Hányadostest

Az absztrakt algebrában hányadostestnek nevezzük az olyan testet, amelyet egy integritási tartomány elemeiből alkotott rendezett párokból képezünk, hasonlóan ahhoz, ahogy a racionális számok testét az egész számok integritási tartományából származtatjuk.

Motiváció

A racionális számok teste kézenfekvő módon származtatható az egész számok integritási tartományából a következő eljárással:

1. A racionális számokból rendezett párokat formálunk, kikötve, hogy e rendezett párok második eleme nem lehet 0. (Ezek megfelelnek a szokásos törtszámoknak.)
2. Ezután a rendezett párok közül ekvivalensnek nevezzük azokat, amelyek (mint törtszámok) ugyanarra az alakra egyszerűsíthetők. Például a $(6,42)$ ekvivalens az $(5,35)$-tel, mert a $\frac{6}{42}$ és a $\frac{5}{35}$ egyaránt $\frac{1}{7}$-re egyszerűsödik.
3. A keletkező ekvivalenciaosztályokon értelmezzük az összeadást és a szorzást úgy, hogy a műveleteket az ekvivalenciaosztályokat reprezentáló elemeken hajtjuk végre (például az (1,2)-t tartalmazó ekvivalenciosztály és a (3,4)-et tartalmazó ekvivalenciaosztály összege az (5,4)-et tartalmazó ekvivalenciaosztály, szorzata pedig a (3,8)-at tartalmazó ekvivalenciaosztály.
4. Konstatáljuk, hogy ezek a műveletek jól definiáltak, konzisztens kiterjesztései az egész számokon definiált szorzásnak és összeadásnak, és az így keletkezett struktúra test.

A hányadostest konstrukciója ennek az eljárásnak az általánosítása tetszőleges integritási tartományra.

A hányadostest konstrukciója

Legyen $\Bbb I$ egy integritási tartomány és jelölje $\Bbb T^*$ az $\Bbb I$ elemeiből alkotott $(a,b)$ rendezett párok halmazát, ahol kikötjük, hogy $b\neq 0$. $\Bbb T^*$ elemein definiálunk egy ~ ekvivalenciarelációt: azt mondjuk, hogy $(a,b)~(c,d)$ akkor és csak akkor, ha $ad=bc$ (az $\Bbb I$-ben értelmezett szorzással). Az ekvivalenciaosztályok halmazát $\Bbb T$-vel, az (a,b)-t tartalmazó ekvivalenciaosztályt $a\over b$-vel jelöljük.

A konstrukció végső lépését az az észrevétel adja, hogy $\Bbb T$ elemei testet alkotnak az alábbi műveletekkel:

1. Tetszőleges ${a\over b}, {c \over d} \in \mathbb T$-re ${a\over b} * {c \over d} = \frac{ab}{cd}$. Az így definiált szorzás egységeleme az $1\over 1$ ekvivalenciaosztály.
2. Tetszőleges ${a\over b}, {c \over d} \in \Bbb T$-re ${a\over b} + {c \over d} = \frac{ad+bc}{bd}$. Az így definiált összeadás nulleleme a $0\over 1$ ekvivalenciaosztály.
3. Tetszőleges ${a\over b} \in \Bbb T$ additív inverze $\frac{-a}{b}$.
4. Ha $a\neq 0$, ${a\over b} \in \Bbb T$ multiplikatív inverze $\frac{b}{a}$.

Az így konstruált $\Bbb T$ testet $\Bbb I$ hányadostestének nevezzük.

Tulajdonságai

$\Bbb T$ tartalmazza $\Bbb I$ izomorf képét ($a\leftrightarrow {a\over 1}$ természetes megfeleltetést ad $a\in\Bbb I$ és ${a\over 1} \in\Bbb T$) között. $\Bbb T$ a legszűkebb olyan test, amelybe $a\in\Bbb I$ beágyazható.

$\Bbb I$ (az izomorfizmus erjéig) egyértelműen meghatározza $\Bbb T$-t. Ennek megfordítása általában nem igaz: egy test előállhat több különböző integritási tartomány hányadostesteként is. Speciálisan minden test hányadosteste saját magának (mint integritástartománynak).

$\Bbb I$ és $\Bbb T$ karakterisztikája megegyezik. Ha $\Bbb I$ végtelen, akkor $\Bbb I$ és $\Bbb T$ számossága is megegyezik.

Példák

• Amint feljebb láttuk, ha $\Bbb I = \Bbb Z$, akkor $\Bbb T = \Bbb Q$.
• Egy test feletti polinomgyűrű hányadosteste a racionális törtkifejezések teste.

Forrás

van der Waerden: Algebra, 2 Bde., Springer, 9.Auflage 1993