Lineáris egyenletrendszer

A lineáris egyenletrendszer olyan többváltozós egyenletrendszer, ahol minden ismeretlen változó elsőfokon (azaz első hatványon) szerepel.

Példa

Egy m egyenletből álló és n ismeretlent tartalmazó lineáris egyenletrendszer:

$a_{11}x_{1}+a_{12}x_{2}+\dots+a_{1n}x_{n}=b_{1}$

$a_{21}x_{1}+a_{22}x_{2}+\dots+a_{2n}x_{n}=b_{2}$

$\vdots$

$a_{m1}x_{1}+a_{m2}x_{2}+\dots+a_{mn}x_{n}=b_{m}$

Itt az x-ek az ismeretlenek, az a-k az ismeretlenek együtthatói, és a b-k az egyenletek konstansai.

Vektoriális alak

Az m darab egyenletet összevonhatjuk egy egyenletté, ha az együtthatók oszlopaiból m-dimenziós vektorokat képzünk:

$x_1 \begin{pmatrix}a_{11}\\a_{21}\\ \vdots \\a_{m1}\end{pmatrix} + x_2 \begin{pmatrix}a_{12}\\a_{22}\\ \vdots \\a_{m2}\end{pmatrix} + \cdots + x_n \begin{pmatrix}a_{1n}\\a_{2n}\\ \vdots \\a_{mn}\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}b_1\\b_2\\ \vdots \\b_m\end{pmatrix}$

A feladat tehát úgy is értelmezhető, hogy a lineáris egyenletrendszer együtthatóiból álló oszlopvektorok olyan lineáris kombinációját keressük, amely a

$\begin{pmatrix}b_{1} \\ b_{2} \\ \vdots \\ b_{m} \\\end{pmatrix}$ vektorral megegyezik.

Mátrixos alak

A lineáris egyenletrendszer mátrixa egy olyan m×n-es mátrix, amely a lineáris egyenletrendszer együtthatóit tartalmazza. Az előbbi egyenletrendszer mátrixa:

$A= \begin{bmatrix} a_{11}&a_{12}&\dots&a_{1n}\\ a_{21}&a_{22}&\dots&a_{2n}\\ \vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ a_{m1}&a_{m2}&\dots&a_{mn} \end{bmatrix}$

Ha bevezetjük a $\vec{b} = \begin{pmatrix}b_{1} \\ b_{2} \\ \vdots \\ b_{m} \\\end{pmatrix}$ és az $\vec{x} = \begin{pmatrix}x_{1} \\ x_{2} \\ \vdots \\ x_{n} \\\end{pmatrix}$ jelöléseket, akkor a lineáris egyenletrendszer a következő rövid alakban írható fel:

$A\vec{x}=\vec{b}.$

Az A mátrix és az $\vec{x}$ vektor szorzata formálisan éppen a kívánt egyenleteket adja.

A lineáris egyenletrendszer kibővített mátrixa

A lineáris egyenletrendszer kibővített mátrixa olyan m×(n+1)-es mátrix, amely a lineáris egyenletrendszer együtthatói mellett n+1-edik oszlopként az egyenletek konstansait is tartalmazza. Például az előző egyenletrendszer kibővített mátrixa:

$K= \begin{bmatrix} a_{11}&a_{12}&\dots&a_{1n}&b_{1}\\ a_{21}&a_{22}&\dots&a_{2n}&b_{2}\\ \vdots&\vdots&\ddots&\vdots&\vdots\\ a_{m1}&a_{m2}&\dots&a_{mn}&b_{m} \end{bmatrix}$

Megoldása

A lineáris egyenletrendszerek megoldása a Gauss-eliminációval történik. Az

$A\vec{x}=\vec{b}$

felírásból következik, hogy ha az A mátrix invertálható, akkor az egyenletrendszer megoldása

$\vec{x} = A^{-1}\vec{b}.$

2×2-es esetben

Speciálisan az

$a_{11}x_{1}+a_{12}x_{2}=b_{1}$

$a_{21}x_{2}+a_{22}x_{2}=b_{2}$

lineáris egyenletrendszer megoldása a következő:

$x_{1} = \frac {\begin{vmatrix} b_{1} & a_{12} \\ b_{2} & a_{22} \\ \end{vmatrix}}{\begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \\ \end{vmatrix}}=\frac{b_{1}a_{22}-b_{2}a_{12}}{a_{11}a_{22}-a_{21}a_{12}}$

és

$x_{2} = \frac {\begin{vmatrix} a_{11} & b_{1} \\ a_{21} & b_{2} \\ \end{vmatrix}}{\begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \\ \end{vmatrix}}=\frac{a_{11}b_{2}-a_{21}b_{1}}{a_{11}a_{22}-a_{21}a_{12}},$

ahol a | | a determinánsképzés jele.

Határozatlan lineáris egyenletrendszerek

Vannak esetek, amikor az adott egyenletrendszer a fent említett Cramer-szabály alkalmazásával sem megoldható, de más ügyeskedések is elégtelen próbálkozások lennének, mint például a Gauss-elimináció vagy akár a Sarrus-szabály. Ilyen egyenletrendszerek azok, melyekben az ismeretlenek száma meghaladja az egyenletek számát, de az ismeretlenek száma csak annyival több, hogy egyik ismeretlen a másik (többi) segítségével meghatározható legyen. Ezeket parciálisan határozatlan egyenletrendszereknek nevezzük. Ebben az esetben alkalmazzuk az elemi bázistranszformációs módszert.