Gyökvonás

A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából
A négyzetgyök függvény

A gyökvonás egy matematikai művelet, a hatványozás egyik megfordított (inverz) művelete (a másik a logaritmus). Mikor egy számból n-edik gyököt vonunk (n valós szám), olyan számot keresünk, amelyet az n-edik hatványra emelve visszaadja az eredeti számot (ilyen szám nem mindig létezik).

Jelölés[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

A gyökjel (\sqrt{\,\,}) eredete elég bizonytalan, de a legtöbben, beleértve Leonhard Eulert[1] is, úgy gondolják, hogy a latin "radix" (gyökér) szó kezdőbetűjének, az r-nek az elnyújtásából származik. Ez a jel először nyomtatásban a felső vízszintes vonal nélkül jelent meg 1525-ben, Christoph Rudolff német matematikus által írt "Die Coss"-ban.[2]

Probléma adódik ennek a különleges karakternek az elektronikus ábrázolásával, mert nincs rajta közvetlenül a billentyűzeten (kivétel Mac OS rendszerben: [alt]-v). A gyökjel ábrázolásához speciális szoftverek (például LaTeX) adnak segítséget, Unicode szabványt használva például HTML-ben a gyökjel a „√“ –  – (azaz a: „√“) kóddal jeleníthető meg.

Írásmód és elnevezés[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Igazolható, hogy nemnegatív a számra az

a = x^n\,

egyenletnek pontosan egy nemnegatív megoldása van. Ezt a megoldását a következőképp jelöljük:

x = \sqrt[n\,]{a}

és úgy olvassuk ki:

a n-edik gyöke ''x''”.

Páratlan kitevő esetén az n-edik gyökvonás kiterjeszthető negatív számokra is. Pl. -8 harmadik (v. köb-) gyöke, azaz az a szám, melynek harmadik hatványa -8, egyértelműen létezik, mégpedig -2. Páros kitevő esetében viszont a gyökvonás nem végezhető el negatív számokra, mert nincs valós megoldás. Ez az egyik motivációja a komplex számok bevezetésének.

Négyzet- és köbgyök[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Ha a gyökkitevő 2, akkor négyzetgyökvonásról, vagy egyszerűen gyökvonásról beszélünk, és a gyökkitevőt ilyenkor nem kell kiírni.

a \sqrt{a} a \sqrt{a}
4 2 121 11
9 3 144 12
16 4 169 13
25 5 196 14
36 6 225 15
49 7 256 16
64 8 289 17
81 9 324 18
100 10 361 19

Alapműveletek[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

A gyökvonás műveletének elvégzésében segíthetnek a következő azonosságok:


\sqrt[n]{ab} = \sqrt[n]{a} \sqrt[n]{b} \qquad a \ge 0, b \ge 0
\sqrt[n]{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}} \qquad a \ge 0, b > 0

\sqrt[n]{a^m} = \left(\sqrt[n]{a}\right)^m = \left(a^{\frac{1}{n}}\right)^m = a^{\frac{m}{n}},

ahol a és b pozitív.

Minden nullától különböző a komplex számra igaz, hogy létezik n darab különböző b szám, amelyre teljesül, hogy bn = a ,így a \sqrt[n]{a} nem használható egyértelműen.

Ha a számot gyökös kifejezésből exponenciális kifejezéssé írjuk át, akkor a szabályok változatlanok maradnak (még törtkitevő esetén is), nevezetesen:

a^m a^n = a^{m+n} \,
\left({\frac{a}{b}}\right)^m = \frac{a^m}{b^m}
(a^m)^n = a^{mn} \,

Például:

\sqrt[3]{a^5}\sqrt[5]{a^4} = a^\frac{5}{3} a^\frac{4}{5} = a^\frac{25 + 12}{15} = a^\frac{37}{15}
\frac{\sqrt{a}}{\sqrt[4]{a}} = a^\frac{1}{2}a^\frac{-1}{4}= a^\frac{4 - 2}{8} = a^\frac{2}{8} = a^\frac{1}{4}

Ha összeadást, vagy kivonást akarunk végezni, akkor érdemes megjegyezni a következő szabályt:

\sqrt[3]{a^5} = \sqrt[3]{aaaaa} = \sqrt[3]{a^3a^2} = a\sqrt[3]{a^2}

Ha megértettük, hogyan egyszerűsítsünk gyökös kifejezéseket, akkor sokkal egyszerűbb elvégezni a kivonást és összeadást a kiemelés segítségével. Például:

\sqrt[3]{a^5}+\sqrt[3]{a^8}
=\sqrt[3]{a^3a^2}+\sqrt[3]{a^6 a^2}
=a\sqrt[3]{a^2}+a^2\sqrt[3]{a^2}
=({a+a^2})\sqrt[3]{a^2}

Műveletek irracionális számokkal[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Sokszor egyszerűbb az n-edik gyököt "megoldatlanul" hagyni (a gyökjel alatt). Ebben az alakban hagyva olyan átalakításokat végezhetünk rajta, amellyel egyszerűbb alakra tudjuk hozni a gyökös kifejezést.

