Gyökvonás

A négyzetgyök függvény

A gyökvonás egy matematikai művelet, a hatványozás egyik megfordított (inverz) művelete (a másik a logaritmus). Mikor egy számból n-edik gyököt vonunk (n valós szám), olyan számot keresünk, amelyet az n-edik hatványra emelve visszaadja az eredeti számot (ilyen szám nem mindig létezik).

Jelölés

A gyökjel ($\sqrt{\,\,}$) eredete elég bizonytalan, de a legtöbben, beleértve Leonhard Eulert is, úgy gondolják, hogy a latin "radix" (gyökér) szó kezdőbetűjének, az r-nek az elnyújtásából származik. Ez a jel először nyomtatásban a felső vízszintes vonal nélkül jelent meg 1525-ben, Christoph Rudolff német matematikus által írt "Die Coss"-ban.

Probléma adódik ennek a különleges karakternek az elektronikus ábrázolásával, mert nincs rajta közvetlenül a billentyűzeten (kivétel Mac OS rendszerben: [alt]-v). A gyökjel ábrázolásához speciális szoftverek (például LaTeX) adnak segítséget, Unicode szabványt használva például HTML-ben a gyökjel a „√“ – √ – (azaz a: „√“) kóddal jeleníthető meg.

Írásmód és elnevezés

Igazolható, hogy nemnegatív a számra az

$a = x^n\,$

egyenletnek pontosan egy nemnegatív megoldása van. Ezt a megoldását a következőképp jelöljük:

$x = \sqrt[n\,]{a}$

és úgy olvassuk ki:

„ a n-edik gyöke ''x'' ”.

Páratlan kitevő esetén az n-edik gyökvonás kiterjeszthető negatív számokra is. Pl. -8 harmadik (v. köb-) gyöke, azaz az a szám, melynek harmadik hatványa -8, egyértelműen létezik, mégpedig -2. Páros kitevő esetében viszont a gyökvonás nem végezhető el negatív számokra, mert nincs valós megoldás. Ez az egyik motivációja a komplex számok bevezetésének.

Négyzet- és köbgyök

Ha a gyökkitevő 2, akkor négyzetgyökvonásról, vagy egyszerűen gyökvonásról beszélünk, és a gyökkitevőt ilyenkor nem kell kiírni.

a	$\sqrt{a}$	a	$\sqrt{a}$
4	2	121	11
9	3	144	12
16	4	169	13
25	5	196	14
36	6	225	15
49	7	256	16
64	8	289	17
81	9	324	18
100	10	361	19

Alapműveletek

A gyökvonás műveletének elvégzésében segíthetnek a következő azonosságok:

$\sqrt[n]{ab} = \sqrt[n]{a} \sqrt[n]{b} \qquad a \ge 0, b \ge 0$

$\sqrt[n]{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}} \qquad a \ge 0, b > 0$

$\sqrt[n]{a^m} = \left(\sqrt[n]{a}\right)^m = \left(a^{\frac{1}{n}}\right)^m = a^{\frac{m}{n}},$

ahol a és b pozitív.

Minden nullától különböző a komplex számra igaz, hogy létezik n darab különböző b szám, amelyre teljesül, hogy bⁿ = a ,így a $\sqrt[n]{a}$ nem használható egyértelműen.

Ha a számot gyökös kifejezésből exponenciális kifejezéssé írjuk át, akkor a szabályok változatlanok maradnak (még törtkitevő esetén is), nevezetesen:

$a^m a^n = a^{m+n} \,$

$\left({\frac{a}{b}}\right)^m = \frac{a^m}{b^m}$

$(a^m)^n = a^{mn} \,$

Például:

$\sqrt[3]{a^5}\sqrt[5]{a^4} = a^\frac{5}{3} a^\frac{4}{5} = a^\frac{25 + 12}{15} = a^\frac{37}{15}$

$\frac{\sqrt{a}}{\sqrt[4]{a}} = a^\frac{1}{2}a^\frac{-1}{4}= a^\frac{4 - 2}{8} = a^\frac{2}{8} = a^\frac{1}{4}$

Ha összeadást, vagy kivonást akarunk végezni, akkor érdemes megjegyezni a következő szabályt:

$\sqrt[3]{a^5} = \sqrt[3]{aaaaa} = \sqrt[3]{a^3a^2} = a\sqrt[3]{a^2}$

Ha megértettük, hogyan egyszerűsítsünk gyökös kifejezéseket, akkor sokkal egyszerűbb elvégezni a kivonást és összeadást a kiemelés segtségével. Például:

$\sqrt[3]{a^5}+\sqrt[3]{a^8}$

$=\sqrt[3]{a^3a^2}+\sqrt[3]{a^6 a^2}$

$=a\sqrt[3]{a^2}+a^2\sqrt[3]{a^2}$

$=({a+a^2})\sqrt[3]{a^2}$

Műveletek irracionális számokkal

Sokszor egyszerűbb az n-edik gyököt "megoldatlanul" hagyni (a gyökjel alatt). Ebben az alakban hagyva olyan átalakításokat végezhetünk rajta, amellyel egyszerűbb alakra tudjuk hozni a gyökös kifejezést.

