Koch-görbe

A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából
Von Koch curve.gif

A Koch-görbe vagy Koch-hópehely Helge von Koch svéd matematikus által 1904-ben leírt fraktál, mely ilyen minőségében az egyik legelső.

A görbét úgy állíthatjuk elő, hogy egy szabályos háromszög oldalait elharmadoljuk, majd a középső harmadára ismét egy szabályos háromszöget rajzolunk. Ezen háromszögek oldalait szintén harmadoljuk, és háromszöget rajzolunk rájuk. Ezt a végtelenségig folytatjuk. A görbe hossza az n-edik lépés után (4/3)^n. A határértékként kapott görbe végtelenül finoman strukturált, és csak közelítőleg lehet ábrázolni. Azok a pontok alkotják, amiket egy iterációs lépés után a további iterációs lépések megőriznek, vagy torlódási pontjai ennek a ponthalmaznak. Sokszor ennek az önmagába záródó görbének harmadát hívják Koch-görbének.

Koch-görbe

Tulajdonságai[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Egyik tulajdonsága a skálafüggetlenség, a másik pedig különösen érdekes: végtelen lépés után a görbe hossza végtelen lesz, de sosem metszi önmagát, és véges térrészen marad: tehát véges területen végtelen hosszú lesz. Hausdorff-dimenziója  \frac {\log(4)} {\log(3)} \approx 1{,}26 . Szigorúan önhasonló, egyes részeit felnagyítva mindig ugyanaz a struktúra kerül elő. A Koch-görbe folytonos, mert a konstrukciójából adódóan van folytonos függvényeknek egy sorozata, amely egyenletesen tart hozzá. Ellenben sehol sem differenciálható, mert bármely kis szakaszán van egy töréspont, ahol a görbe 60 fokban megtörik.

A Koch-sziget területe[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Az első hat iteráció látható

Jelölje s a kiindulási háromszög oldalának hosszát! Ekkor a kiindulási háromszög területe \frac{s^2\sqrt{3}}{4} . Minden új iterációban az új kis háromszögek oldalhossza 1/3-a az előző iterációban kapott háromszögekének. Mivel a szabályos háromszögek területe négyzetesen függ az oldalhosszuktól, az új háromszögek területe egyenként 1/9-része az előző iterációban nyert háromszögek egyikének. A kis háromszögek száma minden iterációban megnégyszereződik. Mivel az első iterációban három háromszög keletkezik, az n-edik iterációban keletkező háromszögek száma  3 \cdot 4^{n-1} . Összetéve adódik az iterációs formula:

A_{n+1} = A_n + \frac{3 \cdot 4^{n-1}}{9^n}A_0\quad n \ge 1 \, ,

ahol A_0 a kiindulási háromszög területe.

Behelyettesítve, hogy A_1 = \frac{4}{3} A_0 \, , és felbontva a zárójeleket:

A_{n+1} = \frac{4}{3} A_0 + \sum_{k=2}^n \frac{3 \cdot 4^{n-1}}{9^n} A_0 = \left (\frac{4}{3} + \frac{1}{3} \sum_{k=1}^n \frac{4^{n}}{9^n} \right ) A_0 \, .

Határértékben, ha n tart a végtelenbe, akkor 4/9 hatványainak összegeként 4/5 adódik. Ezzel

 \lim_{n \rightarrow \infty} A_n = \left( \frac{4}{3} + \frac{1}{3} \cdot \frac{4}{5} \right ) A_0 = \frac{8}{5} A_0 \, .

Tehát a hópehelygörbe által körülzárt Koch-sziget területe a kiindulási háromszög területének 8/5 része, vagy az eredeti háromszög oldalhosszával kifejezve \frac{2s^2\sqrt{3}}{5}.[1] Így a végtelenül hosszú hópehelygörbe egy véges területű síkdarabot ölel körül.

Változatai[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

A Koch-görbéhez hasonlóan több más fraktál is készíthető:

Változat Kép Konstrukció
1D, 85°-os szög
Cesaro fractal
A Cesaro-fraktál a Koch-görbe variánsa, ahol az elfordulási szög 60° és 90° között változtatható (itt 85°).
1D, 90°-os szög
Quadratic type 1 curve
Kvadratikus Koch-görbe. Az első két iteráció
1D, 90°-os szög
Quadratic type 2 curve
Az első két iteráció. Hausdorff-dimenziója pontosan 1,5 és így éppen félúton van 1 és 2 között; ezért gyakran rajta tanulmányozzák a tört dimenziós fraktálok fizikai tulajdonságait.
2D, háromszögek
von Koch surface
A Koch-görbe természetes módon két dimenzióra kiterjesztett változata
2D, 90°-os szög
Quadratic type 1 surface
A kvadratikus görbe kiterjesztése. Az ábra a második iterációt mutatja.
2D, 90°-os szög
Quadratic type 2 surface
A kvadratikus görbe kiterjesztése. Az ábra az első iterációt mutatja.
2D, gömbök
Haines sphereflake (large green object)
Eric Haines térbeli, gömböket használó Koch-fraktálja

Források[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

  • Helge von Koch: Une courbe continue sans tangente, obtenue par une construction géometrique élémentaire. Arkiv för Matematik 1 (1904) 681-704.
  • Helge von Koch: Une méthode géométrique élémentaire pour l'étude de certaines questions de la théorie des courbes planes. Acta Mathematica 30 (1906) 145-174.
  • Hópehelygörbe a MathWorldön

További információk[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Koch-görbére hasonló fraktálok vizsgálata