Komplex konjugált

A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából
A z komplex szám és konjugáltja ábrázolása a komplex síkon

A matematikában a komplex konjugált egy komplex szám képzetes része előjelének megváltoztatásával képződik. Így a

 z=a+ib \,

komplex szám (ahol a és b valós számok) konjugáltja

\overline{z} = a - ib.\,

A komplex konjugáltat időnként z^*-gal jelölik. A továbbiakban a jelölés \bar z lesz, hogy elkerülhető legyen egy mátrix konjugált transzponáltjával való összecserélés. Megjegyzendő, hogy ha egy komplex számot 1\times 1-es vektornak tekintünk, akkor a jelölések megegyeznek.

Például:

  • \overline{(3-2i)} = 3 + 2i
  • \overline{i} = -i
  • \overline{7}=7

A komplex számokat szokásosan a komplex sík egy pontjának fogják fel. A Descartes-féle koordinátarendszerben az x-tengely tartalmazza a valós számokat, az y-tengely pedig az i többszöröseit. Ha a komplex számot a komplex számsíkon képzeljük el, akkor a konjugált az eredeti szám x-tengelyre vett tükörképe.

Poláris alakban az r e^{i \phi} konjugáltja r e^{-i \phi}. Ez könnyen igazolható az Euler-formulával.

Tulajdonságok[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Az alábbi tulajdonságok minden z és w komplex számra igazak:

\overline{(z + w)} = \overline{z} + \overline{w} \!\
\overline{(zw)} = \overline{z}\; \overline{w} \!\
\overline{\left({\frac{z}{w}}\right)} = \frac{\overline{z}}{\overline{w}} , ha w nem nulla
\overline{z} = z \!\ akkor és csakis akkor, ha z valós
\left| \overline{z} \right| = \left| z \right|
{\left| z \right|}^2 = z\overline{z}
z^{-1} = \frac{\overline{z}}{{\left| z \right|}^2} , ha z nem nulla

Ha p(x) valós együtthatós polinom, és p(z) = 0, akkor p(\overline{z}) = 0 is teljesül. Így valós együtthatós polinomok nem-valós komplex gyökei konjugált párokat alkotnak.

A komplex számokból komplex számokba képező f(z) = \overline{z} függvény folytonos. Noha igen egyszerű, nem analitikus, mert orientációfordító, míg az analitikus függvények lokálisan orientációtartók. Mivel bijektív és megőrzi a műveleteket, a komplex számtest automorfizmusa. Mivel a valós számokat fixen hagyja, a \mathbb{C}/\mathbb{R} testbővítés Galois-csoportjának eleme. \mathbb{C}-nek pontosan két olyan automorfizmusa van, ami a valósokat fixen hagyja: az identitás és a konjugálás, azaz az említett Galois-csoport kételemű.

Általánosítás[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Általában, egy F test feletti algebrai \alpha elem konjugáltjainak \alpha kanonikus polinomjának gyökeit nevezzük. (A kanonikus polinom az a legalacsonyabb fokú, 1 főegyütthatós polinom, aminek \alpha gyöke.) Ez valóban általánosítja definíciónkat, hiszen az a+bi nemvalós komplex szám kanonikus polinomja

(x-(a+bi))(x-(a-bi))=x^2-2ax+(a^2+b^2).

Ha \alpha algebrai F felett, kanonikus polinomja elsőfokú faktorokra esik szét a felbontási testben:

(x-\alpha_1)\cdots(x-\alpha_n),

ahol \alpha_1=\alpha. A felbontási test F-et fixen hagyó automorfizmusai megkaphatók az \alpha\mapsto\alpha_i leképezések segítségével (i=1,\dots,n).