Négyzetgyök

A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából

A matematikában a négyzetgyökvonás egy egyváltozós matematikai művelet, a négyzetre (második hatványra) emelés megfordítása (inverze). Az a szám négyzetgyökének jele: \sqrt{a}

A négyzetre emelés függvénye nem kölcsönösen egyértelmű leképezés, hiszen a-nak és -a-nak ugyanúgy a^2 a négyzete. A négyzetgyökvonás művelete így nem lenne egyértelmű, emiatt a (valós) négyzetgyök definíciójakor kikötik, hogy az eredmény legyen nemnegatív.

A racionális törtkitevős hatványozás definíciójának segítségével a négyzetgyök úgy is írható, mint ½-dik hatvány:

\sqrt{a}=a^{\frac{1}{2}}

A négyzetgyökvonás egy olyan művelet, ami átvezet a komplex számokhoz, mivel a negatív valós számoknak nincs valós négyzetgyökük.

Definíció a valós számok halmazán[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Ha a nemnegatív valós szám, akkor a négyzetgyökén azt a szintén nemnegatív számot értjük, aminek a négyzete a:

b=\sqrt{a} \quad \iff \quad  b^2=a, \ a\geq 0, \ b\geq 0

A valós számok halmazán negatív számokra nincs értelmezve a négyzetgyökvonás, hiszen bármely valós szám négyzete nemnegatív.

A valós négyzetgyökfüggvény[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

A négyzetgyökfüggvény grafikonja

Azt a függvényt, ami a nemnegatív számokhoz a négyzetgyöküket rendeli, négyzetgyökfüggvénynek nevezzük:

f: \ \mathbb{R} \setminus \mathbb{R}^{-} \to  \mathbb{R} \qquad x \mapsto \sqrt{x}

A négyzetgyökfüggvény a pozitív számok halmazán differenciálható, deriváltja

\frac{\mathrm d\sqrt{x}}{\mathrm dx}=\frac{1}{2\sqrt{x}}.

Nullában ellenben nincs deriváltja; a grafikon érintője itt függőleges.

Értelmezési tartományának minden [a,b] zárt intervallumán Riemann-integrálható, és egy primitív függvénye

F(x)=\tfrac{2}{3}\cdot (\sqrt{x})^3.

Tulajdonságai[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

D_f=R_f=\mathbb{R} \setminus \mathbb{R}^{-}
  • Szigorúan monoton növekvő, azaz:
x_1 < x_2: \quad \sqrt{x_1} < \sqrt{x_2}
  • Zérushelye: x=0
  • Szélsőérték:
    • Minimuma: x=0, f(x)=0
    • Maximuma nincs
  • Paritás szempontjából nem páros és nem páratlan, hiszen negatív számokra nincs is értelmezve.

Számolás négyzetgyökökkel[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

A négyzetgyökös kifejezésekkel való számolás tulajdonságai következnek a nem negatív valós számok négyzetének tulajdonságaiból:

  • \sqrt{a\cdot b} =\sqrt{a}\cdot\sqrt{b}, ha  0\leq a, 0\leq b
  • \sqrt{a\cdot b} =\sqrt{-a}\cdot\sqrt{-b}, ha  0\leq a, 0\leq b
  • 0\leq a< b \;\Longleftrightarrow\; 0\leq \sqrt{a} <\sqrt{b}, mivel a négyzetgyökfüggvény szigorúan monoton nő.
  • \sqrt{a^2}=|a| tetszőleges a valós számra.
  • ellenben (\sqrt{a})^2=a csak akkor teljesül, ha a nem negatív

A négyzetgyökvonással kapcsolatos problémák[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

  • I.) Irracionális egyenletek:

Egyismeretlenes irracionális egyenleteknek nevezünk minden olyan algebrai egyenletet, ahol egyes algebrai kifejezések gyökjel alatt állnak.

  • II.) Négyzetgyökvonás negatív valós számból:

Azokat a számokat, melyeket úgy kapunk, hogy egy valós negatív előjelű valós számból vonunk négyzetgyököt, imaginárius számoknak nevezzük. A komplex számok két fő részből tevődnek össze: egy képzetes (imaginárius) számból és egy valós számból.

Komplex négyzetgyökfüggvény[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

A komplex négyzetre emelés a valóshoz hasonlóan nem injektív. Leszűkítéssel azonban injektívvé tehető. Ennek inverz függvénye a négyzetgyökfüggvény egy ága, ami függ az adott leszűkítéstől.

A négyzetgyökfüggvény főértéke abból az ágból adódik, amit a

 D_H:=\{x+ \mathrm i\, y\in\mathbb{C}|y>0 \text{ vagy } (y=0 \text{ } x\geq 0)\}

tartományra leszűkített négyzetre emelés definiál. Ez a leszűkítés már bijektív, és inverze, a négyzetgyökvonás főága az egész komplex számsíkon értelmezhető.

Számítása[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

A valós és a komplex számok négyzetgyöke többféleképpen is kiszámítható.

Valós számok[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Ha a szám nem írható fel két négyzetszám hányadosaként, akkor a négyzetgyöke irracionális még akkor is, ha a szám egész. Ennek kiszámítása azt jelenti, hogy tetszőleges pontossággal megközelíthető.

  • Írásbeli gyökvonás: az írásbeli osztáshoz hasonló eljárás.

