Gauss-egész

A Gauss-egészek az a+bi alakú komplex számok, ahol a és b egészek (tehát a komplex számsík rácspontjai). Körükben a közönséges egészekhez hasonló számelmélet építhető ki.

Műveletek

A Gauss-egészek összeadása egyszerűen koordinátánként történik: (a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i. A szorzásnál felhasználjuk az $i^2=-1$ egyenlőséget: $(a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(bc+ad)i$. E műveletek nem vezetnek ki a Gauss-egészek köréből, sőt az is könnyen látható, hogy ezek ${\mathbf Z}[i]$-vel jelölt gyűrűt alkotnak. E gyűrű nullosztómentes, hányadosteste ${\mathbf Q}(i)=\{a+bi:a,b\in{\mathbf Q}\}$. A Gauss-egészek e test algebrai egész elemei.

Norma

Egy a+bi Gauss-egész normája a nemnegatív egész

$N(a+bi)=(a+bi)(a-bi)=a^2+b^2.$

N(x)=0 csak x=0-ra teljesül, továbbá a norma multiplikatív: N(xy)=N(x)N(y). Ennélfogva, ha x osztja y-t, akkor N(x) is osztója N(y)-nak.

Egységek, asszociáltak, prímelemek

Négy Gauss-egész normája egy: 1,-1,i,-i. Ezek az egységek, tehát azok a Gauss-egészek, amelyek minden Gauss-egész osztói. Ha két Gauss-egész egymást kölcsönösen osztja, akkor egység szorzóban térnek el, ezeket egymás asszociáltjainak nevezzük. 1+i Gauss-prím és 2 prímfelbontása $2=-i(1+i)^2$. Minden $p\equiv 3 \pmod{4}$ ${\mathbf Z}$-beli prímszám ${\mathbf Z}[i]$-ben is prím. Ha viszont $p\equiv 1 \pmod{4}$ prímszám, akkor p felbomlik, mint $p=(a+bi)(a-bi)$, ahol $a^2+b^2=p$ (ilyen felbontás a két-négyzetszám-tétel szerint mindig létezik) és az $a+bi$, $a-bi$ Gauss-prímek nem asszociáltak. Ezzel megkaptuk valamennyi Gauss-prímet.

A Gauss-egészek körében ugyanúgy, mint az egész számok között, értelmezhető a kongruencia-reláció: $x\equiv y \pmod{z}$ akkor teljesül, ha x-y osztható z-vel. Ekkor, ha $\pi$ prímelem, akkor a mod $\pi$ maradékosztályok száma $N(\pi)$.

Egyértelmű prímfaktorizáció

A Gauss-egészek körében igaz a maradékos osztás tétele, így ${\mathbf Z}[i]$ euklideszi gyűrű: ha $a,b\in{\mathbf Z}[i]$, $b\neq 0$ akkor létezik $q$ és $r$, hogy $a=bq+r$ és $N(r)<N(b)$. Innen adódik, hogy ${\mathbf Z}[i]$-ben igaz a számelmélet alaptétele is: a felbonthatatlan elemek (azon $\pi$ nemnulla, nemegység elemek, amelyekre igaz, hogy $\pi=xy$ esetén x vagy y asszociáltja $\pi$-nek) azonosak a prímelemekkel, azaz Gauss-prímekkel (azon $\pi$ nemnulla, nemegység elemek, amelyekre igaz, hogy $\pi\mid xy$ esetén $\pi\mid x$ vagy $\pi\mid y$ teljesül) és minden 0-tól és egységtől különböző x felírható $x=\pi_1\cdots\pi_r$ alakban, ahol $\pi_1,\dots,\pi_r$ prímelemek, továbbá, ha $x=\rho_1\cdots\rho_s$ egy másik felírás, akkor $s=r$ és a tényezők úgy indexezhetők, hogy j=1,…,r-re $\rho_j$ asszociáltja $\pi_j$-nek.

Lásd még

• algebrai számelmélet
• Eisenstein-egész