$\sqrt[3]{a}$ kifejezés megegyezik a $a^{\frac{1}{3}}$ kifejezéssel, ha a gyökös kifejezést hatványként szeretnénk felírni.

Minden gyökös kifejezést fel lehet írni hatványkitevős alakban is. Az alapvető műveletek elvégzéséhez szükséges szabályokat azonosságoknak nevezzünk. Néhány alapvető azonosság:

• $\sqrt{a^2 b} = a \sqrt{b}$
  • Ez kombinálható a fentebb említett hatványkitevős alakkal: $\sqrt[6]{a^6b^4} = \sqrt[3\cdot 2]{a^2a^2a^2b^2b^2} = \sqrt[3]{a^3b^2} = a\sqrt[3]{b^2}$
• $\sqrt[n]{a^m b} = a^{\frac{m}{n}}\sqrt[n]{b}$

• $\sqrt{a} \sqrt{b} = \sqrt{ab}$

• $\frac\sqrt{a}\sqrt{b} = \sqrt\frac{a}{b}$

• $\left(\frac{a}{\sqrt{b}}\right)\left(\frac{\sqrt{b}}{\sqrt{b}}\right) = \frac{{a}\sqrt{b}}{b}$

• $(\sqrt{a}+\sqrt{b})^{-1} = \frac{1}{(\sqrt{a}+\sqrt{b})} = \frac{\sqrt{a}-\sqrt{b}}{(\sqrt{a}+\sqrt{b})(\sqrt{a}-\sqrt{b})} = \frac{\sqrt{a}- \sqrt{b}} {a - b}.$

Az utolsó azonosságban bővítés segtségével a nevezőből el tudjuk tűntetni az irracionális kifejezéseket, az alábbi azonosságot felhasználva:

$(\sqrt{a}+\sqrt{b})(\sqrt{a}- \sqrt{b}) = a - b$

(két szám összegének és különbeségének szorzata).

Végtelen sorok

A gyök előállítható végtelen sorként is:

$(1+x)^{s/t} = \sum_{n=0}^\infty \frac{\displaystyle\prod_{k=0}^n (s+t-kt)}{(s+t)n!t^n}x^n$

ahol $\ |x|<1$.

Összes gyök megkeresése

Bármely szám összes gyöke, legyen az a szám természetes vagy komplex, egyszerűen megadható egy algoritmus segítégével. A számot átírva az ae^iφ alakba (lásd: Euler formula), az összes n-edik gyök megkapható a következőből:

$e^{(\frac{\phi+2\pi k}{n})i} \times \sqrt[n]{a}$

ahol $k=0,1,2,\ldots,n-1$, és $\sqrt[n]{a}$ jelenti a n-edik gyökét.

Polinomok megoldása

A legfeljebb negyedfokú polinomok gyökei felírhatók általános képlettel, melyben csak az alapműveleketek és gyökös kifejezések szerepelnek, de az Abel–Ruffini-tétel szerint ez nem igaz általánosan. Például a következő egyenlet megoldása

$\ x^5=x+1$

nem adható meg gyökös kifejezéssel.

Az n-edfokú egyenletek megoldásához használható a Gyök-kereső algoritmus.

Komplex számok gyökei

Komplex ötödik gyökök 1 + i√3 = 2 · e^π · i/3.

Egy $a\in\Bbb C$ komplex szám n-edik gyökeinek nevezzük a $z^n = a$ egyenlet megoldásait.

Ha $a=1$ akkor egy origó középpontú egységsugarú kört n részre osztva kapjuk meg az egynenlet megoldásait, és ezeket n-edik egységgyököknek nevezzük.

Lásd még

• Irracionális számok
• Algebrai számok
• Négyzetgyök 2
• Imaginárius egység

Források

Ez a szócikk részben vagy egészben a nth root című angol Wikipédia-szócikk fordításán alapul. Az eredeti cikk szerkesztőit annak laptörténete sorolja fel.