Algebrai egész szám

A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából

Algebrai egész számnak, vagy röviden algebrai egésznek nevezzük az olyan komplex számot, amely gyöke egy egész együtthatós, 1 főegyütthatójú polinomnak. Az algebrai egészek gyűrűt alkotnak, és minden algebrai egész egyben algebrai szám is.

Példák[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Algebrai egész minden egész szám. Ha ugyanis n\in \Bbb Z akkor gyöke az x-n 1 főegyütthatójú polinomnak.

Algebrai egészek az n-edik egységgyökök, mert gyökei az x^n-1 polinomnak.

Algebrai egészek az Eisenstein-egészek és a Gauss-egészek is.

Algebrai egész az aranymetszés  \Phi =\frac{1+\sqrt{5}}{2} arányszáma, mert kielégíti a  \Phi^2 - \Phi - 1 polinomot.

Ellenpéldák[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Nem algebrai egész a \pi, hiszen transzcendens szám.

Nem algebrai egész az 1 \over 2. Tegyük fel ugyanis indirekt módon, hogy az 1 \over 2 gyöke az x^n+a_1x^{n-1}+a_2x^{n-2}+\dots +a_n egész együtthatós polinomnak. Akkor

{1 \over {2^n}} + {a_1 \over {2^{n-1}}} + {a_2 \over {2^{n-2}}} + \dots + a_n = 0

és így

1 + 2a_1 + 2^2 a_2 + \dots + 2^n a_n = 0,

ami lehetetlen, mert a bal oldal páratlan, a jobb oldal pedig páros.

Alapvető tények[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Ha \alpha algebrai egész, akkor \beta = \sqrt[n]{\alpha} szintén algebrai egész. Ha ugyanis \alpha kielégíti a p(x) 1 főegyütthatójú egész együtthatós polinomot, akkor \beta kielégíti a p(x^n) 1 főegyütthatójú egész együtthatós polinomot.

Egy algebrai egész csak akkor racionális, ha egész szám. Ez hasonlóan látható be, mint a fenti állítás az 1 \over 2-re vonatkozóan.

Az előző két állításból következik az is, hogy \sqrt[k]{n} \, (k,n \in \Bbb N) akkor és csak akkor racionális, ha n egy természetes szám k-adik hatványa. Speciálisan \sqrt{2} nem racionális.

Algebrai egészek ellentettje, összege és szorzata ismét algebrai egész, így az algebrai egészek gyűrűt alkotnak. Algebrai egészek hányadosa viszont nem feltétlenül algebrai egész. Például az 1 és a 2 algebrai egészek, de az 1 \over 2 nem az.

Források[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Pelikán József: Algebra (PDF/Postscript). összeállította Gröller Ákos. ELTE TTK