Algebrai egész szám

Algebrai egész számnak, vagy röviden algebrai egésznek nevezzük az olyan komplex számot, amely gyöke egy egész együtthatós, 1 főegyütthatójú polinomnak. Az algebrai egészek gyűrűt alkotnak, és minden algebrai egész egyben algebrai szám is.

Példák

Algebrai egész minden egész szám. Ha ugyanis $n\in \Bbb Z$ akkor gyöke az $x-n$ 1 főegyütthatójú polinomnak.

Algebrai egészek az n-edik egységgyökök, mert gyökei az $x^n-1$ polinomnak.

Algebrai egészek az Eisenstein-egészek és a Gauss-egészek is.

Algebrai egész az aranymetszés $\Phi =\frac{1+\sqrt{5}}{2}$ arányszáma, mert kielégíti a $\Phi^2 - \Phi - 1$ polinomot.

Ellenpéldák

Nem algebrai egész a $\pi$, hiszen transzcendens szám.

Nem algebrai egész az $1 \over 2$. Tegyük fel ugyanis indirekt módon, hogy az $1 \over 2$ gyöke az $x^n+a_1x^{n-1}+a_2x^{n-2}+\dots +a_n$ egész együtthatós polinomnak. Akkor

${1 \over {2^n}} + {a_1 \over {2^{n-1}}} + {a_2 \over {2^{n-2}}} + \dots + a_n = 0$

és így

$1 + 2a_1 + 2^2 a_2 + \dots + 2^n a_n = 0,$

ami lehetetlen, mert a bal oldal páratlan, a jobb oldal pedig páros.

Alapvető tények

Ha $\alpha$ algebrai egész, akkor $\beta = \sqrt[n]{\alpha}$ szintén algebrai egész. Ha ugyanis $\alpha$ kielégíti a $p(x)$ 1 főegyütthatójú egész együtthatós polinomot, akkor $\beta$ kielégíti a $p(x^n)$ 1 főegyütthatójú egész együtthatós polinomot.

Egy algebrai egész csak akkor racionális, ha egész szám. Ez hasonlóan látható be, mint a fenti állítás az $1 \over 2$-re vonatkozóan.

Az előző két állításból következik az is, hogy $\sqrt[k]{n} \, (k,n \in \Bbb N)$ akkor és csak akkor racionális, ha $n$ egy természetes szám $k$-adik hatványa. Speciálisan $\sqrt{2}$ nem racionális.

Algebrai egészek ellentettje, összege és szorzata ismét algebrai egész, így az algebrai egészek gyűrűt alkotnak. Algebrai egészek hányadosa viszont nem feltétlenül algebrai egész. Például az 1 és a 2 algebrai egészek, de az $1 \over 2$ nem az.

Források

Pelikán József: Algebra (PDF/Postscript). összeállította Gröller Ákos. ELTE TTK