Negyedfokú egyenlet

A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából
\tfrac{{{x}^{4}}}{14}+\tfrac{{{x}^{3}}}{14}-\tfrac{13{{x}^{2}}}{14}-\tfrac{x}{14}+\tfrac{19}{14}
Negyedfokú függvény grafikonja.
Az x tengellyel való metszéspontok a függvény zérushelyei (y = 0).
A negyedfokú egyenlet olyan egyenlet melynek az egyik oldalán lévő kifejezés egy negyedfokú polinomfüggvény, a másik oldalán lévő kifejezés pedig zéró.

Általános alakja: a\cdot x^{4}+b\cdot x^{3}+c\cdot x^{2}+d\cdot x+e=0 \,

Megoldását Gerolamo Cardano inasa és tanítványa, Lodovico Ferrari (1522-1565) fedezte fel; a megoldás Cardano Ars magna című munkájában jelent meg.

Ez a legmagasabb fokú egyenlet, amely általános alakban megoldható; ezt Niels Henrik Abel bizonyította be 1824-ben.

Az általános negyedfokú egyenlet gyökei[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Ha \Delta \ge 0

\left( B=0 \right) és \left( A>0 \right) és \left( C=\frac{{{A}^{2}}}{4} \right) esetén:
\begin{align}
 & {{x}_{1,2}}=-\frac{b}{4a}+i\cdot \sqrt{\frac{A}{2}} \\
 & {{x}_{3,4}}=-\frac{b}{4a}-i\cdot \sqrt{\frac{A}{2}} \\
\end{align}


ellenkező esetben:
\begin{align}
 & {{x}_{1,2}}=-\frac{b}{4a}+sig\left( -B \right)\sqrt{-\frac{A}{6}+u+v}\pm \sqrt{-\frac{A}{3}-\left( u+v \right)+\sqrt{{{\left( \frac{A}{6}+2\left( u+v \right) \right)}^{2}}-C}} \\
 & {{x}_{3,4}}=-\frac{b}{4a}-sig\left( -B \right)\sqrt{-\frac{A}{6}+u+v}\pm i\cdot \sqrt{\frac{A}{3}+\left( u+v \right)+\sqrt{{{\left( \frac{A}{6}+2\left( u+v \right) \right)}^{2}}-C}} \\
\end{align}


Ha \Delta <0

\left( C>\frac{{{A}^{2}}}{4} \right) vagy \left( A>0 \right) esetén:

\begin{align}
 & {{x}_{1,2}}=-\frac{b}{4a}-sig\left( -B \right)\sqrt{{{Y}_{1}}}\pm i\cdot \left( \sqrt{-{{Y}_{2}}}+\sqrt{-{{Y}_{3}}} \right) \\
 & {{x}_{3,4}}=-\frac{b}{4a}+sig\left( -B \right)\sqrt{{{Y}_{1}}}\pm i\cdot \left( \sqrt{-{{Y}_{2}}}-\sqrt{-{{Y}_{3}}} \right) \\
\end{align}


ellenkező esetben mind a négy gyök valós:

\begin{align}
 & {{x}_{1,2}}=-\frac{b}{4a}+sig\left( -B \right)\sqrt{{{Y}_{1}}}\pm \left( \sqrt{{{Y}_{2}}}+\sqrt{{{Y}_{3}}} \right) \\
 & {{x}_{3,4}}=-\frac{b}{4a}-sig\left( -B \right)\sqrt{{{Y}_{1}}}\pm \left( \sqrt{{{Y}_{2}}}-\sqrt{{{Y}_{3}}} \right) \\
\end{align}


Megjegyzések:

A=-\frac{3{{b}^{2}}}{8{{a}^{2}}}+\frac{c}{a}, B=\frac{{{b}^{3}}}{8{{a}^{3}}}-\frac{bc}{2{{a}^{2}}}+\frac{d}{a}, C=-\frac{3{{b}^{4}}}{256{{a}^{4}}}+\frac{{{b}^{2}}c}{16{{a}^{3}}}-\frac{bd}{4{{a}^{2}}}+\frac{e}{a}


