Negyedfokú egyenlet

$\tfrac{{{x}^{4}}}{14}+\tfrac{{{x}^{3}}}{14}-\tfrac{13{{x}^{2}}}{14}-\tfrac{x}{14}+\tfrac{19}{14}$
Negyedfokú függvény grafikonja.
Az x tengellyel való metszéspontok a függvény zérushelyei (y = 0).

A negyedfokú egyenlet olyan egyenlet melynek az egyik oldalán lévő kifejezés egy negyedfokú polinomfüggvény, a másik oldalán lévő kifejezés pedig zéró.

Általános alakja:   ^{$a\cdot x^{4}+b\cdot x^{3}+c\cdot x^{2}+d\cdot x+e=0 \,$}

Megoldását Gerolamo Cardano inasa és tanítványa, Lodovico Ferrari (1522-1565) fedezte fel; a megoldás Cardano Ars magna című munkájában jelent meg.

Ez a legmagasabb fokú egyenlet, amely általános alakban megoldható; ezt Niels Henrik Abel bizonyította be 1824-ben.

Az általános negyedfokú egyenlet gyökei

$\begin{align} & {{x}_{1,2}}=-\frac{b}{4a}-SGNB\cdot \sqrt{{{Y}_{1}}}\pm \left( \sqrt{{{Y}_{2}}}+\sqrt{{{Y}_{3}}} \right) \\ & {{x}_{3,4}}=-\frac{b}{4a}+SGNB\cdot \sqrt{{{Y}_{1}}}\pm \left( \sqrt{{{Y}_{2}}}-\sqrt{{{Y}_{3}}} \right) \\ \end{align}$

Ha $\Delta \ge 0$ akkor :

$\begin{align} & {{Y}_{1}}=-\frac{A}{6}+\sqrt[3]{\frac{2{{A}^{3}}+27{{B}^{2}}-72AC}{2\cdot {{12}^{3}}}+\sqrt{\Delta }}+\sqrt[3]{\frac{2{{A}^{3}}+27{{B}^{2}}-72AC}{2\cdot {{12}^{3}}}-\sqrt{\Delta }} \\ & \sqrt{{{Y}_{2}}}+\sqrt{{{Y}_{3}}}=\sqrt{-\frac{A}{2}-{{Y}_{1}}+\sqrt{{{\left( \frac{A}{2}+2{{Y}_{1}} \right)}^{2}}-C}} \\ & \sqrt{{{Y}_{2}}}-\sqrt{{{Y}_{3}}}=i\cdot \sqrt{\frac{A}{2}+{{Y}_{1}}+\sqrt{{{\left( \frac{A}{2}+2{{Y}_{1}} \right)}^{2}}-C}} \\ \end{align}$

Ha $\Delta <0$ és $\left( 2{{A}^{3}}+27{{B}^{2}}-72AC \right)=0$ akkor :

$\begin{align} & {{Y}_{1}}=-\frac{A}{6} \\ & {{Y}_{2,3}}=-\frac{A}{6}\pm \frac{\sqrt{{{A}^{2}}+12C}}{4\sqrt{3}} \\ \end{align}$

Ha $\Delta <0$ és $\left( 2{{A}^{3}}+27{{B}^{2}}-72AC \right)\ne 0$ akkor :

$\begin{align} & {{Y}_{1}}=-\frac{A}{6}+\frac{\sgn \left( 2{{A}^{3}}+27{{B}^{2}}-72AC \right)\cdot \sqrt{{{A}^{2}}+12C}}{6}\cdot \cos \left( \frac{1}{3}arctg\frac{2\cdot {{12}^{3}}\cdot \sqrt{-\Delta }}{2{{A}^{3}}+27{{B}^{2}}-72AC} \right) \\ & {{Y}_{2,3}}=-\frac{A}{6}+\frac{\sgn \left( 2{{A}^{3}}+27{{B}^{2}}-72AC \right)\cdot \sqrt{{{A}^{2}}+12C}}{6}\cdot \cos \left( \frac{2\pi }{3}\pm \frac{1}{3}arctg\frac{2\cdot {{12}^{3}}\cdot \sqrt{-\Delta }}{2{{A}^{3}}+27{{B}^{2}}-72AC} \right) \\ \end{align}$

Ahol:

