Megoldóképlet

A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából

A megoldóképlet az n-edfokú

a_n \cdot x^n+a_{n-1} \cdot x^{n-1}+ ... +a_1 \cdot x + a_0=0

(ahol a_n nem 0)

algebrai egyenlet megoldásait (gyökeit) szolgáltató algoritmus, mely véges sok lépésben véget érő és csak az algebrai műveleteket (a négy alapműveletet és a gyökvonást) használja.

Iteratív megoldások, melyek a gyököket tetszőleges pontossággal megközelítik nem tekintendők "megoldóképletnek". A gyakorlatban sokszor kielégítő a közelítő megoldás. Ilyen közelítő megoldások régóta ismeretesek (például Al-Kásié (?-1429) vagy a Bernoulli–Lobacsevszkij–Graeffe féle gyökhatványozó eljárás.

Először Carl Friedrich Gauss (1777-1855) bizonyította szabatosan az algebra alaptételét, mely szerint az n-edfokú egyenletnek pontosan n megoldása van. A megoldások nem feltétlenül mind valósak. Az n-edfokú egyenlet általában csak a komplex számkörben oldható meg.

Megoldóképletek[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Elsőfokú egyenlet[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Az a \cdot x + b = 0 elsőfokú egyenlet esetében

x = -\frac{b}{a} megoldóképlet adja meg a megoldást.

Másodfokú egyenlet[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Az a \cdot x^2 + b \cdot x + c = 0 alakú másodfokú egyenlet megoldóképlete:

 x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4 a c}}{2 a} .

A másodfokú egyenlet megoldóképletét először, a mai alakhoz hasonló egységes formában (a felesleges, együtthatókkal kapcsolatos esetszétválasztások nélkül) Michael Stifel (1487-1567) írta fel, bár a mainál sokkal esetlenebb jelölésekkel.

Harmadfokú egyenlet[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

A harmadfokú esetre elméletben legalábbis a Girolamo Cardano (1501-1576) nevét viselő úgynevezett Cardano-képlet használható. A Cardano képlet megtekinthető itt: [1]. A harmadfokú egyenlet valós megoldásait a megoldóképlettel csak úgy találhatjuk meg, ha a számítás során kilépünk a valós számkörből és, ha csak átmenetileg is, de belépünk a komplex számok világába. A harmadfokú egyenlet megoldásának ennélfogva igen nagy a tudománytörténeti jelentősége.

Negyedfokú egyenlet[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

A negyedfokú esetre a megoldóképlet Cardano tanítványától, Ludovico Ferraritól származik. Az ő módszere a teljes négyzetté alakítás volt. Egy évszázad múlva Descartes (René Descartes Du Peron) Értekezés a módszerről című művében közölt zárt képletének alapja két másodfokú polinom szorzata volt, ahol a két elsőfokú tag egymás inverze volt.( ti. így kiesik a harmadfokú tag.)

A negyedfokú egyenlet megoldóképlete csak egy érdektelen részlet a matematikatörténetben a harmad- és az ötödfokú egyenlet megoldóképletéhez képest. Az ötödfokú egyenlet megoldóképletének az a jelentősége, hogy nem létezik.

Megjegyzés: A megoldóképleteket a fent csatolt formában használni szinte lehetetlen; ezzel ne is próbálkozzon senki. Ha mindenképpen zárt alakban kell megoldanunk egy harmad- ill. negyedfokú egyenletet, akkor célszerűbb a levezetést követni.

Ötöd- vagy magasabb fokú egyenlet[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Niels Henrik Abel (1802-1829) bebizonyította, hogy az 5-ödfokú esetben nem található megoldóképlet. Ez nem azt jelenti, hogy nincs megoldás, hanem, hogy nincs olyan véges lépés után véget érő számítási eljárás, amely csak a négy algebrai műveletet továbbá a gyökvonást használja és általános módszert szolgáltatna a gyökök megkeresésére (azaz minden egyenlet esetén ugyanazzal az eljárással előállíthatnánk a gyököket). Később Évariste Galois (1811-1832) megmutatta, hogy az 5-nél magasabb fokú esetekben sem létezik megoldóképlet.

Forrás[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

  • Sain Márton: „Matematikattörténeti ABC”, Tankönyvkiadó, 1978.;
  • „Nincs királyi út”, Gondolat, 1986.