P=-\frac{{{A}^{2}}}{48}-\frac{C}{4}, Q=-\frac{{{A}^{3}}}{864}-\frac{{{B}^{2}}}{64}+\frac{AC}{24}, \Delta ={{\left( \frac{Q}{2} \right)}^{2}}+{{\left( \frac{P}{3} \right)}^{3}}, u,v=\sqrt[3]{-\frac{Q}{2}\pm \sqrt{\Delta }}


{{Y}_{k}}=-\frac{A}{6}+2\sqrt{-P/3}\cdot \cos \left( \frac{2\left( k-1 \right)\cdot \pi }{3}+\frac{1}{3}\cdot \arccos \frac{-Q/2}{\sqrt{-{{\left( P/3 \right)}^{3}}}} \right)


sig\left( x \right)=\left\{ \begin{align}
 & +1,x\ge 0 \\
 & -1,x<0 \\
\end{align} \right.

Az általános negyedfokú egyenlet megoldása[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Mivel
{{\left( {{y}_{1}}+{{y}_{2}}+{{y}_{3}} \right)}^{4}}-2\left( y_{1}^{2}+y_{2}^{2}+y_{3}^{2} \right){{\left( {{y}_{1}}+{{y}_{2}}+{{y}_{3}} \right)}^{2}}-8{{y}_{1}}{{y}_{2}}{{y}_{3}}\left( {{y}_{1}}+{{y}_{2}}+{{y}_{3}} \right)+{{\left( y_{1}^{2}+y_{2}^{2}+y_{3}^{2} \right)}^{2}}-4\left( y_{1}^{2}y_{2}^{2}+y_{1}^{2}y_{3}^{2}+y_{2}^{2}y_{3}^{2} \right)=0


ebből következik, hogy az

{{X}^{4}}-2\left( y_{1}^{2}+y_{2}^{2}+y_{3}^{2} \right)\cdot {{X}^{2}}-8{{y}_{1}}{{y}_{2}}{{y}_{3}}\cdot X+{{\left( y_{1}^{2}+y_{2}^{2}+y_{3}^{2} \right)}^{2}}-4\left( y_{1}^{2}y_{2}^{2}+y_{1}^{2}y_{3}^{2}+y_{2}^{2}y_{3}^{2} \right)=0


alakú negyedfokú egyenlet egyik gyöke {{X}_{1}}={{y}_{1}}+{{y}_{2}}+{{y}_{3}}

Ez igaz marad akkor is ha X={{y}_{1}}\pm \left( {{y}_{2}}+{{y}_{3}} \right) vagy X=-{{y}_{1}}\pm \left( {{y}_{2}}-{{y}_{3}} \right) tehát az

{{X}^{4}}-2\left( y_{1}^{2}+y_{2}^{2}+y_{3}^{2} \right)\cdot {{X}^{2}}-8{{y}_{1}}{{y}_{2}}{{y}_{3}}\cdot X+{{\left( y_{1}^{2}+y_{2}^{2}+y_{3}^{2} \right)}^{2}}-4\left( y_{1}^{2}y_{2}^{2}+y_{1}^{2}y_{3}^{2}+y_{2}^{2}y_{3}^{2} \right)=0


alakú negyedfokú egyenlet gyökei:

\begin{align}
 & {{X}_{1,2}}=+{{y}_{1}}\pm \left( {{y}_{2}}+{{y}_{3}} \right) \\
 & {{X}_{3,4}}=-{{y}_{1}}\pm \left( {{y}_{2}}-{{y}_{3}} \right) \\
\end{align}


Ebből következik, hogy az {{X}^{4}}+A\cdot {{X}^{2}}+B\cdot X+C=0 negyedfokú egyenlet gyökeit úgy kaphatjuk meg ha az

\left\{ \begin{align}
 & -2\left( y_{1}^{2}+y_{2}^{2}+y_{3}^{2} \right)=A \\
 & -8{{y}_{1}}{{y}_{2}}{{y}_{3}}=B \\
 & {{\left( y_{1}^{2}+y_{2}^{2}+y_{3}^{2} \right)}^{2}}-4\left( y_{1}^{2}y_{2}^{2}+y_{1}^{2}y_{3}^{2}+y_{2}^{2}y_{3}^{2} \right)=C \\
\end{align} \right.