$\left\{ \begin{align} & \Delta ={{\left( \frac{{{A}^{3}}}{{{12}^{3}}}+\frac{{{B}^{2}}}{128}-\frac{AC}{48} \right)}^{2}}-{{\left( \frac{{{A}^{2}}}{{{12}^{2}}}+\frac{C}{12} \right)}^{3}} \\ & A=-\frac{3{{b}^{2}}}{8{{a}^{2}}}+\frac{c}{a} \\ & B=\frac{{{b}^{3}}}{8{{a}^{3}}}-\frac{bc}{2{{a}^{2}}}+\frac{d}{a} \\ & C=-\frac{3{{b}^{4}}}{256{{a}^{4}}}+\frac{{{b}^{2}}c}{16{{a}^{3}}}-\frac{bd}{4{{a}^{2}}}+\frac{e}{a} \\ \end{align} \right.$

és

$SGNB=\left\{ \begin{align} & \sgn \left( B \right){{,}_{_{.}}}h{{a}_{_{.}}}\Delta \ge 0 \\ & \sgn \left( B \right)\cdot \sgn \left( Min\left( {{Y}_{1}},{{Y}_{2}},{{Y}_{3}} \right) \right){{,}_{_{.}}}h{{a}_{_{.}}}\Delta <0 \\ \end{align} \right.$

Megjegyzés:

Az itt használt sgn függvény definíciója:

$sgn\left( x \right)=\left\{ \begin{align} & +1{{,}_{_{.}}}h{{a}_{_{.}}}x\ge 0 \\ & -1{{,}_{_{.}}}h{{a}_{_{.}}}x<0 \\ \end{align} \right.$

Az általános negyedfokú egyenlet megoldása

Ha az alábbi egyenlőségek mindkét oldalát negyedik hatványra emeljük majd átrendezzük:

$\begin{align} & X={{y}_{1}}+{{y}_{2}}+{{y}_{3}} \\ & X={{y}_{1}}+\left( -{{y}_{2}} \right)+\left( -{{y}_{3}} \right) \\ & X=\left( -{{y}_{1}} \right)+{{y}_{2}}+\left( -{{y}_{3}} \right) \\ & X=\left( -{{y}_{1}} \right)+\left( -{{y}_{2}} \right)+{{y}_{3}} \\ \end{align}$

akkor a következő negyedfokú egyenletet kapjuk:

${{X}^{4}}-2\left( y_{1}^{2}+y_{2}^{2}+y_{3}^{2} \right)\cdot {{X}^{2}}-8\left( {{y}_{1}}{{y}_{2}}{{y}_{3}} \right)\cdot X+{{\left( y_{1}^{2}+y_{2}^{2}+y_{3}^{2} \right)}^{2}}-4\left( y_{1}^{2}y_{2}^{2}+y_{1}^{2}y_{3}^{2}+y_{2}^{2}y_{3}^{2} \right)=0$

Ebből következik, hogy az:

${{X}^{4}}-2\left( y_{1}^{2}+y_{2}^{2}+y_{3}^{2} \right)\cdot {{X}^{2}}-8\left( {{y}_{1}}{{y}_{2}}{{y}_{3}} \right)\cdot X+{{\left( y_{1}^{2}+y_{2}^{2}+y_{3}^{2} \right)}^{2}}-4\left( y_{1}^{2}y_{2}^{2}+y_{1}^{2}y_{3}^{2}+y_{2}^{2}y_{3}^{2} \right)=0$

negyedfoukú egyenletnek a következő négy megoldása van:

$\begin{align} & {{X}_{1}}={{y}_{1}}+\left( {{y}_{2}}+{{y}_{3}} \right) \\ & {{X}_{2}}={{y}_{1}}-\left( {{y}_{2}}+{{y}_{3}} \right) \\ & {{X}_{3}}=-{{y}_{1}}+\left( {{y}_{2}}-{{y}_{3}} \right) \\ & {{X}_{4}}=-{{y}_{1}}-\left( {{y}_{2}}-{{y}_{3}} \right) \\ \end{align}$

A következő jelölést használva:

${{X}^{4}}\overbrace{-2\left( y_{1}^{2}+y_{2}^{2}+y_{3}^{2} \right)}^{A}\cdot {{X}^{2}}\overbrace{-8\left( {{y}_{1}}{{y}_{2}}{{y}_{3}} \right)}^{B}\cdot X+\overbrace{{{\left( y_{1}^{2}+y_{2}^{2}+y_{3}^{2} \right)}^{2}}-4\left( y_{1}^{2}y_{2}^{2}+y_{1}^{2}y_{3}^{2}+y_{2}^{2}y_{3}^{2} \right)}^{C}=0$

felírható az:

${{X}^{4}}+A\cdot {{X}^{2}}+B\cdot X+C=0$

negyedfokú egyenlet melynek A,B,C együtthatói kiszámolhatóak ${{y}_{1}},{{y}_{2}},{{y}_{3}}$ függvényében:

