Lineáris egyenlet

A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából

Lineáris- egyenleteknek nevezzük az L1(x)+c1=L2(x)+c2 alakú egyenleteket ahol L1 és L2 lineáris operátor (lineáris leképezés) c1 és c2 konstans, x pedig ismeretlen. A szakirodalom általában csak az L(x)=c alakú egyenletekre korlátozódik, ugyanis bizonyítható, hogy L=L1-L2 és c=c2-c1 helyettesítéssel az egyenlet a másikba transzformálható, tehát a két definíció lényegében egyenértékű. A szakirodalom nagyon sokszor kiegyenlíti a lineáris egyenletet az elsőfokú egyenlettel, habár például a 0·x=2 egyenlet lineáris de nem elsőfokú (csak látszólag) mivel lényegében a 0=2 egyenletről van szó, amelyból "kiesett" az ismeretlen és így nulladfokú. Az ismeretlen (x) lehet rendezett pár, számhármas, számnégyes, stb, így lényegében az előbbi definíció magába foglalja az egy és többismeretlenes lineáris egyenleteket is. Az L(x)=c képlet helyett általában csak egyszerűen Lx=c képletet írnak.

Példák egyismeretlenes lineáris egyenletekre a valós számok halmazán:

2x=5              3x+2=11              \frac{x-3}{5}=2x+1              (x-1)2=(x+1)2   (rendezve 8x=8)           2x+1=1+2x (rendezve 0x=0 )

Bővebben ld. Lineáris algebra/A linearitás fogalma.

Lineáris egyenletek megoldása[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Az Lx=c egyenlet megoldása az x=L-1c ha az L operátornak létezik inverze (L-1) azaz ha az L bijektív. Ha az L nem bijektív, akkor az Lx=c egyenletnek több (általában végtelen sok) megoldása van.

A válós számok halmazán, egy ismeretlen esetében, ez így néz ki: Az a·x = b egyenlet megoldáshalmaza


  \Big\{\frac{b}{a}\Big\} ,       azaz egy megoldása van, a   \frac{b}{a}\ ,   ha a ≠ 0
 \Big\{ \Big\} ,   (=∅), azaz nincs megoldása,            ha a = 0 és b ≠ 0
\mathbb{R},             azaz bármely szám megoldása,   ha a = 0 és b = 0

Lineáris egyenletek logikai kapcsolata más matematikai elemekkel[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Az elsőfokú egyenleteket elsősorban az egyenesekkel és azok egyenletével tudjuk összefüggésbe hozni, mivel bármely lineáris egyenlet egy egyenest definiál a numerikus analízis nyelvén. Az egyenes egyenletét lineáris függvényként is értelmezhetjük, tehát a lineáris algebra elsőfokú egyenletéből rögtön találunk párhuzamokat koordinátageometriai és az analízisben előforduló fogalmakkal.

  • Az egyenes egyenletének formája:
Ax + By - C = 0.
  • A lineáris függvények formája:
y = ax + b.

A1x + B1y = C

A2x + B2y = D.

Lásd még[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Források[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]