egyenletrendszerből kiszámoljuk az a,b,c ismeretleneket A,B,C függvényében.
Kicsit átrendezve:

\left\{ \begin{align}
 & y_{1}^{2}+y_{2}^{2}+y_{3}^{2}=-\frac{A}{2} \\
 & y_{1}^{2}y_{2}^{2}+y_{1}^{2}y_{3}^{2}+y_{2}^{2}y_{3}^{2}=\frac{{{A}^{2}}}{16}-\frac{C}{4} \\
 & y_{1}^{2}y_{2}^{2}y_{3}^{2}=\frac{{{B}^{2}}}{64} \\
\end{align} \right.


Amiből felírható a kovetkező hatodfokú egyenlet:

{{\left( {{y}^{2}} \right)}^{3}}+\frac{A}{2}\cdot {{\left( {{y}^{2}} \right)}^{2}}+\left( \frac{{{A}^{2}}}{16}-\frac{C}{4} \right)\cdot \left( {{y}^{2}} \right)-{{\left( \frac{B}{8} \right)}^{2}}=0


melynek gyökei kiszámíthatóak az általános harmadfokú egyenlet megoldóképletével.
Ennek a hatodfokú egyenletnek hat gyöke van de csak arra a háromra van szükség melyekre teljesül az

{{y}_{1}}{{y}_{2}}{{y}_{3}}=-\frac{B}{8} összefüggés.


\begin{align}
 & P=-\frac{{{A}^{2}}}{48}-\frac{C}{4} \\
 & Q=-\frac{{{A}^{3}}}{864}-\frac{{{B}^{2}}}{64}+\frac{AC}{24} \\
\end{align}

\begin{align}
 & \Delta ={{\left( \frac{Q}{2} \right)}^{2}}+{{\left( \frac{P}{3} \right)}^{3}} \\
 & u,v=\sqrt[3]{-\frac{Q}{2}\pm \sqrt{\Delta }} \\
\end{align}



Ha \Delta \ge 0 akkor:

\begin{align}
 & y_{1}^{2}=-\frac{A}{6}+u+v \\
 & y_{2,3}^{2}=-\frac{A}{6}-\frac{u+v}{2}\pm i\frac{\left( u-v \right)\sqrt{3}}{2} \\
\end{align}


vagyis

{{y}_{1}}=\sqrt{-\frac{A}{6}+u+v}

{{y}_{2,3}} pedig egyszerüsíthető alkalmazva a gyökvonást komplex számból:

\sqrt{\alpha \pm i\cdot \beta }=\pm \left( \sqrt{\frac{\alpha +\sqrt{{{\alpha }^{2}}+{{\beta }^{2}}}}{2}}\pm i\cdot sig\left( b \right)\cdot \sqrt{\frac{-\alpha +\sqrt{{{\alpha }^{2}}+{{\beta }^{2}}}}{2}} \right)

ennek eredményeként:

{{y}_{2,3}}=\frac{1}{2}\sqrt{-\frac{A}{3}-\left( u+v \right)+\sqrt{{{\left( \frac{A}{6}+2\left( u+v \right) \right)}^{2}}-C}}\pm \frac{i}{2}\cdot \sqrt{\frac{A}{3}+\left( u+v \right)+\sqrt{{{\left( \frac{A}{6}+2\left( u+v \right) \right)}^{2}}-C}}


Mivel: {{y}_{2}}\cdot {{y}_{3}}=\frac{1}{2}\sqrt{{{\left( \frac{A}{6}+2\left( u+v \right) \right)}^{2}}-C}\ge 0


ezért {{y}_{1}}{{y}_{2}}{{y}_{3}}=-\frac{B}{8} csak úgy teljesül ha {{y}_{1}}=sig\left( -B \right)\sqrt{-\frac{A}{6}+u+v}