A szám jegyeit hátulról kezdve párokba osztja. Az első csoport adja a négyzetgyök első jegyét. A továbbiakban sorra figyelembe veszi a következő jegypárokat, és az (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 azonosság alapján számol, ahol az a szám a már meglevő közelítés, és b a következő keresett számjegy.

  • Intervallumok egymásba skatulyázása: könnyen érthető, de nehezen kivitelezhető módszer.

Példa: négyzetgyök kettő kiszámítása:

12 < 2 és 22 > 2 miatt az első jegy 1. 1,42 = 1,96 < 2 és 1,52 = 2,25 > 2, ezért a második jegy 4. Az eljárás hasonlóan folytatódik.

\begin{align}
\sqrt{x+1} &= 1 + \sum_{n=1}^\infty 
{ (-1)^{n+1} (2n-2)!
\over
n! \; (n-1)! \; 2^{2n-1} }x^n\\

 &=  1 + \frac{1}{2}x - \frac{1}{8}x^2 + \frac{1}{16} x^3 - \frac{5}{128} x^4 \pm \dots
\end{align}

Az x számot felmérjük a számegyenesre, és Thalész-kört szerkesztünk a [0,x] szakaszra. 1-ben merőlegest állítunk a számegyesre; ez négyzetgyök x hosszú szakaszt metsz ki a körívből.

Komplex számok[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Ha z=x+iy a valós és a képzetes részével van megadva, akkor a négyzetgyök főértéke


\sqrt{z} = \sqrt{x+iy} = \operatorname{sgn}(y) \sqrt\tfrac{|z|+x}{2} + i\cdot\sqrt\tfrac{|z|-x}{2}

ahol sgn(y) a szignumfüggvény.

Az egyetlen mellékág a -\sqrt{z}.

A polárkoordinátákban adott z=|z| \cdot \mathrm e^{\mathrm i\cdot (\arg(z)+2n\pi)} négyzetgyökei így számíthatók:


   \sqrt{z} = \sqrt{|z|} \mathrm e^{ \mathrm i\left(\arg(z)/2+n\pi\right)},

ahol n = 0 vagy 1. A főérték az n = 0 esetnek felel meg.

Geometriailag, a négyzetgyökök abszolútértéke megegyezik az adott komplex szám abszolútértékének négyzetgyökével, és a főérték argumentuma az adott komplex szám argumentumának fele. A másik érték ennek a középpontosan szimmetrikus párja.

Egy z komplex szám argumentuma az (1,0,z) irányított szög.

Négyzetgyökök a maradékosztály-gyűrűkben[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Ha egy n természetes számra n \geq 2, akkor a négyzetgyökvonás definiálható modulo n. A valós és a komplex esethez hasonlóan a \mathbb{Z} / n \mathbb{Z} maradékosztály-gyűrűben is értelmes kérdés, hogy van-e olyan q maradékosztály, ami négyzetre emelve az x maradékosztályt adja:

q^2 \equiv x \;\mathrm{mod}\; n

Az x maradékosztály négyzetgyökei modulo n kiszámíthatók így:

Prímszám modulus[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

A prímhatványokról a kongruencia visszavezethető több prím modulusú kongruencia megoldására.

Egy prím modulusra általában nincs minden maradékosztálynak négyzetgyöke. Például modulo 3 és x=2 esetén a kongruencia nem oldható meg, mert nincs négyzetszám, ami hárommal osztva kettőt ad maradékul. Ezért, ha p>2, akkor először ezt a kérdést kell megvizsgálnunk.

A kérdést az

\left(\frac xp\right) \equiv x^{\frac{p-1}2}\,\bmod\,p

Legendre-szimbólum segít eldönteni, amire:


\left(\frac xp\right) = 
\begin{cases}
 -1, & \text{ha }x \text{ nemkvadratikus maradék modulo }p \text{ ist}\\
 0,  & \text{ha }x \text{ és }p \text{ nem relatív prímek }\\
 1,  & \text{ha }x \text{ kvadratikus maradék modulo }p \text{ ist}
\end{cases}.

Ha x nemkvadratikus maradék, akkor nincs négyzetgyöke. Ha x és p nem relatív prímek, akkor a megoldás a nulla maradékosztály. Végül, ha x kvadratikus maradék, akkor két négyzetgyöke van. Ezzel az esettel foglalkozunk a továbbiakban.

  • p négyes maradéka három

Az x kvadratikus maradék két négyzetgyöke

q \equiv \pm x^{\frac{p+1}{4}}\,\bmod\,p
  • p négyes maradéka egy

Az x kvadratikus maradék négyzetgyöke így számítható:

Választunk egy r számot, hogy:

 \left(\frac{r^2-4x}{p}\right) = -1

legyen.

Rekurzívan kiszámítjuk ezt a sorozatot:


W_n = \begin{cases}
r^2/x-2,                    & \text{ ha }n = 1\\
W_{n/2}^2-2,                & \text{ ha }n \text{ ps}\\
W_{(n+1)/2}W_{(n-1)/2}-W_1, & \text{ ha }n > 1 \text{ ptlan}
\end{cases}
.

Ekkor az x kvadratikus maradék négyzetgyökei:

 q \equiv \pm \frac{x}{2r}\left(W_\frac{p-1}{4} + W_\frac{p+3}{4} \right)\,\bmod\,p

Források[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]