Lineáris egyenletrendszer

A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából

A lineáris egyenletrendszer olyan többismeretlenes egyenletrendszer, ahol minden ismeretlen elsőfokon (azaz első hatványon) szerepel.

Példa[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Egy m egyenletből álló és n ismeretlent tartalmazó lineáris egyenletrendszer:

a_{11}x_{1}+a_{12}x_{2}+\dots+a_{1n}x_{n}=b_{1}

a_{21}x_{1}+a_{22}x_{2}+\dots+a_{2n}x_{n}=b_{2}

\vdots

a_{m1}x_{1}+a_{m2}x_{2}+\dots+a_{mn}x_{n}=b_{m}

Itt az x-ek az ismeretlenek, az a-k az ismeretlenek együtthatói, és a b-k az egyenletek konstansai.

Vektoriális alak[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Az m darab egyenletet összevonhatjuk egy egyenletté, ha az együtthatók oszlopaiból m-dimenziós vektorokat képzünk:


 x_1 \begin{pmatrix}a_{11}\\a_{21}\\ \vdots \\a_{m1}\end{pmatrix} +
 x_2 \begin{pmatrix}a_{12}\\a_{22}\\ \vdots \\a_{m2}\end{pmatrix} +
 \cdots +
 x_n \begin{pmatrix}a_{1n}\\a_{2n}\\ \vdots \\a_{mn}\end{pmatrix}
 =
 \begin{pmatrix}b_1\\b_2\\ \vdots \\b_m\end{pmatrix}

A feladat tehát úgy is értelmezhető, hogy a lineáris egyenletrendszer együtthatóiból álló oszlopvektorok olyan lineáris kombinációját keressük, amely a

\begin{pmatrix}b_{1} \\ b_{2} \\ \vdots \\ b_{m} \\\end{pmatrix} vektorral megegyezik.

Mátrixos alak[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

A lineáris egyenletrendszer mátrixa egy olyan m×n-es mátrix, amely a lineáris egyenletrendszer együtthatóit tartalmazza. Az előbbi egyenletrendszer mátrixa:

A=
\begin{bmatrix}
a_{11}&a_{12}&\dots&a_{1n}\\
a_{21}&a_{22}&\dots&a_{2n}\\
\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\
a_{m1}&a_{m2}&\dots&a_{mn}
\end{bmatrix}

Ha bevezetjük a \vec{b} = \begin{pmatrix}b_{1} \\ b_{2} \\ \vdots \\ b_{m} \\\end{pmatrix} és az \vec{x} = \begin{pmatrix}x_{1} \\ x_{2} \\ \vdots \\ x_{n} \\\end{pmatrix} jelöléseket, akkor a lineáris egyenletrendszer a következő rövid alakban írható fel:

A\vec{x}=\vec{b}.

Az A mátrix és az \vec{x} vektor szorzata formálisan éppen a kívánt egyenleteket adja.

A lineáris egyenletrendszer kibővített mátrixa[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

A lineáris egyenletrendszer kibővített mátrixa olyan m×(n+1)-es mátrix, amely a lineáris egyenletrendszer együtthatói mellett n+1-edik oszlopként az egyenletek konstansait is tartalmazza. Például az előző egyenletrendszer kibővített mátrixa:

K=
\begin{bmatrix}
a_{11}&a_{12}&\dots&a_{1n}&b_{1}\\
a_{21}&a_{22}&\dots&a_{2n}&b_{2}\\
\vdots&\vdots&\ddots&\vdots&\vdots\\
a_{m1}&a_{m2}&\dots&a_{mn}&b_{m}
\end{bmatrix}

Megoldása[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

A lineáris egyenletrendszerek megoldása a Gauss-eliminációval történik. Az

A\vec{x}=\vec{b}

felírásból következik, hogy ha az A mátrix invertálható, akkor az egyenletrendszer megoldása

\vec{x} = A^{-1}\vec{b}.

2×2-es esetben[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Speciálisan az

a_{11}x_{1}+a_{12}x_{2}=b_{1}
a_{21}x_{2}+a_{22}x_{2}=b_{2}

lineáris egyenletrendszer megoldása a következő:

x_{1} = \frac {\begin{vmatrix}
b_{1} & a_{12} \\
b_{2} & a_{22} \\
\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}
a_{11} & a_{12} \\
a_{21} & a_{22} \\
\end{vmatrix}}=\frac{b_{1}a_{22}-b_{2}a_{12}}{a_{11}a_{22}-a_{21}a_{12}}

és

x_{2} = \frac {\begin{vmatrix}
a_{11} & b_{1} \\
a_{21} & b_{2} \\
\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}
a_{11} & a_{12} \\
a_{21} & a_{22} \\
\end{vmatrix}}=\frac{a_{11}b_{2}-a_{21}b_{1}}{a_{11}a_{22}-a_{21}a_{12}},

ahol a | | a determinánsképzés jele.

Határozatlan lineáris egyenletrendszerek[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Vannak esetek, amikor az adott egyenletrendszer a fent említett Cramer-szabály alkalmazásával sem megoldható, de más ügyeskedések is elégtelen próbálkozások lennének, mint például a Gauss-elimináció vagy akár a Sarrus-szabály. Ilyen egyenletrendszerek azok, melyekben az ismeretlenek száma meghaladja az egyenletek számát, de az ismeretlenek száma csak annyival több, hogy egyik ismeretlen a másik (többi) segítségével meghatározható legyen. Ezeket parciálisan határozatlan egyenletrendszereknek nevezzük. Ebben az esetben alkalmazzuk az elemi bázistranszformációs módszert.