Másodfokú függvény

A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából
f(x) = x^2 - x - 2\,\!

Az egyváltozós másodfokú függvényt, más néven kvadratikus függvényt az elemi analízis területén belül olyan valós algebrai függvényként tartjuk számon, mely minden megfelelő x-helyhez ezen x hely négyzetértékét rendeli hozzá.

Általános tudnivalók[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Függvényképe parabola. Másodfokú egyenletek és főleg másodfokú egyenlőtlenségek megoldása során gyakran fordulnak elő a másodfokú algebrai kifejezésekhez (pl. másodfokú polinomokhoz) tartozó függvények definíciói és alaptulajdonságai. Egy ax^2 + bx + c = 0 alakú másodfokú egyenlet gyökeinek meghatározásához két utat lehet végigjárni: meg lehet oldani az egyenletet grafikus és numerikus úton is.

Grafikus megoldás során felírjuk az egyenletben szereplő másodfokú polinomot, mint függvényt:

f(x)=ax^2+bx+c, a \ne 0

melyet teljes négyzetté alakítás után egyszerűen ábrázolhatunk:

f(x)=(dx + e)^2 + f.

Különböző diszkriminánsú másodfokú függvények (itt Δ jelöli a diszkriminánst):
<0: x²+12
=0: −43x²+43x13
>0: ³⁄2x²+12x43

Zérushelyek száma[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Az ábrázolást követően észrevehető, hogy a függvénynek van-e zérushelye (azaz metszéspontja az abszcissza tengellyel). Amennyiben a zérushelyek egyértelműen leolvashatók, akkor a gyököket már meg is kaptuk, ha azonban nem látható a pontos zérushely, akkor kénytelenek vagyunk az egyenletet numerikus úton is megoldani. A zérushelyek száma a másodfokú függvény zérusra redukált másodfokú egyenletének diszkriminánsából (D) következik (D = b^2-4ac):

  • ha D > 0, akkor 2 zérushelye van a függvénynek és 2 valós gyöke van a belőle felállítható egyenletnek;
  • ha D = 0, akkor 1 zérushelye van a másodfokú függvénynek (mert grafikonja csak érinti az abszcissza tengelyt) és ezzel egyidejűleg 1 valós gyöke van a függvényből felállítható egyenletnek;
  • ha D < 0, akkor nincs zérushelye a függvénynek, mert nem metszi és nem érinti az x tengelyt, ezért nincs valós gyöke az egyenletnek.

Az alapfüggvény jellemzése[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

A másodfokú függvény (f(x)= x^2) alapfüggvényének általános jellemzése:

  • Zérushelyek: x_1 = 0
  • Monotonitás:
    • f(x) szigorúan monoton csökkenő az x \in ]-\infty; 0[ nyílt intervallumon;
    • f(x) szigorúan monoton növekvő az x \in ]0; +\infty[ nyílt intervallumon.
  • Előjeles alakulás:
    • f(x)> 0 (vagyis f(x) pozitív) az x \in \mathbb{R} tartományban;
    • f(x)=0, ha x=0
    • f(x)< 0 (vagyis f(x) negatív) az x \in \emptyset tartományban (tehát az alapfüggvény sehol sem negatív).

f ''(x0) = 0. A fenti egyenlet megoldása során ellentmondást kapunk, mivel 2 ≠ 0, így kijelenthető, hogy a függvénynek nincs inflexiós pontja.

  • Konvexitás: az inflexiós pont következménye, hogy a függvény konvex az értelmezési tartomány egészén.

A másodfokú függvények analízise általánosítva[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

  • Extrémumok (lokális szélsőértékek definiálása): ha a négyzetes tag együtthatója (a) pozitív, úgy a függvénynek lokális minimuma van, ha a negatív, akkor a függvény maximummal rendelkezik.
  • Zérushelyek:
  • Paritás:
    • Ha az ordináta tengelyre szimmetrikus a grafikon, akkor páros: ez másodfokú függvénynél akkor és csak akkor fordulhat elő, ha b=0.
    • A függvény páratlan paritása kizárt.
    • Ha aszimmetrikus, akkor nyilván nem páros és nem páratlan.
  • Korlátosság: a függvény lokális szélsőértékeivel hozható összefüggésbe: ha a függvénynek minimuma van: alulról korlátos; ha maximuma van: felülről korlátos.
  • Előjeles alakulás:

Ahol a függvény grafikonja az x tengely alatt helyezkedik el, ott negatív, ahol felette, ott pozitív értékeket vesz fel.

  • Monotonitás:

A függvény szigorú monotonitását azon az x \in ]a; b[ nyílt intervallumon értelmezzük, ahol az intervallum egyik szélsőértéke a -\infty; másik pedig maga a lokális szélsőérték abszcissza tengelyről leolvasható helye.

  • Folytonosság:

A másodfokú elemi függvény mindig folytonos (amennyiben nem rendelkezik hézagponttal és nincs ezzel járó szakadása).

  • Inflexiós pont(ok) és derivált:

Egyetlen másodfokú függvénynek sincs inflexiós pontja sehol sem, mivel a hatványfüggvényekre vonatkozó \left( x^n\right)'=nx^{n-1} deriválási szabály szerint az n=2 másodfokú függvény deriváltja mindig konstans, mely ellentmondást eredményez az f"(x)=0 egyenlet megoldása során.

  • Konvexitás:

A függvény az értelmezési tartomány egészén konvex vagy konkáv annak függvényében, hogy a másodfokú tag együtthatója pozitív vagy negatív.

Források[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Commons
A Wikimédia Commons tartalmaz Másodfokú függvény témájú médiaállományokat.
  • Hajnal, Imre.szerk.: Fekete Gyula: Matematika a speciális matematika I. osztálya számára, Kőváry Károly, dr. Szendrei János, dr. Urbán János. ISBN 978-963-19-0525-0 
  • Thomas, George B., Maurice D. Weir, Joel Hass, Frank R. Giordano. 1., Thomas-féle Kalkulus I., 3-4. (magyar nyelven), Typotex: Budapest. ISBN 978 963 2790 114 (2006)