Középpontos hasonlóság

A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából

A középpontos hasonlóság egy középponttal és egy arányszámmal megadható hasonlósági transzformáció. Az arányszám nem nulla, és lambdával jelölik. A középpontos hasonlóság a távolságokat |λ|-szeresükre növeli.

Egy P pont képe a középpontos hasonlóságban a pontot az O középponttal összekötő egyenesen, a középponttól |λ|PO távolságra fekszik; ha λ pozitív, akkor P irányában, ha λ negatív, akkor az ellenkező irányban. A középpontos hasonlóság kicsinyítés, ha |λ|<1, és nagyítás, ha |λ|>1.

Tulajdonságai[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

  • Ha λ=1, akkor identitás, ha λ=-1, akkor középpontos tükrözés
  • Irányítástartó
  • Kifejezhető egy középpontos tükrözés, és egy -λ arányú középpontos hasonlóság szorzataként
  • Szögtartó
  • Ha nagyítás, vagy kicsinyítés, akkor csak a középpontja fixpont
  • Csak a középponton átmenő egyenesek, síkok, alterek fixek
  • Az egyenesek, síkok, alterek párhuzamosak a képükkel
  • A szakaszok egymáshoz viszonyított arányát megtartja

Algebra[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Az adott középpontú középpontos hasonlóságok csoportot alkotnak. Egységelem: az identitás; a λ arányú középpontos hasonlóság inverze az 1/λ arányú középpontos hasonlóság.

Az origó középpontú középpontos hasonlósághoz tartozó mátrix

a síkban:

 \mathrm{Id}_2 = \begin{bmatrix}  \lambda & 0  \\
0 & \lambda \end{bmatrix}.

a térben:

 \mathrm{Id}_3 = \begin{bmatrix}  \lambda & 0 & 0 \\
0 & \lambda & 0 \\ 0 & 0 & \lambda \end{bmatrix}.

Magasabb dimenziós terekben is λ-k állnak a főátlón, a többi helyen nulla.

Források[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]