Komplex konjugált

A z komplex szám és konjugáltja ábrázolása a komplex síkon

A matematikában a komplex konjugált egy komplex szám képzetes része előjelének megváltoztatásával képződik. Így a

$z=a+ib\,$

komplex szám (ahol $a$ és $b$ valós számok) konjugáltja

${\overline {z}}=a-ib.\,$

A komplex konjugáltat időnként $z^{*}$-gal jelölik. A továbbiakban a jelölés ${\bar {z}}$ lesz, hogy elkerülhető legyen egy mátrix konjugált transzponáltjával való összecserélés. Megjegyzendő, hogy ha egy komplex számot $1\times 1$-es vektornak tekintünk, akkor a jelölések megegyeznek.

Például:

• ${\overline {(3-2i)}}=3+2i$
• ${\overline {i}}=-i$
• ${\overline {7}}=7$

A komplex számokat szokásosan a komplex sík egy pontjának fogják fel. A Descartes-féle koordináta-rendszerben az $x$-tengely tartalmazza a valós számokat, az $y$-tengely pedig az $i$ többszöröseit. Ha a komplex számot a komplex számsíkon képzeljük el, akkor a konjugált az eredeti szám x-tengelyre vett tükörképe.

Poláris alakban az $re^{i\phi }$ konjugáltja $re^{-i\phi }$. Ez könnyen igazolható az Euler-formulával.

Tulajdonságok

Az alábbi tulajdonságok minden $z$ és $w$ komplex számra igazak:

${\overline {(z+w)}}={\overline {z}}+{\overline {w}}\!\$

${\overline {(zw)}}={\overline {z}}\;{\overline {w}}\!\$

${\overline {\left({\frac {z}{w}}\right)}}={\frac {\overline {z}}{\overline {w}}}$ , ha $w$ nem nulla

${\overline {z}}=z\!\$ akkor és csakis akkor, ha $z$ valós

$\left|{\overline {z}}\right|=\left|z\right|$

${\left|z\right|}^{2}=z{\overline {z}}$

$z^{-1}={\frac {\overline {z}}{{\left|z\right|}^{2}}}$, ha $z$ nem nulla

Ha $p(x)$ valós együtthatós polinom, és $p(z)=0$, akkor $p({\overline {z}})=0$ is teljesül. Így valós együtthatós polinomok nem-valós komplex gyökei konjugált párokat alkotnak.

A komplex számokból komplex számokba képező $z\mapsto {\overline {z}}$ függvény folytonos. Noha igen egyszerű, nem analitikus, mert orientációfordító, míg az analitikus függvények lokálisan orientációtartók. Mivel bijektív és megőrzi a műveleteket, a komplex számtest automorfizmusa. Mivel a valós számokat fixen hagyja, a $\mathbb {C} /\mathbb {R}$ testbővítés Galois-csoportjának eleme. $\mathbb {C}$-nek pontosan két olyan automorfizmusa van, ami a valósokat fixen hagyja: az identitás és a konjugálás, azaz az említett Galois-csoport kételemű.

Általánosítás

Általában, egy $F$ test feletti algebrai $\alpha$ elem konjugáltjainak $\alpha$ kanonikus polinomjának gyökeit nevezzük. (A kanonikus polinom az a legalacsonyabb fokú, 1 főegyütthatós polinom, aminek $\alpha$ gyöke.) Ez valóban általánosítja definíciónkat, hiszen az $a+bi$ nemvalós komplex szám kanonikus polinomja

$(x-(a+bi))(x-(a-bi))=x^{2}-2ax+(a^{2}+b^{2}).$

Ha $\alpha$ algebrai $F$ felett, kanonikus polinomja elsőfokú faktorokra esik szét a felbontási testben:

$(x-\alpha _{1})\cdots (x-\alpha _{n}),$

ahol $\alpha _{1}=\alpha$. A felbontási test $F$-et fixen hagyó automorfizmusai megkaphatók az $\alpha \mapsto \alpha _{i}$ leképezések segítségével ($i=1,\dots ,n$).