Hányadostest

A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából

Az absztrakt algebrában hányadostestnek nevezzük az olyan testet, amelyet egy integritási tartomány elemeiből alkotott rendezett párokból képezünk, hasonlóan ahhoz, ahogy a racionális számok testét az egész számok integritási tartományából származtatjuk.

Motiváció[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

A racionális számok teste kézenfekvő módon származtatható az egész számok integritási tartományából a következő eljárással:

  1. A racionális számokból rendezett párokat formálunk, kikötve, hogy e rendezett párok második eleme nem lehet 0. (Ezek megfelelnek a szokásos törtszámoknak.)
  2. Ezután a rendezett párok közül ekvivalensnek nevezzük azokat, amelyek (mint törtszámok) ugyanarra az alakra egyszerűsíthetők. Például a (6,42) ekvivalens az (5,35)-tel, mert a \frac{6}{42} és a \frac{5}{35} egyaránt \frac{1}{7}-re egyszerűsödik.
  3. A keletkező ekvivalenciaosztályokon értelmezzük az összeadást és a szorzást úgy, hogy a műveleteket az ekvivalenciaosztályokat reprezentáló elemeken hajtjuk végre (például az (1,2)-t tartalmazó ekvivalenciosztály és a (3,4)-et tartalmazó ekvivalenciaosztály összege az (5,4)-et tartalmazó ekvivalenciaosztály, szorzata pedig a (3,8)-at tartalmazó ekvivalenciaosztály.
  4. Konstatáljuk, hogy ezek a műveletek jól definiáltak, konzisztens kiterjesztései az egész számokon definiált szorzásnak és összeadásnak, és az így keletkezett struktúra test.

A hányadostest konstrukciója ennek az eljárásnak az általánosítása tetszőleges integritási tartományra.

A hányadostest konstrukciója[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Legyen \Bbb I egy integritási tartomány és jelölje \Bbb T^* az \Bbb I elemeiből alkotott (a,b) rendezett párok halmazát, ahol kikötjük, hogy b\neq 0. \Bbb T^* elemein definiálunk egy ~ ekvivalenciarelációt: azt mondjuk, hogy (a,b)~(c,d) akkor és csak akkor, ha ad=bc (az \Bbb I-ben értelmezett szorzással). Az ekvivalenciaosztályok halmazát \Bbb T-vel, az (a,b)-t tartalmazó ekvivalenciaosztályt a\over b-vel jelöljük.

A konstrukció végső lépését az az észrevétel adja, hogy \Bbb T elemei testet alkotnak az alábbi műveletekkel:

  1. Tetszőleges {a\over b}, {c \over d} \in \mathbb T-re {a\over b} * {c \over d} = \frac{ab}{cd}. Az így definiált szorzás egységeleme az 1\over 1 ekvivalenciaosztály.
  2. Tetszőleges {a\over b}, {c \over d} \in \Bbb T-re {a\over b} + {c \over d} = \frac{ad+bc}{bd}. Az így definiált összeadás nulleleme a 0\over 1 ekvivalenciaosztály.
  3. Tetszőleges {a\over b} \in \Bbb T additív inverze \frac{-a}{b}.
  4. Ha a\neq 0, {a\over b} \in \Bbb T multiplikatív inverze \frac{b}{a}.

Az így konstruált \Bbb T testet \Bbb I hányadostestének nevezzük.

Tulajdonságai[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

\Bbb T tartalmazza \Bbb I izomorf képét (a\leftrightarrow {a\over 1} természetes megfeleltetést ad a\in\Bbb I és {a\over 1} \in\Bbb T) között. \Bbb T a legszűkebb olyan test, amelybe a\in\Bbb I beágyazható.

\Bbb I (az izomorfizmus erjéig) egyértelműen meghatározza \Bbb T-t. Ennek megfordítása általában nem igaz: egy test előállhat több különböző integritási tartomány hányadostesteként is. Speciálisan minden test hányadosteste saját magának (mint integritástartománynak).

\Bbb I és \Bbb T karakterisztikája megegyezik. Ha \Bbb I végtelen, akkor \Bbb I és \Bbb T számossága is megegyezik.

Példák[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

  • Amint feljebb láttuk, ha \Bbb I = \Bbb Z, akkor \Bbb T = \Bbb Q.
  • Egy test feletti polinomgyűrű hányadosteste a racionális törtkifejezések teste.

Forrás[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

van der Waerden: Algebra, 2 Bde., Springer, 9.Auflage 1993