Komplex konjugált

A matematikában a komplex konjugált egy komplex szám képzetes része előjelének megváltoztatásával képződik. Így a

$z=a+ib \,$

komplex szám (ahol $a$ és $b$ valós számok) konjugáltja

$\overline{z} = a - ib.\,$

A komplex konjugáltat időnként $z^*$-gal jelölik. A továbbiakban a jelölés $\bar z$ lesz, hogy elkerülhető legyen egy mátrix konjugált transzponáltjával való összecserélés. Megjegyzendő, hogy ha egy komplex számot $1\times 1$-es vektornak tekintünk, akkor a jelölések megegyeznek.

Például $\overline{(3-2i)} = 3 + 2i$, $\overline{i} = -i$ és $\overline{7}=7$.

A komplex számokat szokásosan a komplex sík egy pontjának fogják fel. A Descartes-féle koordinátarendszerben az $x$-tengely tartalmazza a valós számokat, az $y$-tengely pedig az $i$ többszöröseit. Ha a komplex számot a komplex számsíkon képzeljük el, akkor a konjugált az eredeti szám x-tengelyre vett tükörképe.

Poláris alakban az $r e^{i \phi}$ konjugáltja $r e^{-i \phi}$. Ez könnyen igazolható az Euler-formulával.

Tulajdonságok

Az alábbi tulajdonságok minden $z$ és $w$ komplex számra igazak, hacsak ellenkezőjét nem állítjuk:

$\overline{(z + w)} = \overline{z} + \overline{w} \!\$

$\overline{(zw)} = \overline{z}\; \overline{w} \!\$

$\overline{\left({\frac{z}{w}}\right)} = \frac{\overline{z}}{\overline{w}}$ , ha $w$ nem nulla

$\overline{z} = z \!\$ akkor és csakis akkor, ha $z$ valós

$\left| \overline{z} \right| = \left| z \right|$

${\left| z \right|}^2 = z\overline{z}$

$z^{-1} = \frac{\overline{z}}{{\left| z \right|}^2}$ , ha $z$ nem nulla

Ha $p(x)$ valós együtthatós polinom, és $p(z) = 0$, akkor $p(\overline{z}) = 0$ is teljesül. Így valós együtthatós polinomok nem-valós komplex gyökei konjugált párokat alkotnak.

A komplex számokból komplex számokba képező $f(z) = \overline{z}$ függvény folytonos. Noha igen egyszerű, nem analitikus, mert orientációfordító, míg az analitikus függvények lokálisan orientációtartók. Mivel bijektív és megőrzi a műveleteket, a komplex számtest automorfizmusa. Mivel a valós számokat fixen hagyja, a $\mathbb{C}/\mathbb{R}$ testbővítés Galois-csoportjának eleme. $\mathbb{C}$-nek pontosan két olyan automorfizmusa van, ami a valósokat fixen hagyja: az identitás és a konjugálás, azaz az említett Galois-csoport kételemű.

Általánosítás

Általában, egy $F$ test feletti algebrai $\alpha$ elem konjugáltjainak $\alpha$ kanonikus polinomjának gyökeit nevezzük. (A kanonikus polinom az a legalacsonyabb fokú, 1 főegyütthatós polinom, aminek $\alpha$ gyöke.) Ez valóban általánosítja definíciónkat, hiszen az $a+bi$ nemvalós komplex szám kanonikus polinomja

$(x-(a+bi))(x-(a-bi))=x^2-2ax+(a^2+b^2).$

Ha $\alpha$ algebrai $F$, kanonikus polinomja elsőfokú faktorokra esik szét a felbontási testben:

$(x-\alpha_1)\cdots(x-\alpha_n),$

ahol $\alpha_1=\alpha$. A felbontási test $F$-et fixen hagyó automorfizmusai megkaphatók az $\alpha\mapsto\alpha_i$ leképezések segítségével ($i=1,\dots,n$).