konvergens, akkor S Minkowski-dimenziója

A lefedő halmaz miatt az így definiált dimenziót külső dimenziónak is nevezik.

Ha a határérték nem létezik, akkor is értelmezhető a fedő és az S által lefedett két halmaz, ezek elemszámának limesz szuperiorja és limesz inferiorja lesz a halmaz külső és belső dimenziója.

Kockázás helyett lehetséges a sok esetben kényelmesebben kezelhető Rn-beli gömböket is használni. Ennek a hátránya, hogy nem diszjunkt halmazokkal tudjuk csak lefedni S-t, viszont az elv természetesen vihető át más halmazokra. Az értelmezés ugyanaz marad, csak itt nem a fedő gömbök számát kell érteni, hanem a legkevesebb fedő gömböt tartalmazó halmaz elemszámát.

Tulajdonságai[szerkesztés]

  • A „klasszikus” ponthalmazokra a hagyományos dimenzióval azonos értéket ad, azaz egy négyzet dimenziója kettő, a körvonalé 1, stb. Annyival erősebb a hagyományos dimenziófogalomnál, hogy a síkidomoktól eltérő ponthalmazok esetén is jól értelmezhető, az elvárthoz közeli értéket ad.
  • Egyenértékű azzal, hogy arányos a lefedő kockák élhosszának egy megfelelő hatványával:

Kiszámítása[szerkesztés]

Példaszámítás[szerkesztés]

A könnyű áttekinthetőség miatt legtöbbször síkidomokra szokás vonatkoztatni a Minkowski-dimenziót, így itt is ilyen példák szerepelnek főleg. Két példát mutatunk azonban testekre is.

Szakasz Minkowski-dimenziója[szerkesztés]

Vegyünk egy a hosszúságú szakaszt. Ezt le tudjuk fedni oldalhosszúságú négyzetekkel, ahol , méghozzá n darabbal. Így a lefedő négyzetek száma

,

amit a definícióba írva kapjuk, hogy

.

A határérték alatti összeg első tagjának értéke 0,[1] a kifejezés második tagja pedig triviálisan 1, így

, amit el is vártunk.

Körvonal Minkowski-dimenziója[szerkesztés]

A körvonal esetén egy kicsit más módszerhez folyamodunk, ami majd a véletlen fraktálok esetén lesz hasznos. Lényegében nem az sorozatot határozzuk meg, hanem ennek bizonyos r értékekre felvett értékét, majd ebből próbálunk következtetni a dimenzióra. Egyszerűbb esetekben könnyen fel tudjuk írni a megfelelő sorozatot, és így a határérték megállapítható. Ez a helyzet jelen esetben is.

Ha a kört egy négyzettel lefedjük, majd a négyzet oldalain n egyenletesen elhelyezkedő osztópontot veszünk fel, akkor könnyen leszámolhatjuk, hogy a körvonal hány négyzetet metsz.[2] Így a következő sorozatot kapjuk:

Osztópontok száma
()
Lefedett négyzetek
()
1 4
2 8
3 12
4 16
5 20

Láthatóan a sorozat az alakot ölti. Innen a dimenzió már könnyedén meghatározható:

,

ahogy az elvárásunk is volt.

Sierpiński-szőnyeg dimenziója[szerkesztés]

Sierpiński-szőnyeg

A Sierpiński-szőnyeg egy kellemesen egyszerű fraktál a Minkowski-dimenzió számítására. A következő iteráció segítségével lehet létrehozni egy négyzetből:

  1. A négyzetet oszd fel kilenc egyenlő részre az oldalak harmadolópontjainál
  2. A középső négyzetet vágd ki
  3. Ismételd a megmaradó négyzetekkel

Mivel a Minkowski-dimenzió a lefedésekkel jellemezhető, a fenti iteráció egyben kiszámítási módot is ad. A négyzetek élhossza ugyanis n iterációs lépés után , a lefedő négyzetek száma pedig . Ezeket a definícióba helyettesítve kapjuk:

[3]

Henger dimenziója[szerkesztés]

Fedjük le a hengert egy négyzetes oszloppal. Ha ennek alapéleit s részre osztjuk, akkor az alaplapot s2 kocka fedi le. A henger alapját ekkor kocka fedi le. A hengert több réteg kockával tudjuk lefedni, a rétegek számát a henger sugarának és magasságának aránya adja meg: . A hengert tartalmazó kockák száma tehát

.

A Minkowski-dimenzió a kifejezés s alapú logaritmusának határértéke, ha .

Véletlen fraktálok[szerkesztés]

A véletlen fraktálok esetén reményünk sincsen analitikus alakban felírni a ponthalmaz függvényét, ezért az egyetlen módszer az marad, hogy a fedő téglát n részre osztva felvesszük az N(n) függvényt, és annak viselkedéséből következtetünk a dimenzióra. Ilyen módon ugyanis kaphatunk egy közelítő sorozatot, aminek konvergenciája esetén a határérték lesz a fraktál dimenziója:

,

ami éppen a definíciós képlet, mivel n a tégla élhosszának reciproka. Példaként nézzük Nagy-Britannia dimenzióját!

Nagy-Britannia térképének felosztása dobozokra
Nagy-Britannia térképének felosztása dobozokra

Az ábrát megvizsgálva azt látjuk, hogy 28 téglából 23 fedi a szigetet, egyet pedig a sziget fed. Felezve a téglákat 112 téglából 69 fedi, 16-ot pedig fed a térkép. Egy újabb felezés után 448 téglából 227 fed és 96 fedett. A számítás ez alapján:

Közelítő Minkowski-dimenzió
n N logN / logn N' logN' / logn
28 23 0,940 966 920 4 1 0
112 69 0,897 341 849 6 16 0,587 599 742 6
448 227 0,888 637 798 4 96 0,747 666 303 8

Ez alapján a dimenzió kb. 0,818 152 051 1.[4]

Természetesen ez az eljárás nem véletlen fraktálok esetén is alkalmazható.

Jegyzetek[szerkesztés]

  1. Ez három egyszerű állítás következménye:
    • esetén
  2. Az világos, hogy ekkor a négyzetek oldalhossza: , amit átrendezve már behelyettesíthetünk a definíciós kifejezésbe.
  3. Megjegyzendő, hogy a szőnyeg Hausdorff-dimenziója is pontosan ugyanennyi.
  4. Az alsó és a felső érték számtani közepe

Források[szerkesztés]

Fordítás[szerkesztés]

  • Ez a szócikk részben vagy egészben a Box-counting dimension című angol Wikipédia-szócikk fordításán alapul. Az eredeti cikk szerkesztőit annak laptörténete sorolja fel. Ez a jelzés csupán a megfogalmazás eredetét és a szerzői jogokat jelzi, nem szolgál a cikkben szereplő információk forrásmegjelöléseként.