Tehát pozitív delta esetén a gyökok:

\begin{align}
 & {{X}_{1,2}}=+sig\left( -B \right)\sqrt{-\frac{A}{6}+u+v}\pm \sqrt{-\frac{A}{3}-\left( u+v \right)+\sqrt{{{\left( \frac{A}{6}+2\left( u+v \right) \right)}^{2}}-C}} \\
 & {{X}_{3,4}}=-sig\left( -B \right)\sqrt{-\frac{A}{6}+u+v}\pm i\cdot \sqrt{\frac{A}{3}+\left( u+v \right)+\sqrt{{{\left( \frac{A}{6}+2\left( u+v \right) \right)}^{2}}-C}} \\
\end{align}


Ha B=0 és A>0 és C=\frac{{{A}^{2}}}{4} akkor -\frac{A}{6}+u+v<0 vagyis {{y}_{1}} komplex szám és ebben az esetben a gyökök:

\begin{align}
 & {{X}_{1,2}}=+i\cdot \sqrt{\frac{A}{2}} \\
 & {{X}_{3,4}}=-i\cdot \sqrt{\frac{A}{2}} \\
\end{align}



Ha \Delta <0 akkor:

{{y}_{k}}=\pm \sqrt{-\frac{A}{6}+2\sqrt{-P/3}\cdot \cos \left( \frac{2\left( k-1 \right)\cdot \pi }{3}+\frac{1}{3}\cdot \arccos \frac{-Q/2}{\sqrt{-{{\left( P/3 \right)}^{3}}}} \right)}


Ha \left( 4\cdot C>{{A}^{2}} \right) és \left( A>0 \right) akkor {{y}_{2,3}} komplex számok lesznek és {{y}_{1}}{{y}_{2}}{{y}_{3}}=-\frac{B}{8} miatt sig\left( -B \right) -nél bejön egy negatív előjel vagyis ekkor a gyökök:


\begin{align}
 & {{X}_{1,2}}=-sig\left( -B \right)\cdot {{y}_{1}}\pm i\cdot \left( \sqrt{-y_{2}^{2}}+\sqrt{-y_{3}^{2}} \right) \\
 & {{X}_{3,4}}=+sig\left( -B \right)\cdot {{y}_{1}}\pm i\cdot \left( \sqrt{-y_{2}^{2}}-\sqrt{-y_{3}^{2}} \right) \\
\end{align}


Ellenkező esetben mind a négy gyök valós lesz:

\begin{align}
 & {{X}_{1,2}}=+sig\left( -B \right)\cdot {{y}_{1}}\pm \left( {{y}_{2}}+{{y}_{3}} \right) \\
 & {{X}_{3,4}}=-sig\left( -B \right)\cdot {{y}_{1}}\pm \left( {{y}_{2}}-{{y}_{3}} \right) \\
\end{align}



Az a{{x}^{4}}+b{{x}^{3}}+c{{x}^{2}}+dx+e=0 általános negyedfokú egyenlet az x=-\frac{b}{4a}+X helyettesítéssel:

{{X}^{4}}+\overbrace{\left( -\frac{3{{b}^{2}}}{8{{a}^{2}}}+\frac{c}{a} \right)}^{A}\cdot {{X}^{2}}+\overbrace{\left( \frac{{{b}^{3}}}{8{{a}^{3}}}-\frac{bc}{2{{a}^{2}}}+\frac{d}{a} \right)}^{B}\cdot X+\overbrace{\left( -\frac{3{{b}^{4}}}{256{{a}^{4}}}+\frac{{{b}^{2}}c}{16{{a}^{3}}}-\frac{bd}{4{{a}^{2}}}+\frac{e}{a} \right)}^{C}=0
alakra hozható és a fenti módszerrel megoldható, vagyis az általános egyenlet gyökei:

{{x}_{1,2,3,4}}=-\frac{b}{4a}+{{X}_{1,2,3,4}} lesznek.

Források[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

  • Matematikai kisenciklopédia. szerk. Lukács Ernőné és Tarján Rezsőné. Budapest: Gondolat. 1968. 77-78. oldal
  • Kleine Enzyklopädie. Mathematik. Leipzig: VEB Verlag Enzyklopädie. 1970. 112-113. és 116. oldal.

További információk[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

A negyedfokú egyenlet gyökei megtekinthetők itt.