Másodfokú egyenlet

Egy másodfokú függvény grafikonja:
y = x² - x - 2 = (x+1)(x-2)

Azok a pontok, ahol a grafikon az x-tengelyt metszi, az x = -1 és x = 2, az x² - x - 2 = 0 másodfokú egyenlet megoldásai

A matematikában a másodfokú egyenlet egy olyan egyenlet, amely ekvivalens algebrai átalakításokkal olyan egyenlet alakjára hozható, melynek egyik oldalán másodfokú polinom szerepel –, tehát a változó (x) legmagasabb hatványa a négyzet – a másik oldalán nulla (redukált alak). A másodfokú egyenlet általános kanonikus alakja tehát:

$ax^2+bx+c=0\mbox{ , ahol }a\ne 0. \,$

Az $a\,\!$, $b\,\!$ és $c\,\!$ betűket együtthatóknak nevezzük: $a\,\!$ az $x^2\,\!$ együtthatója, $b\,\!$ az $x\,\!$ együtthatója, és $c\,\!$ a konstans együttható.

Megoldása

A valós vagy komplex együtthatójú másodfokú egyenletnek két komplex gyöke van ($x\,\!$ azon értékei, melyekre $y = 0\,\!$), amelyeket általában $x_1\,\!$ és $x_2\,\!$ jelöl, noha ezek akár egyezőek is lehetnek. A gyökök kiszámítására a másodfokú egyenlet megoldóképletét használjuk.

$x=-\frac{b}{2a}\pm\frac{\sqrt{b^2-4ac\ }}{2a}=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac\ }}{2a}$

A másodfokú egyenlet megoldóképletében a gyökjel alatti részt az egyenlet diszkriminánsának nevezzük: $D\ = b^2 - 4ac\,\!$
Ha valós együtthatós az egyenlet, akkor D>0 esetén 2 valós, D=0 esetén egy valós (kettős gyök), D<0 esetén pedig 2 nem valós, komplex gyöke van.

A másodfokú egyenlet megoldóképletét a teljes négyzetté való kiegészítéssel vezethetjük le.

$ax^2+bx+c=0 \,\!$

Elosztva a másodfokú egyenletet $a\,\!$-val (ami megengedett, mivel $a\ne 0. \,$)

$x^2 + \frac{b}{a} x + \frac{c}{a}=0$

ami átrendezve

$x^2+\frac{b}{a}x=-\frac{c}{a}.$

Az egyenletnek ebben a formájában a baloldalt teljes négyzetté alakítjuk. Egy konstanst adunk az egyenlőség bal oldalához, amely $x^2+2xy+y^2\,\!$ alakú teljes négyzetté egészíti ki. Mivel $2xy\,\!$ ebben az esetben $\frac{b}{a} x$, ezért $y = \frac{b}{2a}$, így $\frac{b}{2a}$ négyzetét adva mindkét oldalhoz azt kapjuk, hogy

$x^2+\frac{b}{a}x+\frac{b^2}{4a^2}=-\frac{c}{a}+\frac{b^2}{4a^2}.$

A bal oldal most $\left(x + \frac{b}{2a}\right)$ teljes négyzete. A jobboldalt egyszerű törtként írhatjuk fel, a közös nevező $4a^2\,\!$.

$\left(x+\frac{b}{2a}\right)^2=\frac{b^2-4ac}{4a^2}.$

Négyzetgyököt vonva mindkét oldalból

$\left|x+\frac{b}{2a}\right| = \frac{\sqrt{b^2-4ac\ }}{|2a|}\Leftrightarrow$$x+\frac{b}{2a}=\pm\frac{\sqrt{b^2-4ac\ }}{2a}$

Kivonva $\frac{b}{2a}$-t mindkét oldalból megkapjuk a megoldóképletet:

$x=-\frac{b}{2a}\pm\frac{\sqrt{b^2-4ac\ }}{2a}=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac\ }}{2a}.$

Szélsőérték helye: -b/2a

Ha a diszkrimináns értéke negatív, a következőképpen kell számolni:

$x=-\frac{b}{2a}\pm\frac{\sqrt{\left(-1\right)\left(4ac-b^2\right)\ }}{2a} =-\frac{b}{2a}\pm i\frac{\sqrt{4ac-b^2\ }}{2a}.$

A megoldás ilyenkor egy komplex konjugált gyökpár lesz.

Viète-formulák

A Viète-formulák egyszerű összefüggések a polinomok gyökei és együtthatói között. A másodfokú egyenlet esetében a következő formájúak:

$x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}$

$x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a}$

Források

• Weisstein, Eric W.: Másodfokú egyenlet. MathWorld--A Wolfram Web Resource. http://mathworld.wolfram.com/QuadraticEquation.html (angolul)