Legendre-szimbólum

A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából

A Legendre-szimbólum a számelmélet egyik hasznos eszköze. Adrien-Marie Legendre francia matematikus (1752-1833) vezette be Essai sur la Thérie des Nombres c. 1798-as munkájában.

Definíció[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Ha p prímszám és a egész szám, akkor az \left(\frac{a}{p}\right) Legendre-szimbólum értéke:

  • 0 ha p osztja a-t,
  • 1 ha a kvadratikus maradék p-re nézve – azaz van olyan egész k hogy k^2 \equiv a \quad (p),
  • – 1 ha a kvadratikus nemmaradék p-re nézve, tehát nincs fenti tulajdonságú k szám

A Legendre-szimbólum tulajdonságai[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

A Legendre-szimbólumot tulajdonságai gyorsan számolhatóvá teszik:

  1. 
\left(\frac{ab}{p}\right) = \left(\frac{a}{p}\right)\left(\frac{b}{p}\right)
(felső változójában teljesen multiplikatív függvény)
  2. Ha a \equiv b \mbox { mod } p, akkor 
\left(\frac{a}{p}\right) = \left(\frac{b}{p}\right)
  3. 
\left(\frac{1}{p}\right) = 1
  4. Ha p páratlan prím, akkor \left(\frac{-1}{p}\right) = (-1)^{\frac{p-1}{2}} azaz 1, ha p \equiv 1 \mbox{ mod } 4 és – 1, ha p \equiv 3 \mbox{ mod } 4
  5. Ha p páratlan prím, akkor \left(\frac{2}{p}\right) = (-1)^{\frac{p^2-1}{8}} ami 1, ha p \equiv 1 vagy 7 \mbox{ mod } 8\, és – 1, ha p \equiv 3 vagy 5 \mbox{ mod } 8\,
  6. Ha p és q páratlan prímszámok, akkor 
\left(\frac{q}{p}\right) = \left(\frac{p}{q}\right)(-1)^{\frac{p-1}{2}\cdot\frac{q-1}{2}}

Az utóbbi állítás a kvadratikus reciprocitás tétele.

Fontos tulajdonság még az Euler-kritérium:


\left(\frac{a}{p}\right) \equiv a^{\frac{p-1}{2}}\mbox{ mod } p

A Legendre-szimbólum fontos példa Dirichlet-karakterre.

Általánosítás[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

A Jacobi-szimbólum a Legendre-szimbólum általánosítása összetett számokra.

Külső hivatkozások[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]