\sqrt[3]{a} kifejezés megegyezik a a^{\frac{1}{3}} kifejezéssel, ha a gyökös kifejezést hatványként szeretnénk felírni.

Minden gyökös kifejezést fel lehet írni hatványkitevős alakban is. Az alapvető műveletek elvégzéséhez szükséges szabályokat azonosságoknak nevezzünk. Néhány alapvető azonosság:

  • \sqrt{a^2 b} = a \sqrt{b}
    • Ez kombinálható a fentebb említett hatványkitevős alakkal: \sqrt[6]{a^6b^4} = \sqrt[3\cdot 2]{a^2a^2a^2b^2b^2} = \sqrt[3]{a^3b^2} = a\sqrt[3]{b^2}
  • \sqrt[n]{a^m b} = a^{\frac{m}{n}}\sqrt[n]{b}
  • \sqrt{a} \sqrt{b} = \sqrt{ab}
  • \frac\sqrt{a}\sqrt{b} = \sqrt\frac{a}{b}
  • \left(\frac{a}{\sqrt{b}}\right)\left(\frac{\sqrt{b}}{\sqrt{b}}\right) = \frac{{a}\sqrt{b}}{b}
  • (\sqrt{a}+\sqrt{b})^{-1} = \frac{1}{(\sqrt{a}+\sqrt{b})} = \frac{\sqrt{a}-\sqrt{b}}{(\sqrt{a}+\sqrt{b})(\sqrt{a}-\sqrt{b})} = \frac{\sqrt{a}- \sqrt{b}} {a - b}.

Az utolsó azonosságban bővítés segítségével a nevezőből el tudjuk tüntetni az irracionális kifejezéseket, az alábbi azonosságot felhasználva:

(\sqrt{a}+\sqrt{b})(\sqrt{a}- \sqrt{b}) = a - b

(két szám összegének és különbségének szorzata).

Végtelen sorok[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

A gyök előállítható végtelen sorként is:


(1+x)^{s/t} = \sum_{n=0}^\infty \frac{\displaystyle\prod_{k=0}^n (s+t-kt)}{(s+t)n!t^n}x^n

ahol \ |x|<1.

Összes gyök megkeresése[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Bármely szám összes gyöke, legyen az a szám természetes vagy komplex, egyszerűen megadható egy algoritmus segítségével. A számot átírva az ae alakba (lásd: Euler formula), az összes n-edik gyök megkapható a következőből:

 e^{(\frac{\phi+2\pi k}{n})i} \times \sqrt[n]{a}

ahol k=0,1,2,\ldots,n-1, és \sqrt[n]{a} jelenti a n-edik gyökét.

Polinomok megoldása[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

A legfeljebb negyedfokú polinomok gyökei felírhatók általános képlettel, melyben csak az alapműveletek és gyökös kifejezések szerepelnek, de az Abel–Ruffini-tétel szerint ez nem igaz általánosan. Például a következő egyenlet megoldása

\ x^5=x+1

nem adható meg gyökös kifejezéssel.

Az n-edfokú egyenletek megoldásához használható a gyök-kereső algoritmus.

Komplex számok gyökei[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Komplex ötödik gyökök 1 + i√3 = 2 · eπ · i/3.

Egy a\in\Bbb C komplex szám n-edik gyökeinek nevezzük a z^n = a egyenlet megoldásait.

Ha a=1 akkor egy origó középpontú egységsugarú kört n részre osztva kapjuk meg az egyenlet megoldásait, és ezeket n-edik egységgyököknek nevezzük.

Lásd még[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Jegyzetek[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

  1. Leonhard Euler. Institutiones calculi differentialis (Latin nyelven) (1755) 
  2. Earliest Known Uses of Some of the Words of Mathematics – RADIX, ROOT, UNKNOWN, SQUARE ROOT

Források[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Ez a szócikk részben vagy egészben a nth root című angol Wikipédia-szócikk fordításán alapul. Az eredeti cikk szerkesztőit annak laptörténete sorolja fel.