Legendre-szimbólum

A Legendre-szimbólum a számelmélet egyik hasznos eszköze. Adrien-Marie Legendre francia matematikus (1752-1833) vezette be Essai sur la Thérie des Nombres c. 1798-as munkájában.

Definíció

Ha $p$ prímszám és $a$ egész szám, akkor az $\left(\frac{a}{p}\right)$ Legendre-szimbólum értéke:

• 0 ha $p$ osztja $a$-t,
• 1 ha $a$ kvadratikus maradék $p$-re nézve – azaz van olyan egész $k$ hogy $k^2 \equiv a \quad (p)$,
• – 1 ha $a$ kvadratikus nemmaradék $p$-re nézve, tehát nincs fenti tulajdonságú $k$ szám

A Legendre-szimbólum tulajdonságai

A Legendre-szimbólumot tulajdonságai gyorsan számolhatóvá teszik:

1. $\left(\frac{ab}{p}\right) = \left(\frac{a}{p}\right)\left(\frac{b}{p}\right)$ (felső változójában teljesen multiplikatív függvény)
2. Ha $a \equiv b \mbox { mod } p$, akkor $\left(\frac{a}{p}\right) = \left(\frac{b}{p}\right)$
3. $\left(\frac{1}{p}\right) = 1$
4. Ha $p$ páratlan prím, akkor $\left(\frac{-1}{p}\right) = (-1)^{\frac{p-1}{2}}$ azaz 1, ha $p \equiv 1 \mbox{ mod } 4$ és – 1, ha $p \equiv 3 \mbox{ mod } 4$
5. Ha $p$ páratlan prím, akkor $\left(\frac{2}{p}\right) = (-1)^{\frac{p^2-1}{8}}$ ami 1, ha $p \equiv 1$ vagy $7 \mbox{ mod } 8\,$ és – 1, ha $p \equiv 3$ vagy $5 \mbox{ mod } 8\,$
6. Ha $p$ és $q$ páratlan prímszámok, akkor $\left(\frac{q}{p}\right) = \left(\frac{p}{q}\right)(-1)^{\frac{p-1}{2}\cdot\frac{q-1}{2}}$

Az utóbbi állítás a kvadratikus reciprocitás tétele.

Fontos tulajdonság még az Euler-kritérium:

$\left(\frac{a}{p}\right) \equiv a^{\frac{p-1}{2}}\mbox{ mod } p$

A Legendre-szimbólum fontos példa Dirichlet-karakterre.

Általánosítás

A Jacobi-szimbólum a Legendre-szimbólum általánosítása összetett számokra.

Külső hivatkozások

• Az Euler-kritérium