Hiperbola

A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából
Hiperbola
Negatív görbületű forgásfelület - a matematika szobra Marosvásárhelyen

A matematikában hiperbolának azokat a kúpszeleteket nevezik, amelyek úgy jönnek létre, hogy a végtelen kettős kúpot (forgáskúpot) metsző sík mindkét félkúpot metszi (a síknak a kúp tengelyével bezárt szöge kisebb, mint a kúp félnyílásszöge és a metsző síkra nem illeszkedik a kúp csúcsa).

A hiperbola úgy is definiálható, hogy azon pontok halmaza, melyeknek két rögzített ponttól (fókusz- vagy gyújtópontoktól) való távolságának különbségének abszolút értéke állandó. A két definíció azonosságának bizonyítását lásd a Dandelin-gömböknél.

A hiperbola a kétdimenziós Descartes-koordináta-rendszerben az alábbiakkal is definiálható:

Ax^2 + Bxy + Cy^2 + Dx + Ey + F = 0 \, és  B^2 > 4AC \,,

ahol az összes együttható (A,…,F) valós, és több, mint egy (x,y) megoldás létezik. (Ekkor ezek az (x,y) megoldások adják meg (koordinátaként) a hiperbola pontjait.

Hiperbola
Konjugált hiperbolák

Definíciók[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

  • A hiperbola a fentieken kívül úgy is definiálható, hogy azon pontok halmaza, melyeknek egy adott ponttól (egyik fókusztól) való távolsága és egy egyenestől (direktrixtől vagy vezéregyenestől) való távolsága hányadosa állandó és nagyobb 1-nél. Ez az állandó a hiperbola excentricitása.
  • A hiperbola másik, már említett definíciója: Azon pontok mértani helye, melyek a két fókuszponttól való távolságuk különbségének abszolút értéke állandó. Az ábra jelöléseivel:
\left | d_2 - d_1 \right | = 2 a.

A fókuszpontok a hiperbola egyik szimmetriatengelyén fekszenek, a köztük lévő távolság felezőpontját a hiperbola középpontjának nevezzük, a másik szimmetriatengely az elsőre a középponton átmenő merőleges egyenes.

A hiperbolának két, egymást nem metsző és nem érintő ága van. Minden határon túl növekvő távolságra fókuszoktól a hiperbola egy egyeneshez tart, melyet aszimptotának hívnak.

Konjugált hiperboláknak azokat nevezik, melyeknek aszimptotái megegyeznek, csak az aszimptoták különböző oldalain helyezkednek el.

A konjugált hiperbola speciális esete az egyenlő szárú vagy egyenlő oldalú hiperbola, melynél az aszimptoták által bezárt szög derékszög. Annak az egyenlő szárú hiperbolának az egyenlete, melynek aszimptotái a koordinátatengelyekre esnek: xy=c, ahol c állandó.

Ahogy a szinusz és koszinusz függvényekkel az ellipszis egy parametrikus egyenletrendszerét lehet felírni, a szinusz hiperbolikusz és koszinusz hiperbolikusz függvények a hiperbola parametrikus egyenletrendszerét adják.

Egyenletek[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Descartes koordinátákkal[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Kelet-nyugat irányban nyitott hiperbola:

\frac{\left( x-h \right)^2}{a^2} - \frac{\left( y-k \right)^2}{b^2} = 1

Észak-dél irányban nyitott hiperbola

\frac{\left( y-k \right)^2}{a^2} - \frac{\left( x-h \right)^2}{b^2} = 1

Mindkét képletben (h,k) a hiperbola középpontja, a a fél-nagytengely (a két ág közötti távolság fele) és b a fél-kistengely. Megjegyezzük, hogy b lehet nagyobb, mint a.

Az excentricitás:

e = \sqrt{1+\frac{b^2}{a^2}}

A kelet-nyugat irányban nyitott hiperbola fókuszpontjai:

\left(h\pm c, k\right)

és ugyanez észak-dél irányban nyitott hiperbolára:

\left( h, k\pm c\right) ahol c^2 = a^2 + b^2

Egyenlő szárú hiperbolák egyenlete, melyek aszimptotái párhuzamosak a koordináta tengelyekkel:

(x-h)(y-k) =   c \,

Polárkoordinátákkal[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Kelet-nyugat irányban nyitott hiperbola:

r^2 =a\sec 2\theta \,

Észak-dél irányban nyitott hiperbola

r^2 =-a\sec 2\theta \,

Északkelet-délnyugat irányban nyitott hiperbola

r^2 =a\csc 2\theta \,

Északnyugat-délkelet irányban nyitott hiperbola

r^2 =-a\csc 2\theta \,

Az összes egyenletben a középpont az origóban van és a a fél-nagytengely.

Parametrikus egyenletek[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Kelet-nyugat irányban nyitott hiperbola:

x = a\sec t + h\, vagy x = a\cosh t + h\,
y = b\tan t + k\, vagy y = b\sinh t + k\,

Észak-dél irányban nyitott hiperbola

x = a\tan t + h\, vagy x = a\sinh t + h\,
y = b\sec t + k\, vagy y = b\cosh t + k\,

Mindkét egyenletben (h,k) hiperbola középpontja, a a fél-nagytengely, b a fél-kistengely.

Kapcsolódó szócikkek[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Források[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

  • I.N. Bronstejn-K.A. Szemengyajev: Matematikai zsebkönyv 6. kiadás (Műszaki könyvkiadó, Budapest, 1987.)
  • Pattantyús Gépész és villamosmérnökök kézikönyve 2. kötet (Műszaki könyvkiadó, Budapest, 1961.)

További információk[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Commons
A Wikimédia Commons tartalmaz Hiperbola témájú médiaállományokat.