Diszkrimináns

A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából

A diszkrimináns szó jelentése: előre megítélés, eldöntés, döntő tényező. A matematika területén magasabb fokú egyenletek megoldása során alkalmazzuk, ahol az adott egyenlet megoldóképletének szerves része maga, a diszkrimináns képlete. A diszkrimináns jele D.

A diszkrimináns a gyakorlatban az adott magasabb fokú egyenletek gyökeinek számát határozza meg, dönti el. Mivel az algebra alaptétele csak a maximálisan szóba hozható gyökök számát definiálja, a valós gyökök számát azonban nem, ezért is volt szükséges minden lineárisnál magasabb fokú egyenlet esetében a diszkrimináns felfedezésére.

Lineáris egyenletek[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

A diszkriminánst csak lineárisnál magasabb fokú egyenletekre nézve értelmezzük. Az egyismeretlenes lineáris egyenletek gyökeinek számát nagyon egyszerűen az ismeretlen algebrai kifejezésével érhetjük el: ennek függvényében három verzió lehetséges

  • nincs gyöke (ellentmondás)
  • maximum 1 valós gyöke van
  • végtelen sok megoldása van (azonosság; lineáris ekvivalencia).

Másodfokú (kvadratikus) egyenletek[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Tekintsük alapul a másodfokú egyenlet együtthatóit az általános jelölés alapján ax2 + bx + c = 0 formájúnak!

Másodfokú egyenleteknek legfeljebb 2 gyöke lehet, minimum 0. Ennek értelmében 3 lehetséges kimenetele lehet egy másodfokú egyenlet megoldásának.

A gyökök mennyisége[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Az egyenletnek

  • 2 gyöke van
  • 1 gyöke van
  • nincs (valós) gyöke.

A gyökök jellege[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Az egyenletnek

  • csak valós gyökei vannak
  • hibrid gyökei vannak (valós és komplex gyökök egyaránt)
  • csak komplex gyökei vannak.

A másodfokú egyenlet diszkriminánsa[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Bármely másodfokú egyenlet diszkriminánsát meghatározhatjuk a D=b^2-4ac képlettel (a fenti jelölések alapján).

A diszkrimináns értékének értelmezése az alábbiak alapján történik:

  • D > 0 : Az egyenletnek 2 valós gyöke van;
  • D = 0 : Az egyenletnek 1 valós gyöke van;
  • D < 0 : Az egyenletnek 2 komplex gyöke van.

Megjegyzések:

  1. A fentiek alapján diszkrimináns értékének értelmezése a gyökök számának tekintetében csakis valós gyökökre vonatkozik.
  2. A másodfokú egyenlet redukált alakjának diszkriminánsa: D^*=\left( \frac{p}{2} \right) ^2 -q.

Harmadfokú egyenletek[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

A harmadfokú egyenlet megoldóképlete megtekinthető itt.

Negyedfokú egyenlet[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

A negyedfokú egyenlet megoldóképlete megtekinthető itt.

Külső hivatkozások, források[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]