Konvergencia (matematika)

A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából
Monoton növekvő, felülről korlátos számsorozat, egy jellegzetes konvergens sorozat (10-(10/n))

A konvergencia a matematikai analízis régi, központi fogalma. Maga a szó latin elemekből épül fel: com- 'együtt' + vergere 'hajlít', tulajdonképpeni jelentése összehajlás, összetartás.

Elemek egy (an) sorozatának konvergenciáján lényegében azt értjük, hogy a sorozat tagjai egyre közelebb kerülnek egy értékhez, oly mértékben, hogy úgy tekinthetjük mintha az n\to \infty határesetben végtelen kis távolságra megközelítenék azt. A matematikai analízis egyik legfontosabb feladata, hogy a „végtelen közeli” kifejezésnek pontos és konzisztens értelmet adjon és ezzel a határérték fogalmát matematikai eszközökkel megragadhatóvá, kezelhetővé tegye.

Attól függően, hogy milyen matematikai objektumok sorozata esetén beszélünk konvergenciáról, kissé eltér egymástól a

  • számsorozat,
  • normált térbeli vektorsorozat,
  • metrikus térbeli pontsorozat
  • topologikus pontsorozat, illetve a
  • függvénysorozat

konvergenciájának definíciója.

Általános intuitív definíció: az (an) sorozat konvergens és az A elemhez konvergál, ha az A elem akármilyen kicsi környezetét is vesszük, egy N(ε) küszöbindextől elkezdve a sorozat minden eleme benne van ebben a kicsi környezetben.

Számsorozat konvergenciája[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

K rendezett test

a_n \in K, n \in \mathbb{N} mely szerint a \ tehát K \ elemeiből alkotott sorozat

ha a következő teljesül:

\exist {\alpha \in K } \ \forall {\epsilon > 0} \ \exist n_0 \in \mathbb{N} \ \forall n \in \mathbb{N} :( n > n_0 \Rightarrow \mid a_n - \alpha \mid < \epsilon)

akkor a sorozat konvergens, határértéke \alpha \ tehát:

 \lim_{n \to \infty} a_n = \alpha

Valós számsorozatok konvergenciája[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

A (xn) valós számsorozat konvergens, ha létezik olyan x valós szám, hogy minden {\epsilon > 0} (valós) számhoz található olyan n_0 \in \mathbb{N} küszöbszám, hogy ha n > n_0, akkor  |x_n - x|{< \epsilon}. Ekkor ezt az x értéket a sorozat határértékének hívjuk.

Valós szám-n-esek sorozatának konvergenciája[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

A valós pontsorozatok konvergenciájának definíciója a valós számsorozatok definíciójához hasonló.

Az (xn) valós pontsorozat konvergens, ha létezik olyan x pont, hogy minden {\epsilon > 0} (valós) számhoz található olyan n_0 \in \mathbb{N} küszöbszám, hogy ha n > n_0, akkor  |x_n - x|{< \epsilon}, ahol a kivonás koordinátánként értendő. Ekkor ez az x pont a sorozat határértéke.

A valós pontsorozat pontosan akkor konvergens, ha egyes koordinátáinak sorozata konvergens, mint valós számsorozat.

Komplex számsorozatok konvergenciája[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

A (zn) komplex számsorozat konvergens, ha létezik olyan z komplex szám, hogy minden {\epsilon > 0} (valós) számhoz található olyan n_0 \in \mathbb{N} küszöbszám, hogy ha n > n_0, akkor  |z_n - z|{< \epsilon}. Ekkor ezt a z értéket a sorozat határértékének hívjuk. Egy komplex számsorozat konvergens pontosan akkor, ha az elemek valós, illetve képzetes részéből vett valós számsorozat külön-külön konvergens.

Konvergencia metrikus téren[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Legyen (X, d) egy metrikus tér. Az x_n \in X sorozat konvergens, ha létezik olyan x \in X elem, hogy minden {\epsilon > 0} számhoz található olyan n_0 \in \mathbb{N} küszöbszám, hogy ha n > n_0, akkor  d(x_n,\ x){< \epsilon}.

Konvergencia topologikus téren[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Topologikus téren a konvergencia a metrikus térhez hasonlóan definiálható; metrika hiányában azonban környezetekre kell hagyatkoznunk.

Legyen (X, Ω) egy topologikus tér. Az x_n \in X sorozat konvergens, ha létezik olyan x \in X pont, hogy x minden B környezetéhez található olyan n_0 \in \mathbb{N} küszöbszám, hogy ha n > n_0, akkor x_n \in B.

Ahol is az x pont környezetei azok a B halmazok, amikre B \in \Omega, és x \in B.

Példák[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

{ n \in \mathbb{N} },{ a_n \in \mathbb{R} }

a_n = {1 \over n}

ennek a sorozatnak a határértéke 0.

a_n = {n \over n+1}

ennek a sorozatnak a határértéke 1.

a_n = \left({n+1 \over n}\right)^n

ennek a sorozatnak a határértéke e (Euler-féle szám) (Euler után, közelítőleg 2,71828).

Megjegyzések, tételek[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Konvergens sorozatok összege, szorzata, skalárszorosa, hányadosa is konvergens, és a határérték megegyezik a határértékek összegével, szorzatával, skalárszorosával, hányadosával. (Hányadosnál természetesen nem kerülhet a nevezőbe 0, azaz a nevezőbeli sorozat egy eleme sem lehet 0, és nem is tarthat 0-hoz, hogy értelmes legyen.)

Ha egy sorozat nem konvergens, akkor divergensnek nevezzük.

Ha a definíció alapján szeretnénk belátni, hogy egy sorozat konvergens, meg kell sejtenünk a határértékét. Ha ez nem lehetséges, akkor használhatjuk a Cauchy-sorozat definícióját, ami a valós számokon ekvivalens a konvergenciával (teljesség) . A konvergencia azonban különböző kritériumok segítségével is belátható. A legtöbb kritérium elégséges, de nem szükséges, vagyis lehet, hogy egy kritériummal nem látható be a konvergencia, de egy másikkal igen.

Ha egy sorozat korlátos és monoton, akkor konvergens.

Lásd még[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Konvergencia-kritériumok (matematika)

Forrás[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

  • Császár Ákos: Valós analízis