$\left\{ \begin{align} & A=-2\left( y_{1}^{2}+y_{2}^{2}+y_{3}^{2} \right) \\ & B=-8\left( {{y}_{1}}{{y}_{2}}{{y}_{3}} \right) \\ & C={{\left( y_{1}^{2}+y_{2}^{2}+y_{3}^{2} \right)}^{2}}-4\left( y_{1}^{2}y_{2}^{2}+y_{1}^{2}y_{3}^{2}+y_{2}^{2}y_{3}^{2} \right) \\ \end{align} \right.\Rightarrow \left\{ \begin{align} & y_{1}^{2}+y_{2}^{2}+y_{3}^{2}=-\frac{A}{2} \\ & {{y}_{1}}{{y}_{2}}{{y}_{3}}=-\frac{B}{8} \\ & y_{1}^{2}y_{2}^{2}+y_{1}^{2}y_{3}^{2}+y_{2}^{2}y_{3}^{2}={{\left( -\frac{A}{4} \right)}^{2}}-\frac{C}{4} \\ \end{align} \right.$

A következő jelöléseket bevezetve:

$y_{1}^{2}={{Y}_{1}}, y_{2}^{2}={{Y}_{2}}, y_{3}^{2}={{Y}_{3}}$

azaz

${{y}_{1}}=\sgn \left( -B \right)\cdot \sqrt{{{Y}_{1}}}, {{y}_{2}}=\sqrt{{{Y}_{2}}}, {{y}_{3}}=\sqrt{{{Y}_{3}}}$

($\sgn \left( -B \right)$ -re ${{y}_{1}}{{y}_{2}}{{y}_{3}}=-\frac{B}{8}$ miatt van szükség, csak így teljesül az egyenlőség), egy harmadfokú egyenlet Viète-képleteit kapjuk:

$\left\{ \begin{align} & {{Y}_{1}}+{{Y}_{2}}+{{Y}_{3}}=-\frac{A}{2} \\ & {{Y}_{1}}{{Y}_{2}}+{{Y}_{1}}{{Y}_{3}}+{{Y}_{2}}{{Y}_{3}}=\frac{{{A}^{2}}-4C}{16} \\ & {{Y}_{1}}{{Y}_{2}}{{Y}_{3}}=\frac{{{B}^{2}}}{64} \\ \end{align} \right.$

amiből felírható maga a harmadfokú egyenlet:

${{Y}^{3}}+\frac{A}{2}{{Y}^{2}}+\frac{{{A}^{2}}-4C}{16}Y-\frac{{{B}^{2}}}{64}=0$

melynek gyökeit a harmadfokú egyenlet megoldóképletéből kapjuk az alábbi jelölések segítségével:

$\left\{ \begin{align} & AA=-\frac{{{A}^{2}}+12C}{48} \\ & BB=\frac{-2{{A}^{3}}-27{{B}^{2}}+72AC}{{{12}^{3}}} \\ & \Delta ={{\left( \frac{BB}{2} \right)}^{2}}+{{\left( \frac{AA}{3} \right)}^{3}}=\frac{4{{A}^{3}}{{B}^{2}}+27{{B}^{4}}-16{{A}^{4}}C-144A{{B}^{2}}C+128{{A}^{2}}{{C}^{2}}-256{{C}^{3}}}{4\cdot {{48}^{3}}} \\ \end{align} \right.$

Ha $\Delta \ge 0$ akkor :

$\begin{align} & {{Y}_{1}}=-\frac{A}{6}+\sqrt[3]{-\frac{BB}{2}+\sqrt{\Delta }}+\sqrt[3]{-\frac{BB}{2}-\sqrt{\Delta }} \\ & {{Y}_{2,3}}=-\frac{A}{6}-\frac{1}{2}\left( \sqrt[3]{-\frac{BB}{2}+\sqrt{\Delta }}+\sqrt[3]{-\frac{BB}{2}-\sqrt{\Delta }} \right)\pm i\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}\left( \sqrt[3]{-\frac{BB}{2}+\sqrt{\Delta }}-\sqrt[3]{-\frac{BB}{2}-\sqrt{\Delta }} \right) \\ \end{align}$

Ha $\Delta <0$ és $BB=0$ akkor :

$\begin{align} & {{Y}_{1}}=-\frac{A}{6} \\ & {{Y}_{2,3}}=-\frac{A}{6}\pm \sqrt{-AA} \\ \end{align}$

Ha $\Delta <0$ és $BB\ne 0$ akkor :

