Gauss-egész

A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából

A Gauss-egészek az a+bi alakú komplex számok, ahol a és b egészek (tehát a komplex számsík rácspontjai). Körükben a közönséges egészekhez hasonló számelmélet építhető ki.

Műveletek[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

A Gauss-egészek összeadása egyszerűen koordinátánként történik: (a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i. A szorzásnál felhasználjuk az i^2=-1 egyenlőséget: (a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(bc+ad)i. E műveletek nem vezetnek ki a Gauss-egészek köréből, sőt az is könnyen látható, hogy ezek {\mathbf Z}[i]-vel jelölt gyűrűt alkotnak. E gyűrű nullosztómentes, hányadosteste {\mathbf Q}(i)=\{a+bi:a,b\in{\mathbf Q}\}. A Gauss-egészek e test algebrai egész elemei.

Norma[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Egy a+bi Gauss-egész normája a nemnegatív egész

N(a+bi)=(a+bi)(a-bi)=a^2+b^2.

N(x)=0 csak x=0-ra teljesül, továbbá a norma multiplikatív: N(xy)=N(x)N(y). Ennélfogva, ha x osztja y-t, akkor N(x) is osztója N(y)-nak.

Egységek, asszociáltak, prímelemek[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Négy Gauss-egész normája egy: 1,-1,i,-i. Ezek az egységek, tehát azok a Gauss-egészek, amelyek minden Gauss-egész osztói. Ha két Gauss-egész egymást kölcsönösen osztja, akkor egység szorzóban térnek el, ezeket egymás asszociáltjainak nevezzük. 1+i Gauss-prím és 2 prímfelbontása 2=-i(1+i)^2. Minden p\equiv 3 \pmod{4} {\mathbf Z}-beli prímszám {\mathbf Z}[i]-ben is prím. Ha viszont p\equiv 1 \pmod{4} prímszám, akkor p felbomlik, mint p=(a+bi)(a-bi), ahol a^2+b^2=p (ilyen felbontás a két-négyzetszám-tétel szerint mindig létezik) és az a+bi, a-bi Gauss-prímek nem asszociáltak. Ezzel megkaptuk valamennyi Gauss-prímet.

A Gauss-egészek körében ugyanúgy, mint az egész számok között, értelmezhető a kongruencia-reláció: x\equiv y \pmod{z} akkor teljesül, ha x-y osztható z-vel. Ekkor ha \pi prímelem, akkor a mod \pi maradékosztályok száma N(\pi).

Egyértelmű prímfaktorizáció[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

A Gauss-egészek körében igaz a maradékos osztás tétele, így {\mathbf Z}[i] euklideszi gyűrű: ha a,b\in{\mathbf Z}[i], b\neq 0, akkor létezik q és r, hogy a=bq+r és N(r)<N(b). Innen adódik, hogy {\mathbf Z}[i]-ben igaz a számelmélet alaptétele is: a felbonthatatlan elemek (azon \pi nemnulla, nemegység elemek, amelyekre igaz, hogy \pi=xy esetén x vagy y asszociáltja \pi-nek) azonosak a prímelemekkel, azaz Gauss-prímekkel (azon \pi nemnulla, nemegység elemek, amelyekre igaz, hogy \pi\mid xy esetén \pi\mid x vagy \pi\mid y teljesül) és minden 0-tól és egységtől különböző x felírható x=\pi_1\cdots\pi_r alakban, ahol \pi_1,\dots,\pi_r prímelemek, továbbá, ha x=\rho_1\cdots\rho_s egy másik felírás, akkor s=r és a tényezők úgy indexezhetők, hogy j=1,…,r-re \rho_j asszociáltja \pi_j-nek.

Lásd még[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]