$\begin{align} & {{Y}_{1}}=-\frac{A}{6}-\sgn \left( BB \right)\cdot 2\sqrt{-\frac{AA}{3}}\cdot \cos \left( \frac{1}{3}arctg\frac{2\sqrt{-\Delta }}{BB} \right) \\ & {{Y}_{2,3}}=-\frac{A}{6}-\sgn \left( BB \right)\cdot 2\sqrt{-\frac{AA}{3}}\cdot \cos \left( \frac{2\pi }{3}\pm \frac{1}{3}arctg\frac{2\sqrt{-\Delta }}{BB} \right) \\ \end{align}$

Ha $\Delta \ge 0$ akkor ${{Y}_{2,3}}$ konjugált komplex számok, és ezek négyzetgyökét kell összeadni/kivonni. Felhasználva a komplex számok gyökvonási képletét, kis átrendezés után ezt kapjuk:

$\begin{align} & \sqrt{{{Y}_{2}}}+\sqrt{{{Y}_{3}}}=\sqrt{-\frac{A}{2}-{{Y}_{1}}+\sqrt{{{\left( \frac{A}{2}+2{{Y}_{1}} \right)}^{2}}-C}} \\ & \sqrt{{{Y}_{2}}}-\sqrt{{{Y}_{3}}}=i\cdot \sqrt{\frac{A}{2}+{{Y}_{1}}+\sqrt{{{\left( \frac{A}{2}+2{{Y}_{1}} \right)}^{2}}-C}} \\ \end{align}$

A második egyenletben a képlet szerint szerepel a sgn függvény de a negyedfokú egyenlet ${{X}_{3}}=-\sqrt{{{Y}_{1}}}+\sqrt{{{Y}_{2}}}-\sqrt{{{Y}_{3}}}$ és ${{X}_{4}}=-\sqrt{{{Y}_{1}}}-\left( \sqrt{{{Y}_{2}}}-\sqrt{{{Y}_{3}}} \right)$ gyökei közül az egyikben pozitív lesz a másikban pedig negatív, ezért a sgn függvény csak a gyökök sorrendjén változtat nem a a végeredményen, vagyis ez esetben nem szükséges odaírni.

$\sqrt{{{\left( \frac{A}{2}+2{{Y}_{1}} \right)}^{2}}-C}$ pedig $B=0$ -ban zéró, máshol pozitív, tehát mindig valós szám.

Az ${{X}^{4}}+A\cdot {{X}^{2}}+B\cdot X+C=0$ negyedfokú egyenlet gyökei tehát:

$\begin{align} & {{X}_{1,2}}=-\sgn \left( B \right)\cdot \sqrt{{{Y}_{1}}}\pm \left( \sqrt{{{Y}_{2}}}+\sqrt{{{Y}_{3}}} \right) \\ & {{X}_{3,4}}=\sgn \left( B \right)\cdot \sqrt{{{Y}_{1}}}\pm \left( \sqrt{{{Y}_{2}}}-\sqrt{{{Y}_{3}}} \right) \\ \end{align}$

Az általános negyedfokú egyenlet pedig:

$a\cdot {{x}^{4}}+b\cdot {{x}^{3}}+c\cdot {{x}^{2}}+d\cdot x+e=0$

a következő helyettesítéssel:

$x=-\frac{b}{4a}+X$

átalakítható a fenti negyedfokú egyenletre:

${{X}^{4}}+\underbrace{\left( -\frac{3{{b}^{2}}}{8{{a}^{2}}}+\frac{c}{a} \right)}_{A}\cdot {{X}^{2}}+\underbrace{\left( \frac{{{b}^{3}}}{8{{a}^{3}}}-\frac{bc}{2{{a}^{2}}}+\frac{d}{a} \right)}_{B}\cdot X+\underbrace{\left( -\frac{3{{b}^{4}}}{256{{a}^{4}}}+\frac{{{b}^{2}}c}{16{{a}^{3}}}-\frac{bd}{4{{a}^{2}}}+\frac{e}{a} \right)}_{C}=0$

így az általános negyedfokú egyenlet gyökei:

${{x}_{1,2,3,4}}=-\frac{b}{4a}+{{X}_{1,2,3,4}}$

Források

• Matematikai kisenciklopédia. szerk. Lukács Ernőné és Tarján Rezsőné. Budapest: Gondolat. 1968. 77-78. oldal
• Kleine Enzyklopädie. Mathematik. Leipzig: VEB Verlag Enzyklopädie. 1970. 112-113. és 116. oldal.

További információk

A negyedfokú egyenlet gyökei megtekinthetők itt.